収束半径

数学において、べき級数の収束半径とは、級数が収束する級数の中心にある最大の円板の半径のことである。これは非負の実数または である。これが正の場合、べき級数は収束半径に等しい半径の開円板の内部にあるコンパクト集合上で絶対かつ一様に収束し、収束する先は解析関数のテイラー級数である。関数に多重特異点がある場合（特異点とは、関数が定義されていない引数の値である）、収束半径は収束円板の中心から関数のそれぞれの特異点まで計算したすべてのそれぞれの距離（すべて非負の数）の最短または最小値である。 ∞{\displaystyle \infty}

意味

次のように定義されるべき級数fの場合:

f（z）＝∑n＝0∞cn（z−1つの）n、{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(za)^{n},}

どこ

  • aは複素定数であり 、収束円の中心である。
  • c nはn番目の複素係数であり、
  • zは複素変数です。

収束半径rは非負の実数または次の式を満たすような数列である。 ∞{\displaystyle \infty}

|z−1つの|<r{\displaystyle |za|<r}

そして発散する

|z−1つの|>r。{\displaystyle |za|>r.}

存在は明らかなので、別の定義を好む人もいるかもしれません。

r＝すする{|z−1つの| | ∑n＝0∞cn（z−1つの）n  収束する }{\displaystyle r=\sup \left\{|za|\ \left|\ \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(za)^{n}\ {\text{収束する }}\right.\right\}}

境界上、すなわち| z  −  a | = rにおいては、冪級数の挙動は複雑になり、zのある値では収束し、他の値では発散する可能性がある。もし級数がすべての複素数zに対して収束するならば、収束半径は無限大となる。[ 1 ]

収束半径を求める

次の 2 つのケースが考えられます。

  • 最初のケースは理論的なものです。すべての係数がわかっている場合は、特定の制限を取り、正確な収束半径を見つけます。cn{\displaystyle c_{n}}
  • 2つ目のケースは実際的です。難しい問題のべき級数解を構築する場合、通常、べき級数の項数は有限個しか分かっていません。数項から数百項程度の範囲です。この2つ目のケースでは、プロットを外挿することで収束半径を推定できます。

理論半径

収束半径は級数の項に 根号検定を適用することで求めることができる。根号検定では、

C＝リムサップn→∞|cn（z−1つの）n|n＝リムサップn→∞（|cn|n）|z−1つの|{\displaystyle C=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}(za)^{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }\left({\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\right)|za|}

「lim sup」は、その極限を表します。根のテストは、 C  < 1 の場合には級数が収束し、 C > 1 の場合には発散することを述べています。したがって、 zから中心aまでの距離が以下の  場合には、冪級数は収束します。

r＝1リムサップn→∞|cn|n{\displaystyle r={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty}{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}}}

距離がその数を超えると発散します。この定理はコーシー・アダマールの定理です。r = 1/0は 無限大半径と解釈され、fは整関数であることに注意してください。

比率テストに関係する限界は通常は計算が容易であり、その限界が存在する場合、収束半径が有限であることが示されます。

r＝リムn→∞|cncn+1|。{\displaystyle r=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|.}

これは次のように示される。比検定によれば、級数は収束する。

リムn→∞|cn+1（z−1つの）n+1||cn（z−1つの）n|<1.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|c_{n+1}(za)^{n+1}|}{|c_{n}(za)^{n}|}}<1.}

これは次の式に相当します

|z−1つの|<1リムn→∞|cn+1||cn|＝リムn→∞|cncn+1|。{\displaystyle |za|<{\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\frac {|c_{n+1}|}{|c_{n}|}}}}=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|.}

実係数の場合の半径の実際的な推定

関数のプロット 緑の実線は、Domb–Sykesプロット[ 2 ] (b)の直線漸近線であり、縦軸と-2で切片を持ち、傾きは+1である。したがって、特異点は であり、収束半径はf（ε）＝ε（1+ε3）1+2ε。{\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {\varepsilon (1+\varepsilon ^{3})}{\sqrt {1+2\varepsilon }}}.}ε＝−1/2{\displaystyle \varepsilon =-1/2}r＝1/2.{\displaystyle r=1/2.}

通常、科学応用においては、有限個の係数しか知られていません。典型的には、係数が増加するにつれて、これらの係数は最も近い半径制限特異点によって決定される規則的な挙動に落ち着きます。この場合、テイラー級数の係数がほぼ指数関数的であり、ここでは収束半径である という事実に基づいて、2つの主要な手法が開発されました。cn{\displaystyle c_{n}}n{\displaystyle n}1/r{\displaystyle 1/r}r{\displaystyle r}

