配置（空間の仕切り）

有限のオブジェクト集合による、低次元の連結したオープンセルへの分解

離散幾何学において、配置とは、d 次元の線型空間、アフィン空間、または射影空間を、通常は空間の次元より 1 次元小さい、超平面や球面など互いに同じタイプである幾何学的オブジェクトの有限集合によって誘導される、異なる次元の接続されたセルに分解することです。

意味

内のオブジェクトの集合に対して、配列内のセルは、の部分集合に対するの形をした集合の連結成分である。つまり、各に対して、セルは内のすべてのオブジェクトに属し、他のどのオブジェクトにも属さない点の連結成分である。例えば、ユークリッド平面上の直線の配列のセルには、以下の3つの種類がある。 $A$ $\mathbb {R} ^{d}$ $(\cap X)\setminus \cup (A\setminus X)$ $X$ $A$ $X$ $X$

孤立した点。その点を通過するすべての線のサブセットです。 $X$
線分または直線は、 1本の直線からなる単独の集合である。線分または直線は、その直線にのみ属し、他のどの直線にも属さない点の連結成分である。 $X$ $A$
凸多角形（無限多角形を含む）で、は空集合であり、その交点（空交点）は空間全体である。これらの多角形は、内のすべての直線を取り除いて形成される平面の部分集合の連結成分である。 $X$ $A$

アレンジメントの種類

特に興味深いのは、直線の配置と超平面の配置です。

より一般的には、幾何学者は平面上の他の種類の曲線や、より複雑な種類の面の配置を研究してきました。^[1]複素ベクトル空間における配置も研究されてきました。複素直線は複素平面を複数の連結成分に分割しないため、頂点、辺、セルの組合せ論はこれらの種類の空間には適用されませんが、それでも対称性や位相特性を研究することは興味深いことです。^[2]

アプリケーション

配置の研究への関心は、計算幾何学の進歩によって促進されました。計算幾何学において、配置は多くの問題に対する統一的な構造となっていました。代数曲面などのより複雑な物体の研究の進歩は、動作計画やコンピュータービジョンといった「現実世界」への応用に貢献しました。^[3]

参考文献

^ Agarwal, PK ; Sharir, M. (2000)、「Arrangements and their applications」、Sack, J.-R. ; Urrutia, J. (eds.)、『Handbook of Computational Geometry』、Elsevier、pp. 49– 119、2007年6月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。
^ Orlik、P.; Terao, H. (1992)、超平面の配置、Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol. 300、シュプリンガー・フェルラーク。
^ ハルペリン、ダン（2004）、「アレンジメント」、離散幾何学と計算幾何学ハンドブック（第2版）、ISBN 978-1-58488-301-2。

[as00-1] Agarwal, PK ; Sharir, M. (2000)、「Arrangements and their applications」、Sack, J.-R. ; Urrutia, J. (eds.)、『Handbook of Computational Geometry』、Elsevier、pp. 49– 119、2007年6月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[2] Orlik、P.; Terao, H. (1992)、超平面の配置、Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol. 300、シュプリンガー・フェルラーク。

[3] ハルペリン、ダン（2004）、「アレンジメント」、離散幾何学と計算幾何学ハンドブック（第2版）、ISBN 978-1-58488-301-2。