ウィッテンゼータ関数

数学において、ウィッテンゼータ関数は、対応するリー群の既約表現の次数を符号化するルート系に関連付けられた関数である。これらのゼータ関数はドン・ザギエによって導入され、エドワード・ウィッテンによるゼータ関数の特殊値の研究にちなんで命名された。 ^{[1] [2]}なお、^[2]では、ウィッテンゼータ関数はそれ自体が明示的なオブジェクトとして現れない。

意味

がコンパクト半単純リー群である場合、関連するウィッテンゼータ関数は級数（の有理型接続）である。 ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \zeta _{G}(s)=\sum _{\rho }{\frac {1}{(\dim \rho )^{s}}},}$

ここで、和は の既約表現の同値類にわたっています。 ${\displaystyle G}$

が連結かつ単連結である場合、そのリー代数の表現と の対応関係、およびワイル次元公式から、 は次のように書けること がわかる。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \zeta _{G}(s)}$

${\displaystyle \sum _{m_{1},\dots ,m_{r}>0}\prod _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\frac {1}{\langle \alpha ^{\lor },m_{1}\lambda _{1}+\cdots +m_{r}\lambda _{r}\rangle ^{s}}},}$

ここで、は正根の集合、は単純根の集合、は階数です。 ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$ ${\displaystyle r}$

例

• ${\displaystyle \zeta _{SU(2)}(s)=\zeta (s)}$ 、リーマンゼータ関数。
• ${\displaystyle \zeta _{SU(3)}(s)=\sum _{x=1}^{\infty }\sum _{y=1}^{\infty }{\frac {1}{(xy(x+y)/2)^{s}}}.}$

収束の横軸

が単純かつ単連結である場合、 の収束横座標は であり、は階数、 である。これはアレックス・ルボツキーとマイケル・ラーセンによる定理である^[3] 。ヨッケ・ヘーサとアレクサンダー・スタシンスキーによる新しい証明 ^[4] は、より一般的な結果、すなわち、以下の形式の任意の「メリンゼータ関数」の収束横座標の明示的な値（単純な組合せ論の観点から）を与える。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \zeta _{G}(s)}$ ${\displaystyle r/\kappa }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \kappa =|\Phi ^{+}|}$

${\displaystyle \sum _{x_{1},\dots ,x_{r}=1}^{\infty }{\frac {1}{P(x_{1},\dots ,x_{r})^{s}}},}$

ここで、は非負の実数係数を持つ線形多項式の積です。 ${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{r})}$

SU(3)に関連するウィッテンゼータ関数の特異点と値

${\displaystyle \zeta _{SU(3)}}$ は で絶対収束し、 で有理型的に拡張できる。その特異点は で、それらの特異点はすべて単極である。^[5]特に、 の値はすべての整数で明確に定義されており、小野寺一弘によって計算されている。^[6]${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} ,\Re (s)>2/3\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\Bigl \{}{\frac {2}{3}}{\Bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\frac {1}{2}}-k,k\in \mathbb {N} {\Bigr \}},}$ ${\displaystyle \zeta _{SU(3)}(s)}$

では、および${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle \zeta _{SU(3)}(0)={\frac {1}{3}},}$ ${\displaystyle \zeta _{SU(3)}'(0)=\log(2^{4/3}\pi ).}$

を正の整数とすると、 ${\displaystyle a\in \mathbb {N} ^{*}}$

${\displaystyle \zeta _{SU(3)}(a)={\frac {2^{a+2}}{1+(-1)^{a}2}}\sum _{k=0}^{[a/2]}{2a-2k-1 \choose a-1}\zeta (2k)\zeta (3a-k).}$

が奇数の場合、は単純な零点を持ち、 ${\displaystyle \zeta _{SU(3)}}$ ${\displaystyle s=-a,}$

${\displaystyle \zeta _{SU(3)}'(-a)={\frac {2^{-a+1}(a!)^{2}}{(2a+1)!}}\zeta '(-3a-1)+2^{-a+2}\sum _{k=0}^{(a-1)/2}{a \choose 2k}\zeta (-a-2k)\zeta '(-2a+2k).}$

が偶数の場合、 はの位数の零点を持ち、 ${\displaystyle \zeta _{SU(3)}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle s=-a,}$

${\displaystyle \zeta _{SU(3)}''(-a)=2^{-a+2}\sum _{k=0}^{a/2}{a \choose 2k}\zeta '(-a-2k)\zeta '(-2a+2k).}$

参考文献

1. ザギエ、ドン（1994）「ゼータ関数の値とその応用」、第一回ヨーロッパ数学会議パリ、1992年7月6日～10日、バーゼル・ビルクハウザー、pp.  497～ 512、doi :10.1007/978-3-0348-9112-7_23、ISBN 9783034899123
2. Witten, Edward (1991年10月). 「2次元の量子ゲージ理論について」 . Communications in Mathematical Physics . 141 (1): 153– 209. Bibcode :1991CMaPh.141..153W. doi :10.1007/bf02100009. ISSN  0010-3616. S2CID  121994550.
3. ラーセン, マイケル; ルボツキー, アレクサンダー (2008). 「線形群の表現成長」.ヨーロッパ数学会誌. 10 (2): 351– 390. arXiv : math/0607369 . doi :10.4171/JEMS/113. ISSN  1435-9855. S2CID  9322647.
4. Häsä, Jokke; Stasinski, Alexander (2019). 「コンパクト線形群の表現成長」.アメリカ数学会誌. 372 (2): 925–980 . arXiv : 1710.09112 . doi : 10.1090/tran/7618 .
5. ダン・ロミック (2017). "$\operatorname{SU}(3)$ の $n$ 次元表現の数、ベルヌーイ数、およびウィッテン ゼータ関数について"。アクタ算術。180 (2): 111–159。土井:10.4064/aa8455-3-2017。ISSN  0065-1036。
6. 小野寺和弘 (2014). 「トルンハイムのダブルゼータ関数の関数関係」。アクタ算術。162 ( 4) : 337–354.arXiv : 1211.1480 。土井：10.4064/aa162-4-2。ISSN  0065-1036。S2CID  119636956。