新古典派輸送

プラズマ物理学および磁気閉じ込め核融合において、新古典輸送または新古典拡散は、通常トカマクやステラレータに見られるトロイダルプラズマ中の衝突輸送の理論的記述である。これは、トロイダル形状に起因する不均一磁場の影響を考慮した古典拡散の修正であり、新たな拡散効果を生み出す。

説明

古典的な拡散は、反応炉の周囲を別々の軌道で周回するイオンが衝突し、イオンが融合または散乱して新しい場所に移動するときに発生します。散乱により、プラズマ全体が磁気容器の中心から外側へ拡散します。

古典輸送モデルでは、磁場中のプラズマを、多数の粒子が磁力線の周りを螺旋状に移動すると仮定します。典型的な原子炉設計では、磁力線はほぼ平行であるため、隣接する磁力線の周りを周回する粒子は衝突して散乱する可能性があります。その結果、ランダムウォークが生じ、最終的に粒子は磁場の外に出てしまいます。

新古典輸送は、磁場の幾何学的形状の効果を加味します。特に、トカマクや類似のトロイダル配置内部の磁場を考慮します。これらの磁場では、曲線の内側では磁石が外側よりも密集しているため、磁場は外側よりも強くなります。これらの力を均一化するために、磁場全体が螺旋状にねじれ、粒子が原子炉の内側と外側を交互に移動するようになります。

この場合、粒子が外側から内側へ移動すると、磁力が増加します。粒子のエネルギーが低い場合、この増加する磁場によって、磁気鏡のように粒子の方向が反転することがあります。粒子は反応器内を逆方向に進み、外側の限界まで移動した後、内側に戻り、そこで同じ反射過程が起こります。これにより、粒子群は2点間を往復し、上から見るとバナナのような軌道を描きます。いわゆるバナナ軌道です。

マクスウェル・ボルツマン分布の長い尾部にある粒子はどれもこの効果を受けるため、常にそのようなバナナ粒子が自然に存在する。バナナ粒子は軌道の半分を逆方向に移動するため、空間内でのドリフト挙動は振動的となる。したがって、粒子が衝突すると、平均ステップサイズ（バナナの幅）はジャイロ半径よりもはるかに大きくなり、磁場を横切る新古典拡散が生じる。

捕捉粒子とバナナ軌道

ガイド中心軌道がトロイダル形状であるため、磁場勾配が存在すると、磁気ミラーと同様に、一部の粒子が軌道上で外側から内側に反射されることがあります。反射された粒子はポロイダル面内で完全に回転できず、バナナ軌道に沿って捕捉されます。これは、ほぼ円形の断面を持つ低アスペクト比および高アスペクト比のトカマク平衡を考えることで実証できます。この場合、磁軸を中心とする極座標を使用して、磁束面を近似的に記述できます。全磁場の大きさは、次の式で近似できます。ここで、下付き文字は磁気軸 における値、は長半径、はアスペクト比の逆数、 は磁場です。この磁場におけるドリフト秩序のガイド中心軌道の平行成分は、電場 がないと仮定すると、次のように与えられます。 ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle r={\text{constant}}}$ $${\displaystyle B\approx B_{0}(1-\varepsilon \cos {\theta })}$$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (r=0)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \varepsilon =r/R_{0}}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle m{\dot {v}}_{\parallel }=-\mu \nabla _{\parallel }B=-\nabla _{\parallel }U(\theta )}$$

ここで、 は粒子の質量、は速度、 は磁気モーメント（第一断熱不変量）です。添え字の方向は磁場に対して平行か垂直かを示します。は運動エネルギー保存則を反映する有効ポテンシャルです。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle \mu =mv_{\perp }^{2}/2B}$ ${\displaystyle U(\theta )=\mu B_{0}(1-\varepsilon \cos {\theta })}$ ${\textstyle {\mathcal {E}}={\frac {1}{2}}mv_{\parallel }^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{\perp }^{2}={\frac {1}{2}}mv_{\parallel }^{2}+U={\text{constant}}}$

平行軌道は鏡面力を受け、磁場の強さが増す方向に移動する粒子はこの力によって反射されます。磁場が磁力線に沿って最小値を持つ場合、この弱い磁場領域にある粒子は捕捉される可能性があります。これは、私たちが使用している形式の粒子を考えると確かに当てはまります。粒子は、十分な大きさの領域では反射されます（捕捉粒子）。そうでない場合は、ポロイダル回転を完了します（通過粒子）。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle v_{\perp }>v_{\parallel }}$

これを詳しく見てみると、有効ポテンシャルの最大値と最小値はそれぞれ と で表すことができます。通過する粒子は、捕捉された粒子は です。これを認識し、運動定数 を定義すると、 ${\displaystyle U_{\min }=\mu B_{0}(1-\varepsilon )}$ ${\displaystyle U_{\max }=\mu B_{0}(1+\varepsilon )}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}>U_{\max }}$ ${\displaystyle U_{\min }<{\mathcal {E}}\leq U_{\max }}$ ${\displaystyle \lambda =\mu B_{0}/{\mathcal {E}}\geq 0}$

