山辺の流れ

微分幾何学において、ヤマベフローは固有の幾何学的フロー、すなわちリーマン多様体の計量を変形する過程である。リチャード・S・ハミルトン^[1]によって初めて導入されたヤマベフローは非コンパクト多様体に対するもので、与えられた共形類に制限された、（正規化された）全スカラー曲率の負の L ² 勾配フローである。このフローが収束するとき、リーマン計量を一定のスカラー曲率の共形計量に変形すると解釈できる。

山辺フローは、リチャード・S・ハミルトン自身のリッチフローに関する研究と、リック・ショーンによる正の共形山辺不変量の多様体上の山辺問題の解に応えて導入されました。

主な結果

山辺フローの不動点は、与えられた共形類における定スカラー曲率の計量である。このフローは1980年代にリチャード・ハミルトンの未発表ノートで初めて研究された。ハミルトンは、あらゆる初期計量に対して、フローは定スカラー曲率の共形計量に収束すると予想した。これは、局所共形平坦な場合においてルーガン・イェによって検証された。^[2]その後、サイモン・ブレンドルは、すべての共形類と任意の初期計量に対してフローが収束することを証明した。^[3]この文脈では、極限の定スカラー曲率計量は、典型的にはもはや山辺最小化子ではない。コンパクトな場合は解決されているが、完備で非コンパクトな多様体上の流れは完全には理解されておらず、現在も研究が続けられている。

注記

^ Hamilton, Richard S. (1988). 「表面上のリッチフロー」.数学と一般相対性理論 (サンタクルーズ、カリフォルニア州、1986年) . Contemp. Math. 第71巻. Amer. Math. Soc., Providence, RI. pp. 237– 262. doi :10.1090/conm/071/954419. MR 0954419.
^ Ye, Rugang (1994). 「ヤマベフローの大域的存在と収束」. J. Differential Geom . 39 (1): 35– 50. doi : 10.4310/jdg/1214454674 .
^ Brendle, Simon (2005). 「任意の初期エネルギーに対する山辺流の収束」J. Differential Geom . 69 (2): 217– 278. doi : 10.4310/jdg/1121449107 .

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[1] Hamilton, Richard S. (1988). 「表面上のリッチフロー」.数学と一般相対性理論 (サンタクルーズ、カリフォルニア州、1986年) . Contemp. Math. 第71巻. Amer. Math. Soc., Providence, RI. pp. 237– 262. doi :10.1090/conm/071/954419. MR 0954419.

[2] Ye, Rugang (1994). 「ヤマベフローの大域的存在と収束」. J. Differential Geom . 39 (1): 35– 50. doi : 10.4310/jdg/1214454674 .

[3] Brendle, Simon (2005). 「任意の初期エネルギーに対する山辺流の収束」J. Differential Geom . 69 (2): 217– 278. doi : 10.4310/jdg/1121449107 .