鎖複合体

数学において、連鎖複体とは、アーベル群（または加群）の列と、各準同型の像が次の群の核に含まれるような連続する群間の準同型写像の列からなる代数構造である。連鎖複体にはホモロジーが関連しており、これは（大まかに言えば）連鎖複体が正確ではない度合いを示す尺度である。

コチェイン複体は、準同型性が逆方向であることを除いて、チェイン複体に類似しています。コチェイン複体のホモロジーは、コホモロジーと呼ばれます。

代数位相幾何学において、位相空間Xの特異鎖複体は単体からX への連続写像を用いて構成され、鎖複体の準同型性はこれらの写像が単体の境界にどのように制限されるかを捉える。この鎖複体のホモロジーはX の特異ホモロジーと呼ばれ、位相空間の 不変量としてよく用いられる。

連鎖複体はホモロジー代数学で研究されているが、抽象代数学、ガロア理論、微分幾何学、代数幾何学など、数学の様々な分野で用いられている。より一般的にはアーベル圏で定義することができる。

定義

連鎖複体とは、準同型（ 境界作用素または微分と呼ばれる）によって連結されたアーベル群または加群の列であり、任意の2つの連続する写像の合成は零写像となる。明示的には、これらの微分はすべての に対して を満たす。簡潔には を満たす。この複体は次のように書き表される。 ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{\bullet })}$ ${\displaystyle \cdots ,A_{0},A_{1},A_{2},\dots }$ ${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$ ${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d^{2}=0}$

${\displaystyle \cdots \xleftarrow {d_{0}} A_{0}\xleftarrow {d_{1}} A_{1}\xleftarrow {d_{2}} A_{2}\xleftarrow {d_{3}} A_{3}\xleftarrow {d_{4}} A_{4}\xleftarrow {d_{5}} \cdots }$

コチェイン複体は、チェイン複体の 双対概念です。これは、を満たす準同型（共境界作用素）で接続されたアーベル群または加群の列で構成されます。コチェイン複体は、チェイン複体と同様の方法で記述できます。 ${\displaystyle (A^{\bullet },d^{\bullet })}$ ${\displaystyle \cdots ,A^{0},A^{1},A^{2},\dots }$ ${\displaystyle d^{n}:A^{n}\to A^{n+1}}$ ${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0}$

${\displaystyle \cdots \xrightarrow {d^{-1}} A^{0}\xrightarrow {d^{0}} A^{1}\xrightarrow {d^{1}} A^{2}\xrightarrow {d^{2}} A^{3}\xrightarrow {d^{3}} A^{4}\xrightarrow {d^{4}} \cdots }$

どちらの場合も、この指標は次数（または次元）と呼ばれます。連鎖錯体と共連鎖錯体の違いは、連鎖錯体では微分によって次元が減少するのに対し、共連鎖錯体では微分によって次元が増加することです。連鎖錯体の概念と定義はすべて共連鎖錯体にも適用されますが、次元に関する慣例が異なり、多くの場合、用語には接頭辞「co-」が付けられます。この記事では、区別が不要な場合は連鎖錯体の定義を示します。 ${\displaystyle n}$

有界連鎖複体とは、ほぼすべてのが0である複体、つまり左右に 0 だけ拡張された有限複体です。例として、有限単体複体の単体ホモロジーを定義する連鎖複体が挙げられます。連鎖複体は、ある一定の次数より上のすべてのモジュールが 0 である場合に上方に有界であり、ある一定の次数より下のすべてのモジュールが 0 である場合に下方に有界です。明らかに、複体が有界である場合に限り、複体は上方と下方の両方に有界です。 ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle N}$

(コ)チェイン複体の個々の群の元は(コ)チェインと呼ばれる。の核の元は(コ)サイクル（または閉元）と呼ばれ、 dの像の元は(コ)境界（または厳密元）と呼ばれる。微分の定義から、すべての境界はサイクルである。n次(コ)ホモロジー群H _n ( H ⁿ )は、 n次の(コ)境界を法とする(コ)サイクル群である。すなわち、 ${\displaystyle d}$

${\displaystyle H_{n}=\ker d_{n}/{\mbox{im }}d_{n+1}\quad \left(H^{n}=\ker d^{n}/{\mbox{im }}d^{n-1}\right)}$

正確なシーケンス

完全列（または完全複体）とは、ホモロジー群がすべてゼロとなる連鎖複体です。これは、複体内のすべての閉元が完全であることを意味します。短完全列とは、 A _k、A _{k +1}、A _{k +2}の群のみが非ゼロとなり得る有界完全列です。例えば、次の連鎖複体は短完全列です。

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\;\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {\times p}}\;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\cdots }$

中間のグループでは、閉じた要素は要素 p Zです。これらは明らかにこのグループ内の正確な要素です。

チェーンマップ

2つの鎖複体と間の鎖写像 fは、2つの鎖複体上の境界作用素と可換な各nに対する準同型写像の列である。つまり、これは次の可換図式で表すことができる。 ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{A,\bullet })}$ ${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}}$ ${\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}}$

連鎖写像は、サイクルをサイクルに、境界を境界に送信し、それによってホモロジー上の写像を誘導します。 ${\displaystyle (f_{\bullet })_{*}:H_{\bullet }(A_{\bullet },d_{A,\bullet })\rightarrow H_{\bullet }(B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$

位相空間XとY間の連続写像f は、 XとYの特異鎖複体間の鎖写像を誘導し、したがってXとYの特異ホモロジー間の写像f _{*も誘導する。} XとYがともにn -球面に等しい場合、ホモロジー上に誘導される写像は写像fの次数を定義する。

