均一モジュール

抽象代数学において、任意の2つの非零部分加群の交わりが非零であるとき、加群は一様加群と呼ばれる。これは、 Mのすべての非零部分加群が本質部分加群であるということと同義である。環は、それ自身の上の右（左）加群として一様であるとき、右（左）一様環と呼ばれることがある。

アルフレッド・ゴールディは、ユニフォーム加群の概念を用いて、加群の次元の尺度を構築しました。これは現在、加群のユニフォーム次元（またはゴールディ次元）として知られています。ユニフォーム次元は、ベクトル空間の次元の概念のいくつかの（すべてではない）側面を一般化します。有限ユニフォーム次元は、半単純環における正しい順序である環を特徴付けるゴールディの定理を含む、ゴールディのいくつかの定理の重要な仮定でした。有限ユニフォーム次元の加群は、アルティン加群とノイザン加群の両方を一般化します。

文献では、ユニフォーム次元は単にモジュールの次元、あるいはモジュールの階数とも呼ばれます。ユニフォーム次元は、同じくゴールドィによるモジュールの 縮約階数という関連概念と混同しないでください。

均一モジュールの性質と例

直積や商加群では、一様加群であることは通常保たれない。二つの非零一様加群の直和は、常に交点が零である二つの部分加群、すなわち二つの元の加群を含む。N 1 と N 2 が一様加群 M の真部分加群であり、どちらの部分加群も他方を含まない場合、一様加群ではなくなる。 M/（北1∩北2）{\displaystyle M/(N_{1}\cap N_{2})}

北1/（北1∩北2）∩北2/（北1∩北2）＝{0}。{\displaystyle N_{1}/(N_{1}\cap N_{2})\cap N_{2}/(N_{1}\cap N_{2})=\{0\}。}

ユニシリアル加群はユニフォームであり、ユニフォーム加群は必然的に直分解不能である。任意の可換域はユニフォーム環である。なぜなら、aとbが2つのイデアルの非零元であれば、積abはイデアルの交差における非零元となるからである。

モジュールの均一な寸法

次の定理は、一様部分加群を用いて加群上の次元を定義することを可能にする。これはベクトル空間定理の加群版である。

定理: U iと V jがモジュールMの均一サブモジュールの有限集合のメンバーであり、と が両方ともMの必須サブモジュールである場合、n  =  mとなります。 ⊕私＝1nあなた私{\displaystyle \oplus _{i=1}^{n}U_{i}}⊕私＝1メートルV私{\displaystyle \oplus _{i=1}^{m}V_{i}}

モジュールMのユニフォーム次元はu.dim ( M ) と表記され、 Mの本質的サブモジュールとなるようなユニフォーム部分モジュールU iの有限集合が存在する場合、nと定義されます。前述の定理により、このnが明確に定義されることが保証されます。そのような部分モジュールの有限集合が存在しない場合、 u.dim( M ) は∞と定義されます。環のユニフォーム次元について話す場合、測定対象が u.dim( R R ) なのか、それとも u.dim( R R ) なのかを明確にする必要があります。環の反対側に2つの異なるユニフォーム次元が存在する可能性があります。 ⊕私＝1nあなた私{\displaystyle \oplus _{i=1}^{n}U_{i}}

NがMの部分加群である場合、 u.dim( N ) ≤ u.dim( M ) が成立し、N がMの本質部分加群である場合に限り等式となる。特に、Mとその単射包E ( M ) は常に同じ一様次元を持つ。また、 E ( M ) がn 個の直分不可能な単射加群の直和である場合に限り、 u.dim( M ) =  nが成立することも真である。

u.dim( M ) = ∞ は、 M が非零部分加群の無限直和を含む場合のみ成り立つ。したがって、 Mがノイザンまたはアルティンのいずれかである場合、M は有限ユニフォーム次元を持つ。M が有限合成長kを持つ場合、 Mが半単純加群であるとき、 u.dim( M ) ≤ k が等号を満たす。( Lam 1999 )

標準的な結論として、右ネーター領域は右オーレ領域である、というものがあります。実際、この結果は、ゴールドィに帰属する別の定理から導き出すことができます。この定理は、領域Dについて以下の3つの条件が同値であることを示しています。

  • Dは正しい鉱石
  • u.dim( D D ) = 1
  • u.dim( D D ) < ∞

中空モジュールと均一次元

均一加群の双対概念は、空加群の概念である。加群Mが空であるとは、N 1とN 2がMの部分加群であってを満たすとき、N 1  =  MまたはN 2  =  Mのいずれかが成り立つことを意味する。同様に、 Mの任意の適切な部分加群は余分な部分加群であるとも言える。 北1+北2＝M{\displaystyle N_{1}+N_{2}=M}

これらの加群には、ユニフォーム次元の類似物があり、これはコユニフォーム次元、コランク、ホロー次元、あるいはデュアル ゴールディ次元と呼ばれます。ホロー加群とコユニフォーム次元の研究は、( Fleury 1974 )、( Reiter 1981 )、( Takeuchi 1976 )、( Varadarajan 1979 )、( Miyashita 1966 )で行われました。Fleury は、ゴールディ次元を双対化する異なる方法を模索したことに注意してください。Varadarajan、Takeuchi、および Reiter によるホロー次元のバージョンの方が、おそらくより自然なものです。Grzeszczuk と Puczylowski は、( Grezeszcuk & Puczylowski 1984 ) で、加群のホロー次元がそのサブ加群の双対格子のユニフォーム次元となるような、モジュラー格子のユニフォーム次元の定義を与えました。

有限生成加群は常に有限のユニフォーム次元を持つ。このことから、「有限生成加群は有限の空次元を持つのか？」という疑問が生じる。答えは「ノー」である。Sarath & Varadarajan 1979で、加群Mが有限の空次元を持つ場合、M / J ( M ) は半単純アルティン加群であることが示された。 R / J ( R ) が半単純アルティンではない単位元環は数多く存在し、そのような環Rが与えられた場合、R自体は有限生成だが無限の空次元を持つ。

サラースとバラダラジャンは後に、M / J ( M ) が半単純アルティニアンであることは、 J ( M ) がMの余分なサブモジュールである限り、 M が有限の中空次元を持つのに十分であることを示した。[ 1 ]これは、左または右のRモジュールとして有限の中空次元を持つ環Rがまさに半局所環であることを示しています。

バラダラジャンの結果の追加の系は、R R が有限空次元を持つのと全く同じであるということです。これは有限ユニフォーム次元の場合とは対照的です。環は片側が有限ユニフォーム次元を持ち、もう一方が無限ユニフォーム次元を持つことが知られているからです。

教科書

一次資料

  1. ^同じ結果は（ Reiter 1981）と（ Hanna & Shamsuddin 1984）
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