代数幾何学において、重み付き射影空間 P ( a 0 ,..., a n ) は、変数 x k が次数a kを持つ、次数付き環k [ x 0 ,..., x n ] に関連付けられた射影多様 体Proj ( k [ x 0 ,..., x n ])です。
プロパティ
- dが正の整数である場合、 P ( a 0 , a 1 ,..., a n ) はP ( da 0 , da 1 ,..., da n ) と同型である。これはProj構成の性質であり、幾何学的にはd組のVeronese 埋め込みに対応する。したがって、一般性を失うことなく、次数a iには共通因数がないと仮定することができる。
- a 0、a 1、...、a nに共通因数が存在せず、d がi ≠ jであるすべてのa iの共通因数であるとすると、P ( a 0、a 1、...、a n ) はP ( a 0 / d、...、a j -1 / d、a j、a j +1 / d、...、a n / d ) と同型です ( d はa j と互いに素であることに注意します。そうでない場合は同型性は成立しません)。したがって、 n個の変数a i の任意の集合には共通因数が存在しないと仮定することもできます。この場合、重み付き射影空間は整形式と呼ばれます。
- 重み付き射影空間の唯一の特異点は巡回商特異点です。
- 重み付き射影空間はQ-ファノ多様体[1]であり、トーリック多様体である。
- 重み付き射影空間P ( a0 , a1 ,..., an )は、対角的に作用する位数a0,a1,...,anの単位根群の積である群による射影空間の商と同型である。 [ 2]
参考文献
- ^ M. Rossi と L. Terracini、「線形代数と重み付き射影空間のトーリックデータ」、Rend. Semin. Mat. Univ. Politec. Torino 70 (2012)、第4号、469-495ページ、命題8
- ^これは GIT商として理解されるべきです。より一般的な設定では、重み付き射影スタックと呼ぶことができます。https://mathoverflow.net/questions/136888/ を参照してください。
- ドルガチェフ, イゴール (1982)、「重み付き射影多様体」、群作用とベクトル場 (バンクーバー、BC、1981)、数学講義ノート、第956巻、ベルリン: シュプリンガー、pp. 34– 71、CiteSeerX 10.1.1.169.5185、doi :10.1007/BFb0101508、ISBN 978-3-540-11946-3、MR 0704986
- ホスグッド、ティモシー（2016）、重み付き射影空間における多様体入門、arXiv：1604.02441、Bibcode：2016arXiv160402441H
- Reid, Miles (2002), Graded rings and variety in weighted projective space (PDF) , archived from the original (PDF) on 2023-06-02 , retrieved 2020-11-19
