受け入れセット

金融数学において、受容集合とは、規制当局が受け入れ可能な将来の純資産の集合であり、リスク指標と関連している。

数学的な定義

確率空間 が与えられ、 がスカラーの場合でd 次元の Lp 空間であるとすると、受け入れ集合を以下のように定義できます。 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} L p = L p ( Ω , F , P ) {\displaystyle L^{p}=L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} L d p = L d p ( Ω , F , P ) {\displaystyle L_{d}^{p}=L_{d}^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}

スカラーケース

受理集合とは、次の条件を満たす集合である。 A {\displaystyle A}

  1. A ⊇ L + p {\displaystyle A\supseteq L_{+}^{p}}
  2. A ∩ L − − p = ∅ {\displaystyle A\cap L_{--}^{p}=\emptyset } そういう L − − p = { X ∈ L p : ∀ ω ∈ Ω , X ( ω ) < 0 } {\displaystyle L_{--}^{p}=\{X\in L^{p}:\forall \omega \in \Omega ,X(\omega )<0\}}
  3. A ∩ L − p = { 0 } {\displaystyle A\cap L_{-}^{p}=\{0\}}
  4. さらに、が凸ならば、それは凸受容集合である。 A {\displaystyle A}
    1. そして、が正同質錐であれば、それは整合受容集合である[1] A {\displaystyle A}

集合値の場合

受容集合（資産のある空間内）とは、次の条件を満たす集合である。 d {\displaystyle d} A ⊆ L d p {\displaystyle A\subseteq L_{d}^{p}}

  1. u ∈ K M ⇒ u 1 ∈ A {\displaystyle u\in K_{M}\Rightarrow u1\in A} を常に1である確率変数と表記する。 1 {\displaystyle 1} P {\displaystyle \mathbb {P} }
  2. u ∈ − i n t K M ⇒ u 1 ∉ A {\displaystyle u\in -\mathrm {int} K_{M}\Rightarrow u1\not \in A}
  3. A {\displaystyle A} 方向的に閉じている M {\displaystyle M} A + u 1 ⊆ A ∀ u ∈ K M {\displaystyle A+u1\subseteq A\;\forall u\in K_{M}}
  4. A + L d p ( K ) ⊆ A {\displaystyle A+L_{d}^{p}(K)\subseteq A}

さらに、が凸（凸錐）である場合、それは凸（コヒーレント）受容集合と呼ばれる。[2] A {\displaystyle A}

ここで、は一定のソルベンシー コーンであり、は参照資産のポートフォリオの集合であることに注意してください。 K M = K ∩ M {\displaystyle K_{M}=K\cap M} K {\displaystyle K} M {\displaystyle M} m {\displaystyle m}

リスク指標との関係

受容集合が凸（整合）であるのは、対応するリスク尺度が凸（整合）である場合に限ります。以下で定義されるように、およびであることが示されます。[要出典] R A R ( X ) = R ( X ) {\displaystyle R_{A_{R}}(X)=R(X)} A R A = A {\displaystyle A_{R_{A}}=A}

リスク尺度から受容セットへ

  • が（スカラー）リスク尺度である場合、は受け入れセットです。 ρ {\displaystyle \rho } A ρ = { X ∈ L p : ρ ( X ) ≤ 0 } {\displaystyle A_{\rho }=\{X\in L^{p}:\rho (X)\leq 0\}}
  • が集合値リスク尺度である場合、は受け入れ集合です。 R {\displaystyle R} A R = { X ∈ L d p : 0 ∈ R ( X ) } {\displaystyle A_{R}=\{X\in L_{d}^{p}:0\in R(X)\}}

リスク測定に対する受け入れ設定

  • が受け入れセット（1-d 内）である場合、 （スカラー）リスク尺度を定義します。 A {\displaystyle A} ρ A ( X ) = inf { u ∈ R : X + u 1 ∈ A } {\displaystyle \rho _{A}(X)=\inf\{u\in \mathbb {R} :X+u1\in A\}}
  • が受け入れセットである場合、はセット値のリスク尺度です。 A {\displaystyle A} R A ( X ) = { u ∈ M : X + u 1 ∈ A } {\displaystyle R_{A}(X)=\{u\in M:X+u1\in A\}}

例

スーパーヘッジ価格

スーパーヘッジ価格に関連する受入れ集合は、自己資金調達ポートフォリオの最終時点における 価値集合の負の値である。つまり、

A = { − V T : ( V t ) t = 0 T  is the price of a self-financing portfolio at each time } {\displaystyle A=\{-V_{T}:(V_{t})_{t=0}^{T}{\text{ is the price of a self-financing portfolio at each time}}\}} 。

エントロピーリスク尺度

エントロピーリスク尺度に関連する受容集合は、正の期待効用を持つ利得の集合である。つまり、

A = { X ∈ L p ( F ) : E [ u ( X ) ] ≥ 0 } = { X ∈ L p ( F ) : E [ e − θ X ] ≤ 1 } {\displaystyle A=\{X\in L^{p}({\mathcal {F}}):E[u(X)]\geq 0\}=\{X\in L^{p}({\mathcal {F}}):E\left[e^{-\theta X}\right]\leq 1\}}

ここで指数効用関数である。[3] u ( X ) {\displaystyle u(X)}

参考文献

  1. ^ アルツナー, フィリップ; デルバン, フレディ; エバー, ジャン＝マルク; ヒース, デイヴィッド (1999). 「リスクの一貫性のある尺度」.数理ファイナンス. 9 (3): 203– 228. doi :10.1111/1467-9965.00068. S2CID  6770585.
  2. ^ Hamel, AH; Heyde, F. (2010). 「リスクの集合値測定における双対性」. SIAM Journal on Financial Mathematics . 1 (1): 66– 95. CiteSeerX 10.1.1.514.8477 . doi :10.1137/080743494. 
  3. ^ フォルマー, ハンス; シード, アレクサンダー (2010). 「凸型およびコヒーレントリスク尺度」(PDF) .定量金融百科事典. pp.  355– 363.
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