繊維の変化

代数的位相幾何学では、ファイバ化 p : E → Bが与えられた場合、ファイバの変化はB内のパスによって誘導されるファイバ間のマップです。

被覆はファイバ化なので、この構成は被覆空間の理論における対応する事実を一般化します。

意味

βがB内の、例えばbから始まる経路である場合、最初の写像が射影となるホモトピーが成り立ちます。pはファイブレーションなので、ホモトピーの持ち上げ特性により、hは となるホモトピーに持ち上げられます。つまり、次のようになります 。${\displaystyle h:p^{-1}(b)\times I\to I{\overset {\beta }{\to }}B}$ ${\displaystyle g:p^{-1}(b)\times I\to E}$ ${\displaystyle g_{0}:p^{-1}(b)\hookrightarrow E}$

${\displaystyle g_{1}:p^{-1}(b)\to p^{-1}(\beta (1))}$ 。

(曖昧さがある可能性があるため、明確に定義する必要はありません。) ${\displaystyle \beta \mapsto g_{1}}$

Bにおけるパスクラスの集合を とします。この構成により写像が決定されると主張します。 ${\displaystyle \operatorname {Pc} (B)}$

${\displaystyle \tau :\operatorname {Pc} (B)\to }$ 地図のホモトピー類の集合。

βとβ'が同じパスクラスに属していると仮定すると、βからβ'への ホモトピーhが存在する。

${\displaystyle K=I\times \{0,1\}\cup \{0\}\times I\subset I^{2}}$ 。

図を描くと、同相写像 を同相写像 に制限して、が存在する。が、 、となるとしよう。 ${\displaystyle I^{2}\to I^{2}}$ ${\displaystyle K\to I\times \{0\}}$ ${\displaystyle f:p^{-1}(b)\times K\to E}$ ${\displaystyle f(x,s,0)=g(x,s)}$ ${\displaystyle f(x,s,1)=g'(x,s)}$ ${\displaystyle f(x,0,t)=x}$

すると、ホモトピーリフティングの性質により、ホモトピーをwに持ち上げることができ、wは に制限されます。特に、 となり、主張が成立します。 ${\displaystyle p^{-1}(b)\times I^{2}\to I^{2}{\overset {h}{\to }}B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g_{1}\sim g_{1}'}$

この構成から、写像が準同型であることは明らかである。 ${\displaystyle \ガンマ (1)=\ベータ (0)}$

${\displaystyle \tau ([c_{b}])=\operatorname {id} ,\,\tau ([\beta ]\cdot [\gamma ])=\tau ([\beta ])\circ \tau ([\gamma ])}$

ここではbにおける定数経路です。したがって、 は逆関数を持ちます。したがって、実際には次のように言えます。 ${\displaystyle c_{b}}$ ${\displaystyle \tau ([\beta ])}$

${\displaystyle \tau :\operatorname {Pc} (B)\to }$ ホモトピー同値のホモトピー類の集合。

また、 B内の各bについて、

${\displaystyle \tau :\pi _{1}(B,b)\to }$ { [ƒ] | ホモトピー同値}${\displaystyle f:p^{-1}(b)\to p^{-1}(b)}$

これは群準同型である（右辺は明らかに群である）。言い換えれば、Bのbにおける基本群は、ホモトピーを除いてb上のファイバーに作用する。この事実は、構造群が存在しないという仮定の有用な代替となる。

結果

構築の結果の 1 つは次のとおりです。

• パス成分上のpのファイバーは互いにホモトピー同値です。

参考文献

• ジェームズ・F・デイビス、ポール・カーク『代数的位相幾何学の講義ノート』
• メイ、J. 代数的位相幾何学の簡潔なコース