バリア証明書

バリア証明書^[1]またはバリア関数は、与えられた常微分方程式またはハイブリッド力学系に対して、与えられた領域が順方向不変であることを証明するために使用されます。^[2]つまり、バリア関数は、解が与えられた集合内で開始した場合、その集合を離れることはできないことを示すために使用できます。

集合が前方不変であることを示すことは安全性の一側面であり、安全性とは、システムが安全でない集合として指定された障害を回避することが保証される特性です。

バリア証明書は、システムの状態（例えば、位置）をスカラー値にマッピングします。このスカラー値の範囲は、安全集合または安全でない集合のいずれかに対応する必要があります。この詳細は、使用するバリア関数の種類によって異なります。ゼロ化型の関数を想定すると、安全性の問題は、 となる任意の状態において が非負であるかどうかを判断することとなります。安全でない集合は のすべての負の値に対応するため、 が 0 未満の値に到達できないということは、システムが安全集合の境界を外側に越えることができないことを意味します。 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\dot {h}}}$ ${\displaystyle h=0}$ ${\displaystyle h}$

バリア証明書は、安定性におけるリアプノフ関数の役割と同様に、安全性において重要な役割を果たします。特定のタイプの安全性特性をロバストに満たす常微分方程式には、対応するバリア証明書が存在します。^[3]

歴史

バリア証明書の分野における最初の成果は、1942年に南雲通雄によって発表された南雲定理であった^{。[4] [5]}「バリア証明書」という用語は、後に凸最適化におけるバリア関数と呼ばれる同様の概念に基づいて導入された。^[4]

バリア証明書は2004年にStephen PrajnaとAli Jadbabaieによってハイブリッドシステムに一般化されました。^[6]

変種

バリア関数にはいくつかの種類があります。特徴的な点の一つは、順方向不変集合の境界におけるバリア関数の挙動です。入力が境界に近づくにつれてゼロになるバリア関数は、ゼロ化バリア関数と呼ばれます。^[7]入力が境界に近づくにつれて無限大になるバリア関数は、逆数バリア関数と呼ばれます。ゼロ化バリア関数は、集合の境界付近で無限大の値を作成しないため、組み込みアプリケーションでは好まれる場合があります。^[7]ここで「逆数」とは、逆数バリア関数がゼロ化バリア関数の 逆数として定義できることを意味します。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

参考文献

1. Prajna, Stephen; Jadbabaie, Ali (2004). 「バリア証明書を用いたハイブリッドシステムの安全性検証」.ハイブリッドシステム：計算と制御. コンピュータサイエンス講義ノート. 第2993巻. pp.  477– 492. doi :10.1007/978-3-540-24743-2_32. ISBN 978-3-540-21259-1。
2. Maghenem M, Sanfelice RG (2021年2月). 「バリア関数を用いたハイブリッド介在物における順方向不変性と収縮性のための十分条件」. Automatica . 124 109328. arXiv : 1908.03980 . doi :10.1016/j.automatica.2020.109328. ISSN  0005-1098.
3. Ratschan, Stefan (2018). 「安全性とバリア証明書の逆定理」. IEEE Transactions on Automatic Control . 63 (8): 2628– 2632. arXiv : 1701.03948 . Bibcode :2018ITAC...63.2628R. doi :10.1109/TAC.2018.2792325.
4. エイムズ、アーロン D.;クーガン、サミュエル。エゲルシュテット、マグナス。ノトミスタ、ジェンナーロ。スリーナス、コウシル。タブアダ、パウロ (2019)。 「コントロールバリア機能：理論と応用」。arXiv : 1903.11199 [cs.SY]。
5. 南雲、ミティオ(1942)、「Über die lage derintegralkurven gewöhnlicher Differentialgleichungen」、日本数学物理学第3紀、24 : 551–559 （ドイツ語）。英訳はマルセル・メナー、ユージン・ラヴレツキー（2024年）。「南雲の障壁関数に関する基礎研究の翻訳：常微分方程式の積分曲線の位置について」arXiv : 2406.18614 [eess.SY]。
6. Prajna, Stephen; Jadbabaie, Ali (2004). 「バリア証明書を用いたハイブリッドシステムの安全性検証」.ハイブリッドシステム：計算と制御. コンピュータサイエンス講義ノート. 第2993巻. pp.  477– 492. doi :10.1007/978-3-540-24743-2_32. ISBN 978-3-540-21259-1。
7. Ames, Aaron D.; Xu, Xiangru; Grizzle, Jessy W.; Tabuada, Paulo (2017年8月). 「安全重視型システムのための制御バリア関数ベース二次計画法」. IEEE Transactions on Automatic Control . 62 (8): 3861– 3876. arXiv : 1609.06408 . doi : 10.1109/TAC.2016.2638961 . ISSN  1558-2523.