質量の減少

物理学において、換算質量とは、2つ以上の粒子が相互作用しているときのシステムの有効慣性質量の尺度です。換算質量により、2体問題を1体問題であるかのように解くことができます。ただし、重力を決定する質量は換算されないことに注意してください。計算では、一方の質量を換算質量で置き換えることができます。その場合は、もう一方の質量を両方の質量の合計で置き換えることで補正します。換算質量は多くの場合( μ ) で表されますが、標準的な重力パラメータも(他の多くの物理量と同様に)で表されます。換算質量の次元は質量で、SI単位はkg です。 μ{\displaystyle \mu}μ{\displaystyle \mu}

縮小質量は古典力学において特に有用である。

方程式

質量がm 1で、質量がm 2である2つの物体があるとします。この場合、一方の物体の他方の物体に対する位置が未知数である1体問題と等価な問題は、質量が1つの物体の場合の問題です[ 1 ] [ 2 ]。 この場合、この質量にかかる力は、2つの物体間の力によって与えられます。 μ＝メートル1∥メートル2＝11メートル1+1メートル2＝メートル1メートル2メートル1+メートル2、{\displaystyle \mu =m_{1}\parallel m_{2}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{m_{1}}}+{\cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},}

プロパティ

縮小質量は常に各物体の質量以下であり 、相互加法特性を持ちます。 これは再配置により調和平均の半分に相当します。 μ≤メートル1、μ≤メートル2{\displaystyle \mu \leq m_{1},\quad \mu \leq m_{2}}1μ＝1メートル1+1メートル2{\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}

次のような特別なケースでは、 メートル1＝メートル2{\displaystyle m_{1}=m_{2}}μ＝メートル12＝メートル22{\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}}{2}}={\frac {m_{2}}{2}}}

もし なら、。 メートル1≫メートル2{\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}μ≈メートル2{\displaystyle \mu \approx m_{2}}

導出

この式は次のように導き出されます。

ニュートン力学

ニュートンの運動の第二法則を用いると、物体 (粒子 2) が別の物体 (粒子 1) に及ぼす力は次のようになります。 F12＝メートル11つの1{\displaystyle \mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}}

粒子 1 が粒子 2 に及ぼす力は次のとおりです。 F21＝メートル21つの2{\displaystyle \mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}}

ニュートンの第3法則によれば、粒子2が粒子1に及ぼす力は、粒子1が粒子2に及ぼす力と等しく、かつ反対の力です。 F12＝−F21{\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}

したがって： メートル11つの1＝−メートル21つの2⇒1つの2＝−メートル1メートル21つの1{\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}\;\;\Rightarrow \;\;\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}}

2 つの物体間の 相対加速度a relは次のように表されます。1つのrel:=1つの1−1つの2＝（1+メートル1メートル2）1つの1＝メートル2+メートル1メートル1メートル2メートル11つの1＝F12μ{\displaystyle \mathbf {a} _{\text{rel}}:=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}}

（微分は線形演算子であるため）相対加速度は2 つの粒子間の 分離の加速度に等しいことに注意してください。arel{\displaystyle \mathbf {a} _{\text{rel}}}xrel{\displaystyle \mathbf {x} _{\text{rel}}}arel=a1−a2=d2x1dt2−d2x2dt2=d2dt2(x1−x2)=d2xreldt2{\displaystyle \mathbf {a} _{\text{rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{1}}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{2}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\left(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right)={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\text{rel}}}{dt^{2}}}}

これにより、システムの記述は1つの力（ のため）、1つの座標、そして1つの質量へと簡略化されます。こうして、問題は1つの自由度にまで簡略化され、粒子1は粒子2の位置に対して、縮約質量 に等しい質量を持つ単一の粒子として運動すると結論付けることができます。 F12=−F21{\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}xrel{\displaystyle \mathbf {x} _{\text{rel}}}μ{\displaystyle \mu }μ{\displaystyle \mu }