• 通過：${\displaystyle 0\leq \lambda <1-\varepsilon }$
• 閉じ込められた:${\displaystyle 1-\varepsilon <\lambda \leq 1+\varepsilon }$

軌道幅

軌道幅は、軌道周期における の変化を考慮することで推定できる。との保存則を用いると、 軌道幅は次のように推定できる。 ${\displaystyle \Delta r}$ ${\displaystyle v_{\parallel }}$ ${\displaystyle \Delta r\sim \Delta v_{\parallel }/\Omega _{\text{p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle v_{\parallel }=\pm v{\sqrt {1-\lambda B/B_{0}}}\approx \pm v{\sqrt {1-\lambda (1-\varepsilon \cos {\theta })}}}$$

• 通過幅:${\displaystyle \Delta r_{\text{p}}\sim q\rho }$
• バナナの幅:${\displaystyle \Delta r_{\text{b}}\sim q\rho /{\sqrt {\varepsilon }}}$

捕捉された粒子の 反射角 がゼロになる角度は${\displaystyle \theta _{\text{b}}}$ ${\displaystyle v_{\parallel }}$ $${\displaystyle v_{\parallel }(\theta _{\text{b}})=0\quad \Rightarrow \quad \cos {\theta _{\text{b}}}={\frac {\lambda -1}{\varepsilon \lambda }}}$$

バウンス時間

跳ね返り時間 とは、粒子がポロイダル軌道を一周するのに必要な時間である。これは で計算される 。積分は と書き直すことができる 。 ここでであり、これは捕捉粒子の場合にも と等価である。これは、 という特性を持つ 第一種完全楕円積分の結果を用いて評価することができる。 通過する粒子の跳ね返り時間は と の間で積分することによって得られる。捕捉粒子の跳ね返り時間は と の間で 積分することによって評価される。 極限ケースは以下の通りである。 ${\displaystyle \tau _{\text{b}}}$ $${\displaystyle \tau _{\text{b}}=\int {\text{d}}t=\oint {\frac {{\text{d}}\theta }{\dot {\theta }}}=\oint {\frac {{\text{d}}\theta }{v_{\parallel }{\boldsymbol {b}}\cdot \nabla \theta }}\simeq {\frac {B}{B_{\theta }}}\oint {\frac {r\,{\text{d}}\theta }{\sigma v{\sqrt {1-\lambda (1-\varepsilon \cos {\theta })}}}}}$$ ${\displaystyle \sigma =\pm 1}$ $${\displaystyle \tau _{\text{b}}\simeq {\frac {qR}{v{\sqrt {2\varepsilon \lambda }}}}\oint {\frac {{\text{d}}\theta }{\sigma {\sqrt {k^{2}-\sin ^{2}(\theta /2)}}}}}$$ ${\displaystyle q=rB_{\phi }/RB_{\theta }}$ ${\displaystyle k^{2}\equiv [1-\lambda (1-\varepsilon )]/2\varepsilon \lambda }$ ${\displaystyle \sin ^{2}(\theta _{\text{b}}/2)}$ $${\displaystyle K(k)\equiv \int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}x}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(x)}}},\quad 0<k\leq 1}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\frac {\pi }{2}}(1+{\mathcal {O}}(k^{2}))\quad &{\text{for}}\quad k\to 0\\K(k)&\to \ln {\frac {4}{\sqrt {1-k^{2}}}}\quad &{\text{for}}\quad k\to 1\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ $${\displaystyle \tau _{b}={\frac {4qR}{\sigma {\sqrt {2\varepsilon \lambda }}}}{\frac {K(k^{-1})}{k}}}$$ ${\displaystyle [0,\theta _{\text{b}}]}$ ${\displaystyle \lambda \approx 1}$ $${\displaystyle \tau _{b}={\frac {8qR}{\sigma {\sqrt {2\varepsilon }}}}K(k)}$$

• スーパーパス：$${\displaystyle {\begin{aligned}&k\to \infty \\\implies &K(k^{-1})\to \pi /2\\\implies &\tau _{\text{b}}\to 2\pi qR/v_{\parallel }\end{aligned}}}$$
• スーパートラップ：$${\displaystyle {\begin{aligned}&k\to 0\\\implies &K(k)\to \pi /2\\\implies &\tau _{\text{b}}\to (2\pi qR/v_{\parallel }){\sqrt {2/\varepsilon }}\end{aligned}}}$$
• かろうじて捕まった:$${\displaystyle {\begin{aligned}&k\to 1\\\implies &K(k)\to \infty \\\implies &\tau _{\text{b}}\to \infty \end{aligned}}}$$

新古典派輸送体制

バナナ政権

プフィルシュ＝シュリューター体制

プラトー体制

参照

• ヴェンデルシュタイン 7-X

参考文献

• Wagner, F.; Wobig, H. (2005). 「磁気閉じ込め」. Dinklage, Andreas; Klinger, Thomas; Marx, Gerrit; Schweikhard, Lutz (編). 『プラズマ物理学：閉じ込め、輸送、集団効果』 . Springer.