ラップされたコーシー分布

ラップされたコーシー
確率密度関数 サポートは[-π,π)に選択される。
累積分布関数 サポートは[-π,π)に選択される。
パラメータ	${\displaystyle \mu }$ 本物 ${\displaystyle \gamma >0}$
サポート	${\displaystyle -\pi \leq \theta <\pi }$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\,{\frac {\sinh(\gamma )}{\cosh(\gamma )-\cos(\theta -\mu )}}}$
CDF	${\displaystyle \,}$
平均	${\displaystyle \mu }$ （円形）
分散	${\displaystyle 1-e^{-\gamma }}$ （円形）
エントロピ	${\displaystyle \ln(2\pi (1-e^{-2\gamma }))}$ （差分）
CF	${\displaystyle e^{in\mu -|n|\gamma }}$

確率論および方向統計学において、ラップド・コーシー分布（ラップド・コーシーはんぷんせんりょう）とは、コーシー分布を単位円に「ラップ」することで得られるラップド確率分布である。コーシー分布はローレンツ分布とも呼ばれ、ラップド・コーシー分布はラップド・ローレンツ分布とも呼ばれる。

ラップされたコーシー分布は分光学の分野で回折パターンの解析によく使用されます (例:ファブリ・ペロー干渉計を参照)。

説明

ラップされたコーシー分布の確率密度関数は次の通りである: ^[1]

${\displaystyle f_{\text{WC}}(\theta ;\mu ,\gamma )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+(\theta -\mu +2\pi n)^{2})}}\qquad -\pi <\theta <\pi }$

ここで、はスケール係数、は「アンラップ」分布のピーク位置です。上記の確率密度関数をコーシー分布の 特性関数で表すと、次のようになります。${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle f_{\text{WC}}(\theta ;\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in(\theta -\mu )-|n|\gamma }={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\mu )}}}$

PDFは、円変数z = e ^iθと複素パラメータζ = e ^{i ( μ + iγ )}で表すこともできる。

${\displaystyle f_{\text{WC}}(z;\zeta )={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {1-|\zeta |^{2}}{|z-\zeta |^{2}}}}$

ここで、以下に示すように、ζ = ⟨ z ⟩ です。

円変数の観点から見ると、ラップされたコーシー分布の円モーメントは、整数引数で評価されたコーシー分布の特性関数です。 ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{in\theta }\,f_{\text{WC}}(\theta ;\mu ,\gamma )\,d\theta =e^{in\mu -|n|\gamma }.}$

ここで、 は長さ の区間です。第一モーメントはzの平均値であり、平均結果値または平均結果ベクトルとも呼ばれます。 ${\displaystyle \Gamma \,}$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \langle z\rangle =e^{i\mu -\gamma }}$

平均角度は

${\displaystyle \langle \theta \rangle =\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\mu }$

そして平均結果の長さは

${\displaystyle R=|\langle z\rangle |=e^{-\gamma }}$

1 − Rの円分散が得られます。

パラメータの推定

ラップされたコーシー分布から得られるN個の測定値系列は、分布の特定のパラメータを推定するために用いられる。系列の平均は次のように定義される。 ${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}$

そしてその期待値は最初の瞬間のみになります。

${\displaystyle \langle {\overline {z}}\rangle =e^{i\mu -\gamma }}$

言い換えれば、は第一モーメントの不偏推定値です。ピーク位置が区間 内にあると仮定すると、Arg はピーク位置 の（偏りのある）推定値になります。 ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle ({\overline {z}})}$ ${\displaystyle \mu }$

を複素平面上のベクトルの集合として見ると、統計量は​​平均ベクトルの長さになります。 ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle {\overline {R}}^{2}}$

${\displaystyle {\overline {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}}$

そしてその期待値は

${\displaystyle \langle {\overline {R}}^{2}\rangle ={\frac {1}{N}}+{\frac {N-1}{N}}e^{-2\gamma }.}$

つまり、統計は

${\displaystyle R_{e}^{2}={\frac {N}{N-1}}\left({\overline {R}}^{2}-{\frac {1}{N}}\right)}$

