遠アーベル幾何学

数論における理論

遠アーベル幾何学は、ある数論多様体Xの代数的基本群、あるいは何らかの関連する幾何学的対象がX を復元するのに役立つ方法を記述する数論幾何学の理論である。数体とその絶対ガロア群に関する最初の結果は、アレクサンダー・グロタンディークによる数体上の双曲曲線についての予想より前に、ユルゲン・ノイキルヒ、池田正俊、岩澤健吉、内田幸治によって得られた（ノイキルヒ・内田の定理、1969年）。ファルティングスへの手紙（1983年、 1984年のEsquisse d'un Programmeも参照）で紹介されているように、後者は数体上の2つの双曲曲線の2つの数論的基本群間の位相準同型が、曲線間の写像にどのように対応するかに関するものであった。グロタンディークの遠アーベル予想の最初のバージョンは、中村宏明と玉川明夫（アフィン曲線に対して）によって解決され、その後望月新一によって完成されました。^[1]

それ以来、この理論は多様体（絶対版、モノアナベル版、組み合わせ版）へと発展し、数論、代数幾何学、低次元位相幾何学との相互作用を何度も重ねてきた。^[2]^[3]

曲線上のグロタンディーク予想の定式化

「遠アーベル的問題」は次のように定式化されている。

エタール基本群の知識には、多様体Xの同型類に関する情報がどれだけ含まれているか^[4]

具体的な例としては、曲線の場合が挙げられます。曲線は射影的であるだけでなく、アフィン的でもあります。双曲曲線C 、すなわち種数gの射影代数曲線のn点の補曲線が与えられ、滑らかで既約であるとし、有限生成体K （その素体上）上で定義され、

2-2g-n<0

。

グロタンディークは、Cの代数的基本群 G （原有限群）がC自身を決定する（すなわち、 Gの同型類がCの同型類を決定する）と予想した。これは望月によって証明された。^[5]一例として、（射影直線）との場合があり、 Cの同型類はKにおける除去された4点の交差比によって決定される（ほぼそうであるが、交差比の4点には順序があるが、除去された点には順序がない）。^[6]Kが局所体の場合の結果もある。^[7] $g=0$ $n=4$

モノアナベル幾何学

望月新一は、モノ遠アーベル幾何学を提唱し発展させた。これは、数体あるいは他の体上のある種の双曲曲線に対して、その代数的基本群から曲線を復元するアプローチである。モノ遠アーベル幾何学の主要な結果は、望月による「絶対遠アーベル幾何学の話題」I（2012年）、II（2013年）、III（2015年）に掲載されている。^[8]

モノ遠アーベル幾何学の反対のアプローチは、双遠アーベル幾何学であり、これは古典的なアプローチを示すために望月が「絶対遠アーベル幾何学の話題 III」で造った用語です。

モノ遠アーベル幾何学は、数体および局所体上の特定の型（厳密にはベールイ型）の双曲曲線を扱う。この理論は遠アーベル幾何学を大幅に拡張する。その主な目的は、そのような曲線のエタール基本群から、同型性を除いて曲線を生成するアルゴリズムを構築することである。特に、この理論は初めて、数体上の穴あき楕円曲線の大きなクラスの基本群から、基底数体とその完備化の同時的な関数的復元を生成する。^[9]^[10]^[11]望月新一の宇宙際タイヒミュラー理論は、モノ遠アーベル幾何学の様々な結果を絶対的な形で利用し、密接に関連している。^[12]

組合せ遠アーベル幾何学

望月新一は、代数閉体上の双曲曲線やその他の関連スキームの問題を扱う組合せ論的遠アーベル幾何学も提唱しました。最初の成果は、望月による「グロタンディーク予想の組合せ論的版」（2007年）と「双曲曲線の組合せ論的尖点化について」（2010年）で発表されました。この分野は後に、星雄一郎と望月によって「双曲曲線の組合せ論的遠アーベル幾何学をめぐる話題」（2012-2013年）という4本の論文シリーズで双曲曲線に適用されました。

