ユークリッド幾何学において、束定理はユークリッド平面上の6つの円と8つの点に関する定理です。一般入射幾何学において、これはメビウス平面が満たすかどうかは定かではない類似の性質です。カーンの定理によれば、これは「卵形」のメビウス平面でのみ満たされます。したがって、これは射影平面におけるデザルグの定理のメビウス平面における類似物です。
束定理。8 つの異なる点について、6つの四重項のうち5つが少なくとも4つのサイクルで共循環的（サイクルに含まれる）である場合、6番目の四重項も共循環的である。[1]
束定理はミゲルの定理と混同してはならない (ただし、完全な四辺形のミゲル点の図上で 円反転を取ることで導出できる)。
実ユークリッド空間の卵形メビウス平面は、球面、楕円体、楕円体の適切な半分に接着された半球面、方程式 の表面など、卵形の表面の平面部分の幾何学として考えることができます。卵形の表面が球面の場合、球面上の「円幾何学」である古典的な実メビウス平面の空間モデルが得られます。
卵形メビウス平面の本質的な性質は、卵形を介した空間モデルの存在である。3次元射影空間における卵形は、a) 直線が0点、1点、または2点で交差し、b) 任意の点における接線が平面（接平面）を覆う点の集合である。3次元射影空間における卵形の幾何学はメビウス平面であり、卵形メビウス平面と呼ばれる。この幾何学の点集合は卵形を構成する点から構成され、曲線（「円環」）は卵形を構成する平面断面である。適切な立体投影図から、任意の卵形メビウス平面に対して平面モデルが存在することがわかる。[2]古典的な場合、平面モデルは円と直線の幾何学である（各直線は無限遠点によって完結する）。束定理には平面的解釈と空間的解釈がある。平面モデルには直線が含まれる場合がある。束定理の証明は空間モデル内で実行されます。
定理。 束定理はあらゆる卵形メビウス平面で成り立つ。
証明は、3 次元の射影空間内の 3 つの平面が 1 つの点で交差するという事実を本質的に利用する以下の考察の結果です。
- 閉路を含む平面は点で交差します。したがって、直線の交点は（空間上で！）です。
- 閉路を含む平面は点 で交差します。したがって、直線の交点も です。
このことから、a)と b)も点 で交差することがわかります。最後の文は、が同心円であることを意味します。関係する平面は共通の点を持ち、平面束の要素です。
束定理の重要性はジェフ・カーンによって示されました。
カーンの定理。 メビウス平面が卵形であるための必要十分条件は、束定理を満たすことである。[3]
メビウス平面における束定理は、射影平面におけるデザルグの定理に類似している。束定理から、a)歪体（分割環）とb) 卵形体の存在が導かれる。より厳密なミゲルの定理が成り立つ場合、歪体は偶可換体であり、卵形体は二次曲面体である。
メビウス平面は卵形ではない。[4]
卵形ラゲール平面には、同様の意味を持つ束定理が存在する。[5]
参考文献
- ^ ハートマン、61ページ。
- ^ ハートマン、63ページ。
- ^ カーン、62ページ。
- ^ ハートマン、64ページ。
- ^ ハートマン、78ページ。
出典
- ハートマン、エーリッヒ. 平面円幾何学、メビウス平面、ラゲール平面、ミンコフスキー平面入門. (PDF; 891 kB) ダルムシュタット工科大学数学部
- カーン、ジェフ. 束定理を満たす反転平面. 組合せ理論ジャーナル、シリーズA、第29巻、第1号、pp. 1-19、1980年7月. doi:10.1016/0097-3165(80)90043-6
さらに読む
- W. ベンツ、フォルレスンゲン ユーバー ジオメトリ デア アルゲブレン、シュプリンガー(1973)
- P. デンボウスキー『有限幾何学』シュプリンガー・フェアラーク（1968年）ISBN 3-540-61786-8、256ページ