は の不偏推定値となり、 はの (偏りのある) 推定値となります。 ${\displaystyle e^{-2\gamma }}$ ${\displaystyle \ln(1/R_{e}^{2})/2}$ ${\displaystyle \gamma }$

エントロピ

ラップされたコーシー分布の情報エントロピーは次のように定義される: [ 1 ^]

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }f_{\text{WC}}(\theta ;\mu ,\gamma )\,\ln(f_{\text{WC}}(\theta ;\mu ,\gamma ))\,d\theta }$

ここで、 は長さ の任意の区間である。ラップされたコーシー分布の密度の対数は、のフーリエ級数として表される。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \theta \,}$

${\displaystyle \ln(f_{\text{WC}}(\theta ;\mu ,\gamma ))=c_{0}+2\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\cos(m\theta )}$

どこ

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln \left({\frac {\sinh \gamma }{2\pi (\cosh \gamma -\cos \theta )}}\right)\cos(m\theta )\,d\theta }$

その結果は次のようになります。

${\displaystyle c_{0}=\ln \left({\frac {1-e^{-2\gamma }}{2\pi }}\right)}$

( Gradshteyn および Ryzhik ^[2] 4.224.15 を参照)

${\displaystyle c_{m}={\frac {e^{-m\gamma }}{m}}\qquad \mathrm {for} \,m>0}$

（GradshteynとRyzhik ^[2] 4.397.6参照）。積分の左辺におけるラップドコーシー分布の特性関数表現は次のようになる。

${\displaystyle f_{\text{WC}}(\theta ;\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }\phi _{n}\cos(n\theta )\right)}$

ここで、これらの式をエントロピー積分に代入し、積分と和の順序を入れ替え、余弦の直交性を利用すると、エントロピーは次のように表すことができます。 ${\displaystyle \phi _{n}=e^{-|n|\gamma }}$

${\displaystyle H=-c_{0}-2\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}c_{m}=-\ln \left({\frac {1-e^{-2\gamma }}{2\pi }}\right)-2\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{-2n\gamma }}{n}}}$

この級数はの対数のテイラー展開に等しいので、エントロピーは次のように閉じた形で表すことができます。 ${\displaystyle (1-e^{-2\gamma })}$

${\displaystyle H=\ln(2\pi (1-e^{-2\gamma }))\,}$

円形コーシー分布

Xが中央値μ、尺度パラメータγを持つコーシー分布に従う場合、複素変数

${\displaystyle Z={\frac {X-i}{X+i}}}$

単位弾性率を持ち、密度は単位円上に分布する：^[3]

${\displaystyle f_{\text{CC}}(\theta ,\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1-|\zeta |^{2}}{|e^{i\theta }-\zeta |^{2}}}}$

どこ

${\displaystyle \zeta ={\frac {\psi -i}{\psi +i}}}$

ψはxの関連する線形コーシー分布の2つのパラメータを複素数として表します。

${\displaystyle \psi =\mu +i\gamma \,}$

円コーシー分布は、 zとζに関して、ラップされたコーシー分布と同じ関数形（すなわち、f _WC ( z , ζ )）を持つことがわかる。円コーシー分布は、再パラメータ化されたラップされたコーシー分布である。

${\displaystyle f_{\text{CC}}(\theta ,m,\gamma )=f_{\text{WC}}\left(e^{i\theta },\,{\frac {m+i\gamma -i}{m+i\gamma +i}}\right)}$

この分布はパラメータμとγを持つ円コーシー分布^{[3] [4]}（複素コーシー分布^{[3]とも呼ばれる）と呼ばれる。（関連する概念については、} McCullaghによるコーシー分布のパラメータ化とポアソン核も参照のこと。） ${\displaystyle f_{\text{CC}}(\theta ;\mu ,\gamma )}$

複素形式で表現された円コーシー分布は、すべての次数の有限モーメントを持つ。

${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{n}]=\zeta ^{n},\quad \operatorname {E} [{\bar {Z}}^{n}]={\bar {\zeta }}^{n}}$