組合せ論的遠アーベル幾何学は、より原始的な組合せ論的構成データからスキーム論的あるいは環論的対象を再構成する学問である。組合せ論的遠アーベル幾何学の起源は、松本誠らによる組紐群とそのリー環の算術に関するそのような組合せ論的アイデアのいくつかに由来し^[13] 、その後望月によるグロタンディーク予想の証明にも見られる。組合せ論的遠アーベル幾何学の結果のいくつかは、p進ホッジ理論を用いることなくグロタンディーク予想の部分的なケースの代替証明を提供している。組合せ論的遠アーベル幾何学は、グロタンディーク・タイヒミュラー群や数体および混合特性局所体の絶対ガロア群の様々な側面を研究するのに役立つ^[14]。

参照

注記

^ 望月真一、中村博明、玉川明夫、「代数曲線の基本群のグロタンディーク予想」、数学博覧会（AMS英訳）（14）1、アメリカ数学会：31-53、http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/rhino/NTM300.pdf（2001）
^ Collas, Benjamin; 室谷隆弘; 山口永徳 (2025年8月). 「空間と数の対称性 -- 遠アーベル幾何学」. arXiv : 2508.01588 [math.NT].
^ Collas, Benjamin (2025年2月). 「遠アーベル数論幾何学—形と数の新たな幾何学：宇宙際タイヒミュラー理論、あるいはグロタンディークのビジョンを超えて」.ロバチェフスキー数学ジャーナル. 45 (10). Springer Nature: 4954– 4979. doi :10.1134/S1995080224600894.
^ Schneps, Leila (1997). 「グロタンディークの『ガロア理論の長い行進』」. Schneps; Lochak, Pierre (編).幾何学的ガロア作用. 1.ロンドン数学会講演録シリーズ. 第242巻. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. pp. 59– 66. MR 1483109.
^ 望月真一(1996). 「数体上の閉双曲曲線に対するプロフィニット・グロタンディーク予想」.東京大学数学・理科・情報科学誌. 3 ( 3): 571– 627. hdl :2261/1381. MR 1432110.
^ 井原康隆; 中村宏明 (1997). 「高次元遠アーベル幾何学のいくつかの具体例」(PDF) .シュネプス, レイラ; ロチャック, ピエール (編).幾何学的ガロア作用. 1.ロンドン数学会講演録シリーズ. 第242巻. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. pp. 127– 138. MR 1483114.
^ 望月真一(2003). 「正準曲線の絶対遠アーベル幾何学」(PDF) .ドクメンタ・マテマティカ. ドクメンタ・マテマティカ・シリーズ. 増刊号, 加藤和也生誕50周年: 609– 640. doi : 10.4171/dms/3/17 . ISBN 978-3-936609-21-9. MR 2046610。
^ 星雄一郎「モノアナベル幾何学入門」（PDF）は、2016年にパリで開催された「算術幾何学の基礎群」会議の議事録に掲載される予定。[1]（Semantic Scholar「モノアナベル幾何学」関連サイト[2]）
^ 望月真一(2012). 「絶対遠アーベル幾何学の話題 I」.東京大学数学・理科・理学部誌. 19 : 139–242 .
^ 望月真一(2013). 「絶対遠アーベル幾何学の話題 II」.東京大学数学・理科・情報学雑誌. 20 : 171–269 .
^ 望月真一(2015). 「絶対遠アーベル幾何学の話題 III」.東京大学数学・理科・理学部誌. 22 : 939–1156 .
^ 望月真一(2021). 「宇宙際タイヒミュラー理論 I, II, III, IV」. Publ. Res. Inst. Math. Sci . 57 : 3–723 . doi :10.4171/prims/57-1-1.
^ 松本誠 (1996). 「曲線上の有限編組群のガロア表現」。数学に関するジャーナル。474 : 169-219 .
^ 「組合せ遠ベル幾何学と関連トピック、RIMSワークショップ、2021年7月5〜9日」。