チェーン マップの概念は、チェーン マップの 円錐の構築を通じて境界の概念にまで縮小されます。

チェーンホモトピー

連鎖ホモトピーは、ホモロジー群上に同じ写像を誘導する2つの連鎖写像を、たとえ写像が異なっていても関連付ける方法を提供する。2つの連鎖複体AとB、および2つの連鎖写像f , g  : A → Bが与えられたとき、連鎖ホモトピーとは、 hd _A + d _B h = f − gを満たす準同型写像h _n  : A _n → B _{n +1}の列である。これらの写像は次のように図式化できるが、この図は可換ではない。

写像hd _A + d _B h は、任意のhに対して、ホモロジー上の零写像を誘導することが容易に証明される。このことから、 fとg はホモロジー上に同じ写像を誘導することが直ちに分かる。 fとgは連鎖ホモトピック（あるいは単にホモトピック）であるとされ、この性質は連鎖写像間の同値関係を定義する。

XとYを位相空間とする。特異点ホモロジーの場合、連続写像f , g  : X → Y間のホモトピーは、 fとgに対応する鎖写像間の鎖ホモトピーを誘導する。これは、2つのホモトピック写像が特異点ホモロジー上に同じ写像を誘導することを示す。「鎖ホモトピー」という名称は、この例に由来する。

例

特異ホモロジー

Xを位相空間とする。自然nに対してC n ₍ X )をXの特異n単体によって形式的に生成される自由アーベル群と定義し、境界写像を次のように 定義する。 ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)}$

${\displaystyle \partial _{n}:\,(\sigma :[v_{0},\ldots ,v_{n}]\to X)\mapsto (\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma :[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]\to X)}$

ここで、ハットは頂点の省略を表す。つまり、特異単体の境界は、その面に対する制約の交代和である。∂ ² = 0 であることが示され、連鎖複体も同様である。特異ホモロジーはこの複体のホモロジーである。 ${\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet })}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(X)}$

特異ホモロジーは、ホモトピー同値性を除き、位相空間の有用な不変量である。零次ホモロジー群は、Xのパス成分上の自由アーベル群である。

ド・ラームコホモロジー

任意の滑らかな多様体M 上の微分k形式は、加法の下でΩ ^k ( M )と呼ばれる実ベクトル空間を形成する。外微分dは Ω ^k ( M ) を Ω ^{k +1} ( M ) に写し、d ² = 0 は本質的に二階微分の対称性から導かれる。したがって、k形式のベクトル空間と外微分は共鎖複素となる。

${\displaystyle 0{\stackrel {\subset }{\to }}\ {\Re ^{c}}{\stackrel {\subset }{\to }}\ {\Omega ^{0}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ {\Omega ^{1}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ {\Omega ^{2}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots }$

この複体のコホモロジーはMのde Rham コホモロジーと呼ばれる。局所定数関数は、 Mの互いに分離した成分の数を c とする同型性で示される。このようにして、この複体は部分集合作用素を用いて零形式レベルで正確な複体となるように拡張された。 ${\displaystyle \Re ^{c}}$

多様体間の滑らかな写像は連鎖写像を誘導し、写像間の滑らかなホモトピーは連鎖ホモトピーを誘導します。

鎖状錯体のカテゴリー

連鎖写像を射とする - モジュールの連鎖複体はカテゴリを形成します。ここで、は可換環です。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbf {Ch} _{K}}$ ${\displaystyle K}$

とが連鎖複体である場合、それらのテンソル積は次数元を持つ 連鎖複体であり、${\displaystyle V=V_{*}}$ ${\displaystyle W=W_{*}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{n}=\bigoplus _{\{i,j\mid i+j=n\}}V_{i}\otimes W_{j}}$

そして、微分は次のように与えられる。

${\displaystyle \partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \partial b}$

ここで、 とはそれぞれと の任意の 2 つの同次ベクトルであり、は の次数を表します。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \left|a\right|}$ ${\displaystyle a}$

このテンソル積は、圏を対称モノイド圏とする。このモノイド積に関する恒等対象は、次数 の鎖複体として見た基本環である。同次元の単純テンソル上の組紐は、次のように与えられる 。${\displaystyle \mathbf {Ch} _{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a}$

編み込みが連鎖地図となるためには、記号が必要です。

さらに、 - 加群の鎖複体のカテゴリにも内部 Homが存在する。鎖複体と が与えられたとき、との内部 Hom はで表され、次数が与えられ、微分が で与えられる 鎖複体である。${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})}$

${\displaystyle (\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f\right|}f(\partial (v))}$ 。

我々は自然な同型性を持っている

${\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))}$

その他の例

• アミトゥール複合施設
• ブロッホの高次チョウ群を定義するために用いられる複合体
• ブックスバウム・リム複合体
• チェフ・コンプレックス
• いとこコンプレックス
• イーゴン・ノースコット複合体
• ゲルステン複合体
• グラフ複素数^[1]
• コズル複合体
• ムーアコンプレックス
• シューア複合体

参照

• 微分階数代数
• 微分次数リー代数
• ドルド・カン対応によれば、連鎖複体のカテゴリと単体アーベル群のカテゴリの間には同値性がある。
• Buchsbaum-Eisenbud の非周期性基準
• 微分勾配モジュール

参考文献

1. 「グラフ複素数」。

• ボット、ラウル; トゥ、ローリング W. (1982)、代数的位相幾何学における微分形式、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90613-3
• ハッチャー、アレン（2002年）『代数的位相幾何学』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79540-0。