ラグランジアン力学

あるいは、二体問題のラグランジアン記述は、（粒子の）質量の位置ベクトルで あるラグランジアンを 与える 。位置エネルギーVは、粒子間の絶対距離のみに依存する関数である。 この座標系において、質量中心を原点と一致させ、 定義すると、 L=12m1r˙12+12m2r˙22−V(|r1−r2|){\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)}ri{\displaystyle {\mathbf {r} }_{i}}mi{\displaystyle m_{i}}i{\displaystyle i}r=r1−r2{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}m1r1+m2r2=0,{\displaystyle m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0,}r1=m2rm1+m2,r2=−m1rm1+m2.{\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\;\mathbf {r} _{2}=-{\frac {m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.}

そして、上記の式を代入すると、新しいラグランジアンが得られます 。 ここで、 は縮約質量です。こうして、二体問題が一体問題に縮約されました。 L=12μr˙2−V(r),{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),}μ=m1m2m1+m2{\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}

アプリケーション

縮減質量は、古典力学が適用可能な多数の二体問題で使用できます。

直線上の2つの質点の慣性モーメント

質量の中心の周りを回転する 2 つの質点。

2 つの質点と が共線的に存在するシステムでは、回転軸までの 2 つの距離 と は、次のように求められます。 ここで、 は両方の距離の合計です。 m1{\displaystyle m_{1}}m2{\displaystyle m_{2}}r1{\displaystyle r_{1}}r2{\displaystyle r_{2}}r1=Rm2m1+m2{\displaystyle r_{1}=R{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}r2=Rm1m1+m2{\displaystyle r_{2}=R{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}}R{\displaystyle R}R=r1+r2{\displaystyle R=r_{1}+r_{2}}

これは質量中心の周りの回転にも当てはまります。この軸の周りの慣性モーメントは次のように簡略化できます。 I=m1r12+m2r22=R2m1m22(m1+m2)2+R2m12m2(m1+m2)2=μR2.{\displaystyle I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}=R^{2}{\frac {m_{1}m_{2}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}+R^{2}{\frac {m_{1}^{2}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}=\mu R^{2}.}

粒子の衝突

反発係数eの衝突では、運動エネルギーの変化は次のように表すことができます。 ここで、v relは衝突前の物体の相対速度です。 ΔK=12μvrel2(e2−1),{\displaystyle \Delta K={\frac {1}{2}}\mu v_{\text{rel}}^{2}\left(e^{2}-1\right),}

原子核物理学における典型的な応用では、一方の粒子の質量が他方の粒子の質量よりもはるかに大きい場合、換算質量は系の小さい方の質量として近似することができます。一方の質量が無限大に近づくにつれて、換算質量の式の極限は小さい方の質量となるため、この近似は計算を容易にするために用いられ、特に大きい方の粒子の正確な質量が不明な場合に用いられます。

重力による2つの巨大な物体の運動

重力による位置エネルギーの場合、 第 1 の物体の第 2 の物体に対する位置は、これら 2 つの質量の合計に等しい特定の和に等しい質量 (M) を持つ物体を周回する縮小質量を持つ物体の位置と 同じ微分方程式によって決まることがわかります 。これは、合計が M であるその他のすべてのペアでは、質量の積が間違っているためです。 V(|r1−r2|)=−Gm1m2|r1−r2|,{\displaystyle V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}\,,}m1m2=(m1+m2)μ;{\displaystyle m_{1}m_{2}=\left(m_{1}+m_{2}\right)\mu ;}

非相対論的量子力学

水素原子中の電子（質量m e）と陽子（質量m p）を考えてみましょう。[ 3 ]両者は共通の質量中心を周回しており、これは二体問題です。電子の運動を解析するには、一体問題として、電子の質量を換算質量に置き換えます。 me→mempme+mp{\displaystyle m_{\text{e}}\rightarrow {\frac {m_{\text{e}}m_{\text{p}}}{m_{\text{e}}+m_{\text{p}}}}}

この考え方は、水素原子の シュレーディンガー方程式を設定するために使用されます。

参照

参考文献

  1. ^ Encyclopaedia of Physics (第 2 版)、 RG Lerner、GL Trigg、VHC 出版社、1991 年、(Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1、(VHC Inc.) 0-89573-752-3
  2. ^ダイナミクスと相対性理論、JRフォーショウ、AGスミス、ワイリー、2009年、 ISBN 978-0-470-01460-8
  3. ^分子量子力学パートIとII：量子化学入門（第1巻）、PWアトキンス、オックスフォード大学出版局、1977年、 ISBN 0-19-855129-0
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