双コヒーレンス
Measure of phase coupling in a signal

数学および統計解析において、バイコヒーレンス（バイスペクトルコヒーレンスとも呼ばれる）は、バイスペクトルの2乗正規化版です。バイコヒーレンスは0から1の間の値をとるため、信号における位相結合の程度を定量化する便利な指標となります。バイスペクトルおよびバイコヒーレンスの接頭辞「bi-」は、 2つの時系列x t、y tではなく、単一信号の2つの周波数を指します。

バイスペクトルは、非線形相互作用の探索に用いられる統計量です。2次キュムラント（自己相関関数）のフーリエ変換は、従来のパワースペクトルです。C 3 (t 1 ,t 2 )（3次キュムラント）のフーリエ変換は、バイスペクトルまたはバイスペクトル密度と呼ばれます。これらは高次スペクトルまたはポリスペクトルに分類され、パワースペクトルの補足情報を提供します。3次ポリスペクトル（バイスペクトル）は計算が最も容易であるため、最も広く用いられています。

コヒーレンス測定（コヒーレンス解析は、周波数領域で同時に測定される2つの信号間の相関関係を調べるために広く使用されている手法です）との違いは、2つの自己スペクトルと1つの相互スペクトルを推定することで、入力と出力の両方の測定が必要なことです。 一方、バイコヒーレンスは自動量であるため、単一の信号から計算できます。 コヒーレンス関数は、入力測定センサーと出力測定センサーの間にあるシステムの線形性からの偏差を定量化します。 バイコヒーレンスは、2次位相結合されている任意のバイ周波数での信号エネルギーの割合を測定します。 これは通常、相関係数や古典的な（2次）コヒーレンスと同様の範囲で正規化されます。 これは、麻酔深度評価やプラズマ物理学（非線形エネルギー伝達）で広く使用されており、重力波の検出にも使用されています。

バイスペクトルとバイコヒーレンスは、一次元で伝播する波の連続スペクトルの非線形相互作用の場合に適用できる。[1]

睡眠、覚醒、発作における脳波 信号のモニタリングのために、バイコヒーレンス測定が行われてきました。[要出典]

意味

バイスペクトルは三重積として定義される

B ( f 1 , f 2 ) = F ( f 1 ) F ( f 2 ) F ∗ ( f 1 + f 2 ) {\displaystyle B(f_{1},f_{2})=F(f_{1})F(f_{2})F^{*}(f_{1}+f_{2})}

ここで、 は周波数およびで評価されたバイスペクトル、は信号のフーリエ変換、 は複素共役を表します。フーリエ変換は複素数であり、バイスペクトルも複素数です。複素乗算から、バイスペクトルの振幅は各周波数成分の振幅の積に等しく、バイスペクトルの位相は各周波数成分の位相の和に等しくなります。 B {\displaystyle B} f 1 {\displaystyle f_{1}} f 2 {\displaystyle f_{2}} F {\displaystyle F} ∗ {\displaystyle ^{*}}

3 つのフーリエ成分、、が完全に位相ロックされていると仮定します。この場合、時系列の異なる部分からフーリエ変換を複数回計算すると、バイスペクトルは常に同じ値になります。すべてのバイスペクトルを合計すると、打ち消し合うことなく合計されます。一方、これらの各周波数の位相がランダムであると仮定します。この場合、バイスペクトルは同じ大きさになりますが (周波数成分の大きさが同じであると想定)、位相はランダムに向きます。すべてのバイスペクトルを合計すると、位相の向きがランダムであるため打ち消し合いが発生し、バイスペクトルの合計の大きさは小さくなります。位相結合を検出するには、多数の独立したサンプルの合計が必要です。これが、バイコヒーレンスを定義する最初の理由です。次に、バイスペクトルは、各周波数成分の大きさに依存するため、正規化されません。バイコヒーレンスには、大きさの依存性を除去する正規化係数が含まれます。 F ( f 1 ) {\displaystyle F(f_{1})} F ( f 2 ) {\displaystyle F(f_{2})} F ( f 1 + f 2 ) {\displaystyle F(f_{1}+f_{2})}

バイコヒーレンス正規化定数の定義には矛盾がある。これまでに用いられてきた定義には以下のようなものがある。

b ( f 1 , f 2 ) = | ∑ n F n ( f 1 ) F n ( f 2 ) F n ∗ ( f 1 + f 2 ) | ∑ n | F n ( f 1 ) | 2 | F n ( f 2 ) | 2 | F n ∗ ( f 1 + f 2 ) | 2 {\displaystyle b(f_{1},f_{2})={\frac {\left|\sum \limits _{n}F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})\right|}{\sqrt {\sum \limits _{n}|F_{n}(f_{1})|^{2}|F_{n}(f_{2})|^{2}|F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})|^{2}}}}}

これはSiglとChamoun 1994で提供されたものですが、正しく正規化されていないようです。あるいは、プラズマ物理学では通常、

b 2 ( f 1 , f 2 ) = | ⟨ F n ( f 1 ) F n ( f 2 ) F n ∗ ( f 1 + f 2 ) ⟩ | 2 ⟨ | F n ( f 1 ) F n ( f 2 ) | 2 ⟩ ⟨ | F n ∗ ( f 1 + f 2 ) | 2 ⟩ {\displaystyle b^{2}(f_{1},f_{2})={\frac {|\langle F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})\rangle |^{2}}{\langle |F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})|^{2}\rangle \langle |F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})|^{2}\rangle }}}

