数学 、特に 代数位相幾何 学において 、 コホモトピー集合は、 尖った位相空間 と基点保存 連続 写像の 圏 から 集合 と 関数 の圏への 特定の 反変関数です。 ホモトピー群 と 双対 です が、あまり研究されていません
概要 尖端位相 空間 X のp 次 コホモトピー集合は次のように定義されます
π
p
（ X ） ＝ [ X 、
S
p
]
{\displaystyle \pi^{p}(X)=[X,S^{p}]}
からp 球面 への 連続 写像の尖った ホモトピー 類の集合 。 [1]
X
{\displaystyle X}
S
p
{\displaystyle S^{p}}
p = 1の場合 、この集合は アーベル群 構造を持ち、 ブルシュリンスキー群 と呼ばれる。CW複体 が与えられれば 、 円 は 型の アイレンベルグ・マクレーン空間 である ため、 これは 第一 コホモロジー 群と 同型で ある。
X
{\displaystyle X}
H
1
（ X ）
{\displaystyle H^{1}(X)}
S
1
{\displaystyle S^{1}}
K （
Z
、 1 ）
{\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}
ハインツ・ホップ の定理に よれば、が 最大 p次元の CW 複体 である場合 、 は p 番目のコホモロジー群 と 一対一 である 。
X
{\displaystyle X}
[ X 、
S
p
]
{\displaystyle [X,S^{p}]}
H
p
（ X ）
{\displaystyle H^{p}(X)}
が の 球面のような 懸濁液 である場合、 集合は 自然な 群 構造も持ちます 。
[ X 、
S
p
]
{\displaystyle [X,S^{p}]}
X
{\displaystyle X}
Σ Y
{\displaystyle \Sigma Y}
S
q
{\displaystyle S^{q}}
q ≥ 1
{\displaystyle q\geq 1}
X が CW 複体とホモトピー同値でない 場合、 は と 同型ではない可能性がある 。反例として ワルシャワ円 が与えられる。この円の第一コホモロジー群は消滅するが、 への写像は 定数写像とホモトピーではない。 [2]
H
1
（ X ）
{\displaystyle H^{1}(X)}
[ X 、
S
1
]
{\displaystyle [X,S^{1}]}
S
1
{\displaystyle S^{1}}
性質 コホモトピー集合に関するいくつかの基本的な事実。いくつかは他のものよりも明白です
π
p
（
S
q
） ＝
π
q
（
S
p
）
{\displaystyle \pi ^{p}(S^{q})=\pi _{q}(S^{p})}
すべてのp と q に対して 。 および の場合 、 群 は に等しい 。(この結果を証明するために、 レフ・ポンチャギンはフレームド ・コボルディズム の概念を考案した 。)
q ＝ p ＋ 1
{\displaystyle q=p+1}
p ＞ 2
{\displaystyle p>2}
π
p
（
S
q
）
{\displaystyle \pi^{p}(S^{q})}
Z
2
{\displaystyle \mathbb{Z}_{2}}
すべてのx に対して が 成り立つ 場合 、 となり、 f と g が成り立つ場合、ホモトピーは滑らかになります 。
f 、 g ： X →
S
p
{\displaystyle f,g\colon X\to S^{p}}
‖ f （ × ） − g （ × ） ‖ < 2
{\displaystyle \|f(x)-g(x)\|<2}
[ f ] ＝ [ g ]
{\displaystyle [f]=[g]}
コンパクト で 滑らかな多様体 の場合 、は 滑らかな 写像 のホモトピー類の集合と同型です 。この場合、すべての連続写像は滑らかな写像で均一に近似でき、任意のホモトピックな滑らかな写像は滑らかにホモトピーになります。
X
{\displaystyle X}
π
p
（ X ）
{\displaystyle \pi^{p}(X)}
X →
S
p
{\displaystyle X\to S^{p}}
が- 多様体 である 場合 、 に対してとなります 。
X
{\displaystyle X}
メートル
{\displaystyle m}
π
p
（ X ） ＝ 0
{\displaystyle \pi^{p}(X)=0}
p ＞ メートル
{\displaystyle p>m}
が境界を持つ- 多様体で ある 場合 、集合は 内部 の 余次元 - p フレーム部分多様体のコボルディズム類の集合と 標準的に 一対一である 。
X
{\displaystyle X}
メートル
{\displaystyle m}
π
p
（ X 、 ∂ X ）
{\displaystyle \pi^{p}(X,\partialX)}
X ∖ ∂ X
{\displaystyle X\setminus \partial X}
の安定コホモトピー群は 余極限 である
X
{\displaystyle X}
π
秒
p
（ X ） ＝
限界 →
k
[
Σ
k
X 、
S
p ＋ k
]
{\displaystyle \pi_{s}^{p}(X)=\varinjlim_{k}{[\Sigma^{k}X,S^{p+k}]}}
これはアーベル群です。
歴史 コホモトピー集合は 1936年に カロル・ボルスクによって導入されました。 [3] 体系的な検討は 1949年に エドウィン・スパニアーによって行われました 。[4] 安定コホモトピー群は 1956年に フランクリン・P・ピーターソンによって定義されました 。[5]
参考文献
^ 「コホモトピー群」、 数学百科事典 、 EMSプレス 、2001年 [1994] ^ 「ポーランド円とそのいくつかの珍しい性質」。カリフォルニア大学リバーサイド校数学205B-2012講義ノート。2023年11月16日閲覧。付属の図「ポーランド円上の構成」も参照。 ^ K. Borsuk、 Sur les groupes des class detransformations continue 、Comptes Rendue de Academie de Science。パリ 202 (1936)、no. 1400-1403、2 ^ E. Spanier, Borsukのコホモトピー群 , Annals of Mathematics. Second Series 50 (1949), 203–245. MR 29170 https://doi.org/10.2307/1969362 https://www.jstor.org/stable/1969362 ^ FPピーターソン 「一般化コホモトピー群 」アメリカ数学誌 78 （1956）、259-281。MR 0084136
![{\displaystyle \pi^{p}(X)=[X,S^{p}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4625735b2dd3846da1c72394af0bd21c0f7a8ae0)
![{\displaystyle [X,S^{p}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86048d92358a02659d24bdfca6b985f3dd74774c)
![{\displaystyle [X,S^{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6781ca12c4f663240a3764407720d2632d12c79)
![{\displaystyle [f]=[g]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31adb8a0e0319e444ccfa703bfa9fcb11e4eb3ea)
![{\displaystyle \pi_{s}^{p}(X)=\varinjlim_{k}{[\Sigma^{k}X,S^{p+k}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a281b39e97bf8497d74c62cf8ced9abd2dde4532)