整数n ≥ 1に対して。| φ | < 1に対して、変換

${\displaystyle U(z,\phi )={\frac {z-\phi }{1-{\bar {\phi }}z}}}$

は単位円上で正則であり、変換された変数U ( Z , φ )はパラメータU ( ζ , φ )を持つ複素コーシー分布に従う。

n > 2のサンプルz ₁ , ..., z _nが与えられた場合、最大尤度方程式は

${\displaystyle n^{-1}U\left(z,{\hat {\zeta }}\right)=n^{-1}\sum U\left(z_{j},{\hat {\zeta }}\right)=0}$

単純な固定小数点反復によって解くことができます。

${\displaystyle \zeta ^{(r+1)}=U\left(n^{-1}U(z,\zeta ^{(r)}),\,-\zeta ^{(r)}\right)\,}$

ζ ⁽⁰⁾ = 0から始まる。尤度値の順序は非減少であり、解は少なくとも3つの異なる値を含むサンプルに対して一意である。^[5]

実コーシー標本の中央値（ ）と尺度パラメータ（ ）の最大尤度推定値は、逆変換によって得られる。 ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ ${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$

${\displaystyle {\hat {\mu }}\pm i{\hat {\gamma }}=i{\frac {1+{\hat {\zeta }}}{1-{\hat {\zeta }}}}.}$

n ≤ 4の場合、 の閉じた形式の表現が知られている。^[6]単位円における tでの最大尤度推定量の密度は必然的に次の形式となる。${\displaystyle {\hat {\zeta }}}$

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}{\frac {p_{n}(\chi (t,\zeta ))}{(1-|t|^{2})^{2}}},}$

どこ

${\displaystyle \chi (t,\zeta )={\frac {|t-\zeta |^{2}}{4(1-|t|^{2})(1-|\zeta |^{2})}}}$ 。

p ₃とp ₄の計算式は利用可能です。^[7]

参照

• ラップされた分布
• ディラックコム
• ラップされた正規分布
• 円形均一分布
• マカローのコーシー分布のパラメータ化

参考文献

1. マルディア、カンティラル;ジュップ、ピーター E. (1999)。方向性統計。ワイリー。ISBN 978-0-471-95333-3。
2. Gradshteyn、Izrail Solomonovich ;ヨシフ・モシェヴィッチ・リジク;ジェロニムス、ユーリ・ヴェニアミノヴィッチ;ツェイトリン、ミハイル・ユリエヴィッチ（2007年2月）。ジェフリー、アラン。ツウィリンガー、ダニエル (編)。インテグラル、シリーズ、および製品の表。 Scripta Technica, Inc. による翻訳 (第 7 版)。Academic Press, Inc. ISBN  0-12-373637-4。LCCN  2010481177。
3. McCullagh, Peter (1992年6月). 「条件付き推論とコーシーモデル」(PDF) . Biometrika . 79 (2): 247– 259. doi :10.1093/biomet/79.2.247 . 2016年1月26日閲覧。
4. KV Mardia (1972).方向データの統計.アカデミックプレス.^{[ページが必要]}
5. J. Copas (1975). 「コーシー分布の尤度関数の単峰性について」. Biometrika . 62 (3): 701– 704. doi :10.1093/biomet/62.3.701.
6. Ferguson, Thomas S. (1978). 「サンプルサイズ3および4におけるコーシー分布のパラメータの最大尤度推定値」アメリカ統計学会誌. 73 (361): 211– 213. doi :10.1080/01621459.1978.10480031. JSTOR  2286549.
7. P. マカラ (1996)。 「メビウス変換とコーシーパラメータ推定」。統計年報。24 (2): 786–808。土井:10.1214/aos/1032894465。JSTOR  2242674。

• グレアム・ボラデール (2003)。地球科学データの統計。スプリンガー。ISBN 978-3-540-43603-4. 2009年12月31日閲覧。
• フィッシャー, N.I. (1996). 『循環データの統計分析』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-56890-6. 2010年2月9日閲覧。