ここで、山括弧は平均化を表します。これは分子と分母が同じであるため、合計を使用するのと同じであることに注意してください。この定義はNagashima 2006から直接引用されており、He 2009とMaccarone 2005でも参照されています。 n {\displaystyle n}

最後に、最も直感的な定義の一つは、萩平2001と林2007によるもので、

b ( f 1 , f 2 ) = | ∑ n F n ( f 1 ) F n ( f 2 ) F n ∗ ( f 1 + f 2 ) | ∑ n | F n ( f 1 ) F n ( f 2 ) F n ∗ ( f 1 + f 2 ) | {\displaystyle b(f_{1},f_{2})={\frac {\left|\sum \limits _{n}F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})\right|}{\sum \limits _{n}|F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})|}}}

分子には、すべての時系列セグメントにわたって合計されたバイスペクトルの振幅が含まれます。この量は位相結合がある場合に大きくなり、ランダム位相の極限では0に近づきます。分母はバイスペクトルを正規化するもので、すべての位相を0に設定した後にバイスペクトルを計算することで得られます。これは、すべてのサンプルの位相がゼロであるため、完全な位相結合がある場合に相当します。したがって、バイコヒーレンスは0（ランダム位相）から1（完全な位相結合）の間の値になります。

物理的な解釈

上記の3つの正規化のうち、2番目の正規化は、2次非線形相互作用におけるエネルギー供給側とエネルギー受領側の間で定義される相関係数として解釈できますが、バイスペクトルは対応する共分散であることが証明されています。[2]したがって、相関が因果関係の存在を十分に証明できないのと同様に、有意なバイコヒーレンスのピークも非線形相互作用の存在を十分に実証することはできません。

参照

参考文献

  1. ^ Greb, U; Rusbridge, MG (1988年5月). 「連続スペクトルの非線形相互作用におけるバイスペクトルとバイコヒーレンスの解釈」.プラズマ物理と制御核融合. 30 (5): 537– 549. doi :10.1088/0741-3335/30/5/005.
  2. ^ 何茂生; フォーブス, ジェフリー・M. (2022年12月7日). 「中層大気におけるロスビー波第二高調波発生の観測」. Nature Communications . 13 (1): 7544. Bibcode :2022NatCo..13.7544H. doi :10.1038/s41467-022-35142-3. ISSN  2041-1723. PMC 9729661. PMID 36476614  . 
  • 萩平 誠・高階 正治・森 剛・真下 剛・吉谷 一郎 (2001). 脳波信号のバイスペクトル解析における実用上の課題. Anesthesia & Analgesia, 93(4), 966-970. http://www.anesthesia-analgesia.org/content/93/4/966.abstractより取得
  • 林 功、津田 暢、澤 毅、萩平 誠 (2007). ケタミンはプロポフォール誘発性脳波α紡錘領域におけるバイコヒーレンスピークの頻度を増加させる. British Journal of Anaesthesia, 99(3), 389-95. doi:10.1093/bja/aem175
  • 長島 雄一, 伊藤 健, 伊藤 誠, 星野 健, 藤沢 明, 江尻 明, 高瀬 雄一, 他 (2006). JFT-2Mにおける測地音響モード周波数近傍の電位変動におけるコヒーレントバイコヒーレンスとバイフェーズの観測. プラズマ物理と制御核融合, 48(5A), A377-A386. doi:10.1088/0741-3335/48/5A/S38
  • He, H. (2009). 標準的バイコヒーレンス - パートI：定義、マルチテーパー推定、および統計. 信号処理, IEEE Transactions, 57(4), 1273-1284. https://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=4749274 より取得
  • Maccarone, TJ, & Schnittman, JD (2004). 高周波準周期振動モデルの診断としてのバイコヒーレンス.王立天文学会月報, 357(1), 12-16. doi:10.1111/j.1365-2966.2004.08615.x
  • Mendel JM. 「信号処理とシステム理論における高次統計量（スペクトル）に関するチュートリアル：理論的結果といくつかの応用」IEEE紀要、79、3、278-305
  • MJ Hinich、「定常時系列のガウス性と線形性の検定」、Journal of Time Series Analysis 3 (3)、1982年、169～176頁。
  • HOSA - 高次スペクトル解析ツールボックス。(Microsoft Windows タイプのパーソナルコンピュータ用のシェアウェア。)
  • Sigl, JC、NG Chamoun. 1994. 脳波のためのバイスペクトル解析入門. Journal of Clinical Monitoring 10:392-404.
  • TH Bullock、JZ Achimowicz他、「覚醒時、睡眠時、発作時の頭蓋内 EEG のバイコヒーレンス」、Journal of Clinical Neurophysiology and EEG、1997 年、第 231 巻、130 ～ 142 頁。
  • JL Shils、M. Litt、BE Skolnick、MM Stecker、「人間の視覚的相互作用のバイスペクトル分析」、Electroencephalography and Clinical Neurophysiology、1996;98:113-125。
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