ザリスキ面

数学の一分野である代数幾何学において、ザリスキ面（ザリスキめん）とは、特性p  > 0の体上の曲面であり、射影平面からその曲面への次数pの支配的かつ分離不可能な写像が存在する。特に、すべてのザリスキ面は単有理面である。これらは、1958年にオスカー・ザリスキが有理面ではない特性p > 0の単有理面の例として用いたことにちなんで、1977年にピオトル・ブラスによって命名された 。（対照的に、特性0では、カステルヌオーヴォの定理により、すべての単有理面は有理面となる。）

ザリスキー面は、次の形式の 既約多項式で定義されるアフィン3次元空間A ³の面と双有理的である。

${\displaystyle z^{p}=f(x,y).\ }$

1971 年に Oscar Zariski によって次の問題が提起されました: S を、幾何学的種数がゼロである Zariski 面とします。Sは必ず有理曲面となるでしょうか? p = 2 およびp = 3 の場合、上記の問題の答えは、1977 年に Piotr Blass がミシガン大学博士論文で、また 1978 年に William E. Lang がハーバード大学博士論文で示したように、否定的です。Kentaro Mitsui (2014) は、Zariski の質問に対してp > 0のすべての特性で否定的な答えを与えるさらなる例を発表しました。ただし、現時点では彼の方法は非構成的であり、p > 3 の明示的な方程式は知られていません。

参照

• 代数曲面のリスト

参考文献

• ブラス、ピオトル、ラング、ジェフリー（1987）、特性p >0のザリスキ面と微分方程式、純粋および応用数学のモノグラフと教科書、第106巻、ニューヨーク：マルセル・デッカー社、ISBN 978-0-8247-7637-4、MR  0879599
• 三井健太郎 (2014) 「ザリスキー面上のザリスキーの問題について」, Math. Z. , 276 ( 1– 2): 237– 242, doi :10.1007/s00209-013-1195-0, MR  3150201
• ザリスキ、オスカー（1958）、「代数面のカステルヌオーヴォの有理性基準pa=P2=0について」、イリノイ数学ジャーナル、2：303-315、ISSN  0019-2082、MR  0099990