  • 基本的なケースは、係数が最終的に共通の符号を共有するか、交互に符号が変わる場合です。この記事の前半で指摘したように、多くの場合、この極限は存在し、この場合は です。負は、収束限界特異点が負の軸上にあることを意味します。 を に対してプロットすることでこの極限を推定し、線形近似を介して（実質的に）にグラフ的に外挿します。 との切片は、収束半径 の逆数 を推定します。このプロットはDomb–Sykesプロットと呼ばれます。[ 3 ]リムn→∞cn/cn−1{\textstyle \lim _{n\to \infty }{c_{n}/c_{n-1}}}1/r＝リムn→∞cn/cn−1{\textstyle 1/r=\lim _{n\to \infty}{c_{n}/c_{n-1}}}r{\displaystyle r}cn/cn−1{\displaystyle c_{n}/c_{n-1}}1/n{\displaystyle 1/n}1/n＝0{\displaystyle 1/n=0}n＝∞{\displaystyle n=\infty}1/n＝0{\displaystyle 1/n=0}1/r{\displaystyle 1/r}
  • より複雑なケースは、係数の符号がより複雑なパターンを示す場合です。マーサーとロバーツは以下の手順を提案しました。[ 4 ] 関連する数列を定義します。有限個の既知の数を に対してプロットし、線形近似によって までグラフ的に外挿します。 との切片は、収束半径 の逆数 を推定します。bn2＝cn+1cn−1−cn2cncn−2−cn−12n＝3、4、5、…。{\displaystyle b_{n}^{2}={\frac {c_{n+1}c_{n-1}-c_{n}^{2}}{c_{n}c_{n-2}-c_{n-1}^{2}}}\quad n=3,4,5,\ldots .}bn{\displaystyle b_{n}}1/n{\displaystyle 1/n}1/n＝0{\displaystyle 1/n=0}1/n＝0{\displaystyle 1/n=0}1/r{\displaystyle 1/r}
    この手順では、収束限界特異点の他の2つの特性も推定します。最も近い特異点が 度 で、 が実軸に対して角度 を持つと仮定します。この場合、上記の線形近似の傾きは となります。さらに、に対してプロットすると、 に外挿した線形近似は で切片を持ちます。p{\displaystyle p}±θ{\displaystyle \pm \theta }−（p+1）/r{\displaystyle -(p+1)/r}12（cn−1bncn+cn+1cnbn）{\textstyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {c_{n-1}b_{n}}{c_{n}}}+{\frac {c_{n+1}}{c_{n}b_{n}}}\right)}1/n2{\textstyle 1/n^{2}}1/n2＝0{\textstyle 1/n^{2}=0}コス⁡θ{\displaystyle \cos \theta}

複素解析における収束半径

正の収束半径を持つべき級数は、その引数を複素変数とすることで正則関数に変換できます。収束半径は次の定理によって特徴付けられます。

点aを中心とするべき級数fの収束半径は、f が正則となるような方法で定義できない最も近い点aからの距離に等しくなります。

aまでの距離が収束半径よりも厳密に小さいすべての点の集合は、収束円板と呼ばれます。

の収束半径 (白) とテイラー近似 (青) 。11+z2{\displaystyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}

最近点とは、複素平面上の最近点を意味し、中心とすべての係数が実数であっても、必ずしも実数直線上にあるとは限らない。例えば、関数

f（z）＝11+z2{\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}

実数直線上には特異点がない。なぜなら は実根を持たないからである。0 についてのテイラー級数は次のように与えられる。 1+z2{\displaystyle 1+z^{2}}

∑n＝0∞（−1）nz2n。{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}.}

根のテストにより、その収束半径は 1 であることが示されています。これに従って、関数f ( z ) は ± iに特異点を持ち、その距離は 0 から 1 です。

この定理の証明については、正則関数の解析性を参照してください。

簡単な例

逆正接関数は、次のように累乗級数的に展開できます。

アークタンジェント⁡（z）＝z−z33+z55−z77+⋯。{\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots .}

この場合、ルート テストを適用すると、収束半径が 1 であることが簡単にわかります。

より複雑な例

次のべき級数を考えてみましょう。

zez−1＝∑n＝0∞Bnn!zn{\displaystyle {\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}}

ここで、有理数B nはベルヌーイ数である。この級数の収束半径を求めるために比の検定を適用するのは面倒かもしれない。しかし、上述の複素解析の定理はこの問題を素早く解決する。z = 0 では、特異点は除去可能であるため、実質的には特異点は存在しない。したがって、除去不可能な特異点は、分母がゼロとなる他の点のみに存在する 。

ez−1＝0{\displaystyle e^{z}-1=0}

z = x + iyかつe iy = cos( y ) + i sin( y )ならば、

ez＝e×e私y＝e×（コス⁡（y）+私罪⁡（y））、{\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y)),}

