ビオクトニオン

数学において、複素八元数（こくそくはんすう）は、八元数と複素数とのテンソル積である。しばしばまたは と表記される。 ${\displaystyle \mathbb {O} \otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} _{\mathbb {C} }}$

したがって、すべての二八元数はa + biと表すことができます（aとbは八元数です）。二八元数の加法は次のように定義されます。

${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d)i}$

二元数の乗法は次のように定義される。

${\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.}$

ビオクトニオンの共役は次のように定義できる。

${\displaystyle (a+bi)^{*}=ab^{*}i.}$

複素数体、自明な対比、および二次形式 z ²から出発して、ケイリー・ディクソン構成を繰り返し適用することで、双八元数を得るという同等の手法も存在します。この構成を一度適用して双四元数を得た後、もう一度適用することで双八元数が得られます。このアプローチは、複素数上の 八元数代数として双八元数を示すものです。

具体的には、このアプローチでは、双四元数は ( p,q )のペアとして表され、pとqは双四元数である。双四元数の加法は次のように定義される。

${\displaystyle (p,q)+(r,s)=(p+r,q+s)}$

一方、双四元数の乗算は、双四元数の乗算と双四元数pの共役を使用して次のように定義されます。 ${\displaystyle p^{\ast}}$

${\displaystyle (p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,\ sp+qr^{*}).}$

このアプローチでは、ビオクトニオンz = ( p, q ) は共役z * = ( p *, – q ) を持ち、ビオクトニオンzのノルムN ( z ) はzz * = pp * + qq *となり、これは8つの項を持つ複素二次形式となる。任意のビオクトニオンyとzのペアについて、

${\displaystyle N(yz)=N(y)N(z),}$

Nは合成を許容する二次形式であることを示す。したがって、二八元数は複素数上の 合成代数を形成する。

ガイ・ルースは、例外的な対称領域を表現するためにビオクトニオンがどのように使用されるかを説明した。^[1]

例外領域の明示的な記述には、複素八元数のケーリー グレーブス代数の要素を持つ 3x3 行列が含まれます。ケーリー共役に関してエルミートであるこのような行列の空間には、通常の正方行列の対称化積を自然に一般化する積を使用するジョルダン代数の構造を与えることができます。この代数は、アルバート代数または例外ジョルダン代数として知られています。これは、次元 27 の例外対称領域を記述する自然な場所です。2 番目の例外対称領域 (複素次元 16) は、八元数の要素を持つ 2x1 行列の空間にあります。${\displaystyle \mathbb {O} _{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {O} _{\mathbb {C} })}$ ${\displaystyle x\circ y={\tfrac {1}{2}}(xy+yx)}$ ${\displaystyle M_{2,1}(\mathbb {O} _{\mathbb {C} })}$

複素八元数はクォークとレプトンの世代を記述するために使われてきた。^[2]

参考文献

1. Symmetries in Complex Analysisの158ページ、Bruce GilliganとGuy J. Roos編、Contemporary Mathematics #468、アメリカ数学会ISBN  978-0-8218-4459-5
2. C. Furey (2016) 代数からの標準モデル物理学?

• JD Edmonds (1978) 9ベクトル、複素八元数/四元数超複素数、リー群と「現実」世界、Foundations of Physics 8(3-4): 303–11、doi :10.1007/BF00715215、 PhilPapersからのリンク。
• J. Koeplinger & V. Dzhunushaliev (2008)「複素八元数を用いた角運動量演算子の非結合的分解」アメリカ物理学会での発表
• DG Kabe (1984)「超複雑多変量正規分布」、Metrika 31(2):63−76 MR  0744966
• AA Eliovich & VI Sanyuk (2010)「多項式」、理論数学物理学162(2) 135−48 MR  2681963