グループの絶対的なプレゼンテーション

数学において、絶対表示は群を定義する方法の一つである。^[1]

表現を用いて群を定義するには、群の各要素がこれらの生成子の積として表せるような生成子の集合と、それらの生成子間の関係の集合を指定することを思い出してください。記号で表すと、 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle G\simeq \langle S\mid R\rangle .}$

非公式には、集合 によって生成される群であって、すべての に対してとなる群を言う。しかし、ここでは暗黙の仮定があり、 は の任意の準同型像において関係が明らかに満たされるような「最も自由な」群である。この暗黙の仮定を排除する方法の一つは、の特定の単語が と等しくないことを指定することである。つまり、 の非関係集合と呼ばれる集合 を指定して、すべての に対してとなる。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\neq 1}$ ${\displaystyle i\in I.}$

正式な定義

群の絶対的表現を定義するには、生成元と集合、そしてそれらの生成元間の関係と非関係の集合を指定する。そして、群は絶対的表現を持つと 言う。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \langle S\mid R,I\rangle }$

ただし、次の条件を満たすこととする。

1. ${\displaystyle G}$ プレゼンテーションあり ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle .}$
2. において非関係式が満たされるような任意の準同型 が与えられると、は と同型になります。${\displaystyle h:G\rightarrow H}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle h(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h(G)}$

条件 2 をより代数的だが同等な方法で述べると次のようになります。

2a.が の非自明な正規部分群である場合、${\displaystyle N\triangleleft G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle I\cap N\neq \left\{1\right\}.}$

注:絶対表示の概念は、代数的閉群やグリゴルチュク位相といった分野で実りある成果を上げてきた。文献において、絶対表示が議論されている文脈では、（通常の意味での）表示は相対表示と呼ばれることがあり、これはレトロニムの一例である。

例

位数8 の巡回群は次のように表される。

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1\rangle .}$

しかし、同型性に至るまで、関係を「満たす」グループがさらに 3 つあります。 ${\displaystyle a^{8}=1,}$

${\displaystyle \langle a\mid a^{4}=1\rangle }$

${\displaystyle \langle a\mid a^{2}=1\rangle }$ そして

${\displaystyle \langle a\mid a=1\rangle .}$

しかし、これらのいずれも不等式を満たさない。したがって、位数8の巡回群の絶対表現は次のようになる。 ${\displaystyle a^{4}\neq 1}$

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1,a^{4}\neq 1\rangle .}$

絶対表示の定義には、群のいかなる真準同型像においても非関係性が満たされないことが含まれる。したがって、

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1,a^{2}\neq 1\rangle }$

順序4 の巡回群では不変関係が満たされているため、順序 8 の巡回群の絶対表現ではありません。 ${\displaystyle a^{2}\neq 1}$

背景

絶対表示の概念は、ベルンハルト・ノイマンによる代数閉群の同型性問題の研究から生まれた。^[1]

2つの群とが同型であるかどうかを考える一般的な戦略は、一方の群の表示が他方の群の表示に変換できるかどうかを考えることです。しかし、代数閉群は有限生成でも再帰的にも表示されていないため、それらの表示を比較することは不可能です。ノイマンは次のような代替戦略を検討しました。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

有限表示のグループが代数的に閉じたグループに埋め込むことができるとわかっているとすると、別の代数的に閉じたグループが与えられたときに、「は に埋め込むことができますか?」 と尋ねることができます。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\langle x_{1},x_{2}\mid R\rangle }$ ${\displaystyle G^{*}}$ ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H^{*}}$

群の表現だけでは、この決定を下すのに十分な情報が含まれていないことがすぐに明らかになります。なぜなら、準同型写像が存在する可能性はあるものの、この準同型写像は埋め込みである必要はないからです。必要なのは、その指定を保存する準同型写像を埋め込みとして「強制する」 の指定です。絶対表現はまさにこれを実現します。 ${\displaystyle h:G\rightarrow H^{*}}$ ${\displaystyle G^{*}}$

参照

• グループのプレゼンテーション

参考文献

1. B. Neumann、「代数閉群の同型性問題」、『群論における単語問題、決定問題、バーンサイド問題』、アムステルダム-ロンドン (1973)、553–562 ページ。