そして、xとyを実数とします。yは実数なので、cos( y )+ isin ( y )の絶対値は必然的に1です。したがって、 ezの絶対値が1になるのはexが1のときのみです。xは実数なので、これはx = 0のときのみです。したがって、 zは純虚数となり、cos( y )+ isin ( y )=1となります。yは実数なので、これはcos( y )=1かつsin( y )=0のときのみであり、 yは2πの整数倍となります。したがって、この関数の特異点は

z = 2 π iのゼロでない整数倍。

冪級数展開の中心である0に最も近い特異点は±2 π iにあります。中心からこれらの点までの距離はいずれも2 πなので、収束半径は2 πです。

境界上の収束

冪級数を点aの周りに展開し、収束半径をrとすると、 | z − a | = rを満たす点z全体の集合は、収束円板の境界と呼ばれる円となる。冪級数は境界上のすべての点で発散する場合もあれば、一部の点で発散し他の点で収束する場合もあれば、境界上のすべての点で収束する場合もある。さらに、級数が境界上のあらゆる場所で（一様収束する場合でも）収束するとしても、必ずしも絶対収束するとは限らない。

例1:関数f ( z )=1/(1− z )の冪級数をz =0の周りで展開すると、単純に

∑n＝0∞zn、{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n},}

収束半径は 1 で、境界上のすべての点で発散します。

例2: g ( z ) = −ln(1 − z )の冪級数をz = 0の周りで展開すると、

∑n＝1∞1nzn、{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}z^{n},}

収束半径は1であり、z = 1では発散するが、境界上の他のすべての点では収束する。例1の 関数f ( z )はg ( z )の微分である。

例3: べき級数

∑n＝1∞1n2zn{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}z^{n}}

収束半径は1であり、境界上のあらゆる場所で絶対収束する。hを単位円板上のこの級数で表される関数とすると、 h ( z )の微分は例2のgを用いてg ( z )/ zに等しい。h ( z )は二重対数関数であることがわかる。

例4: べき級数

∑私＝1∞1つの私z私 どこ 1つの私＝（−1）n−12nn のために n＝⌊ログ2⁡（私）⌋+1、一意の整数 2n−1≤私<2n、{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}z^{i}{\text{ ただし }}a_{i}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}{\text{ }}n=\lfloor \log _{2}(i)\rfloor +1{\text{ の場合、 }}2^{n-1}\leq i<2^{n} を満たす唯一の整数}

収束半径は1で、境界全体| z | = 1で一様収束するが、境界上で絶対収束しない。 [ 5 ]

収束速度

関数を展開すると

罪⁡×＝∑n＝0∞（−1）n（2n+1）!×2n+1＝×−×33!+×55!−⋯ すべての人のために ×{\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ すべての }}x について}

点x = 0 の周囲では、この級数の収束半径は であることがわかります。これは、この級数がすべての複素数に対して収束することを意味します。ただし、応用分野では、数値解の精度が重要になることがよくあります。級数が評価される項の数と値の両方が、答えの精度に影響します。たとえば、小数点以下 5 桁までの精度でsin(0.1)を計算したい場合、級数の最初の 2 つの項だけが必要です。ただし、x = 1について同じ精度が必要な場合は、級数の最初の 5 つの項を評価して合計する必要があります。sin(10)については、級数の最初の 18 項が必要であり、sin(100)については、最初の 141 項を評価する必要があります。 ∞{\displaystyle \infty}

したがって、これらの特定の値の場合、べき級数展開の収束は中心で最も速くなり、収束の中心から離れるにつれて、収束速度は遅くなり、境界（存在する場合）に到達して境界を越えると、級数は発散します。

ディリクレ級数の収束の横座標

類似の概念はディリクレ級数の収束の横軸である。

∑n＝1∞1つのnns。{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}}

このような級数は、係数a n （収束の 横座標）に応じて、 sの実部が特定の数よりも大きい場合に収束します。

注記

  1. ^数学的解析-II .クリシュナ・プラカシャン・メディア。 2010 年 11 月 16 日。
  2. ^図8.1を参照： Hinch, EJ (1991), Perturbation Methods , Cambridge Texts in Applied Mathematics, vol. 6, Cambridge University Press, p. 146, ISBN 0-521-37897-4
  3. ^ Domb, C.; Sykes, MF (1957), 「​​キュリー点以上における強磁性体の磁化率について」, Proc. R. Soc. Lond. A , 240 (1221): 214– 228, Bibcode : 1957RSPSA.240..214D , doi : 10.1098/rspa.1957.0078 , S2CID 119974403 
  4. ^マーサー、GN; ロバーツ、AJ (1990)、「流動特性が変化するチャネルにおける汚染物質分散の中心多様体記述」、SIAM J. Appl. Math.、50 (6): 1547– 1565、doi : 10.1137/0150091
  5. ^シェルピンスキー、W. (1918)。「O szeregupotęgowym、który jest zbieżny na całem swem kole zbieżności jednostajnie、ale nie bezwzględnie」。マテマティチュノ＝フィジチュネをプレースします。29 (1): 263–266 .

参考文献

参照

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