外部リンク

ボイド、ジェームズ (2025). 「遠ベル数論幾何学コミュニティの声（京都大学数理解析研究所）」. SciSci: SciFrontiers . 1 (1). doi :10.5281/zenodo.17152411.
遠ベル幾何学の基礎と展望、RIMSワークショップ、2021年6月28日～7月2日。https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/RIMS-workshop-homepages-2016-2021/w1/May2020.html
組合せ遠ベル幾何学と関連トピック、RIMSワークショップ、2021年7月5日～9日。https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/RIMS-workshop-homepages-2016-2021/w2/June2020.html
代数曲線の基本群に関するグロタンディーク予想。http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/rhino/NTM300.pdf
算術基本群と曲線のモジュライ。http://users.ictp.it/~pub_off/lectures/lns001/Matsumoto/Matsumoto.pdf
Porowski, Wojtek (2021年12月9日). 「遠アーベル幾何学入門」. YouTube .
Szamuely, Tamás. 「Heidelberg Lectures on Fundamental Groups」（PDF）第5節。 2020年4月5日にオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2010年4月26日閲覧。
グロタンディーク、アレクサンダー。「La Longue Marche à Travers la Théorie de Galois」(PDF)。2022-05-20 のオリジナル(PDF)からアーカイブされました。2022-01-31に取得。
ポップ、フロリアン（1994）「双有理遠アーベル幾何学のグロタンディーク予想について」、Annals of Mathematics、（2）、139（1）：145–182、doi：10.2307/2946630、JSTOR 2946630、MR 1259367

[1] 望月真一、中村博明、玉川明夫、「代数曲線の基本群のグロタンディーク予想」、数学博覧会（AMS英訳）（14）1、アメリカ数学会：31-53、http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/rhino/NTM300.pdf（2001）

[2] Collas, Benjamin; 室谷隆弘; 山口永徳 (2025年8月). 「空間と数の対称性 -- 遠アーベル幾何学」. arXiv : 2508.01588 [math.NT].

[3] Collas, Benjamin (2025年2月). 「遠アーベル数論幾何学—形と数の新たな幾何学：宇宙際タイヒミュラー理論、あるいはグロタンディークのビジョンを超えて」.ロバチェフスキー数学ジャーナル. 45 (10). Springer Nature: 4954– 4979. doi :10.1134/S1995080224600894.

[4] Schneps, Leila (1997). 「グロタンディークの『ガロア理論の長い行進』」. Schneps; Lochak, Pierre (編).幾何学的ガロア作用. 1.ロンドン数学会講演録シリーズ. 第242巻. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. pp. 59– 66. MR 1483109.

[5] 望月真一(1996). 「数体上の閉双曲曲線に対するプロフィニット・グロタンディーク予想」.東京大学数学・理科・情報科学誌. 3 ( 3): 571– 627. hdl :2261/1381. MR 1432110.

[6] 井原康隆; 中村宏明 (1997). 「高次元遠アーベル幾何学のいくつかの具体例」(PDF) .シュネプス, レイラ; ロチャック, ピエール (編).幾何学的ガロア作用. 1.ロンドン数学会講演録シリーズ. 第242巻. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. pp. 127– 138. MR 1483114.

[7] 望月真一(2003). 「正準曲線の絶対遠アーベル幾何学」(PDF) .ドクメンタ・マテマティカ. ドクメンタ・マテマティカ・シリーズ. 増刊号, 加藤和也生誕50周年: 609– 640. doi : 10.4171/dms/3/17 . ISBN 978-3-936609-21-9. MR 2046610。

[8] 星雄一郎「モノアナベル幾何学入門」（PDF）は、2016年にパリで開催された「算術幾何学の基礎群」会議の議事録に掲載される予定。[1]（Semantic Scholar「モノアナベル幾何学」関連サイト[2]）

[9] 望月真一(2012). 「絶対遠アーベル幾何学の話題 I」.東京大学数学・理科・理学部誌. 19 : 139–242 .

[10] 望月真一(2013). 「絶対遠アーベル幾何学の話題 II」.東京大学数学・理科・情報学雑誌. 20 : 171–269 .

[11] 望月真一(2015). 「絶対遠アーベル幾何学の話題 III」.東京大学数学・理科・理学部誌. 22 : 939–1156 .

[12] 望月真一(2021). 「宇宙際タイヒミュラー理論 I, II, III, IV」. Publ. Res. Inst. Math. Sci . 57 : 3–723 . doi :10.4171/prims/57-1-1.

[13] 松本誠 (1996). 「曲線上の有限編組群のガロア表現」。数学に関するジャーナル。474 : 169-219 .

[14] 「組合せ遠ベル幾何学と関連トピック、RIMSワークショップ、2021年7月5〜9日」。