マルチカテゴリ

数学（特に圏論）において、多重圏とは、多項式射を許容する圏の概念の一般化である。圏における射を関数に類似したものとみなすと、多重圏における射は多変数関数に類似する。多重圏はオペラド、あるいは色付きオペラドと呼ばれることもある。

意味

（非対称な）多重カテゴリは、

オブジェクトのコレクション（多くの場合、適切なクラス）。
あらゆる有限のオブジェクト列 ( ) とあらゆるオブジェクトYに対して、からYへの射の集合。そして $(X_{i})_{i\in [n]}$ $[n]=\{0,1,2,...,n\}$ $(X_{i})_{i\in n}$
すべてのオブジェクトXに対して、 XからXへの特別な恒等射 ( n = 1) が存在します。

さらに、合成演算があります。オブジェクトのシーケンスのシーケンス、オブジェクトのシーケンス、およびオブジェクトZが与えられた場合: $((X_{ij})_{i\in n_{j}})_{j\in m}$ $(Y_{j})_{j\in m}$

各に対して、f _jはからY _jへの射であり、 $j\in m$ $(X_{ij})_{i\in n_{j}}$
gはからZへの射影である: $(Y_{j})_{j\in m}$

とすると、からZへの合成射が存在する。これは特定の公理を満たす必要がある。 $g(f_{j})_{j\in m}$ $(X_{ij})_{i\in n_{j},j\in m}$

m = 1、Z = Y ₀、gがY ₀の恒等写像である場合、g ( f ₀ ) = f _{0 と}なる。
各に対してn j ₌ 1, 、f _jがY _jの恒等写像である場合、であり、 $j\in m$ $X_{0j}=Y_{j}$ $g(f_{j})_{j\in m}=g$
結合性条件: 各およびに対してがからへの射である場合、はからZへの同一射である。 $j\in m$ $i\in n_{j}$ $e_{ij}$ $(W_{hij})_{h\in o_{ij}}$ $X_{ij}$ $g\left(f_{j}(e_{ij})_{i\in n_{j}}\right)_{j\in m}=g(f_{j})_{j\in m}(e_{ij})_{i\in n_{j},j\in m}$ $(W_{hij})_{h\in o_{ij},i\in n_{j},j\in m}$

コムカテゴリー

共カテゴリ（共多カテゴリ）は、オブジェクトの全順序集合 Oと、 2つの関数を持つ 多重矢印の集合Aである。

$\mathrm {head} :A\rightarrow O,$

$\mathrm {ground} :A\rightarrow O^{\%},$

ここで、O ^%はOの元の有限順序列全体の集合である。多重矢印fの双対像は次のようにまとめられる。

$f:\mathrm {head} (f)\Leftarrow \mathrm {ground} (f).$

結合圏Cは、通常の合成演算の性質を持つ多重積も持ちます。この演算に関して 多重積公理が成立する場合、Cは結合的であると言われます。

対称的または非対称的な任意のマルチカテゴリは、オブジェクトセットの完全な順序付けとともに、同等のコンカテゴリにすることができます。

多重順序とは、以下の条件を満たすコンカテゴリです。

指定されたヘッドとグラウンドを持つマルチアローは最大で 1 つあります。
各オブジェクトxには単位マルチ矢印があります。
マルチアローは、そのグラウンドにエントリが 1 つある場合、ユニットになります。

多重順序は半順序（poset）の一般化であり、トム・ラインスターによって初めて（ついでに）導入されました。^[1]

例

オブジェクトが（小さな）集合である多重カテゴリが存在し、集合X ₁、X ₂、...、X _nから集合Yへの射はn元関数、つまり直積 X ₁ × X ₂ × ... × X _nからYへの関数です。

ベクトル空間（例えば有理数上）を対象とする多重カテゴリが存在し、ベクトル空間X ₁、X ₂、...、X _nからベクトル空間Yへの射は多重線型演算子、つまりテンソル積X ₁ ⊗ X ₂ ⊗ ... ⊗ X _nからYへの線型変換です。

より一般的には、任意のモノイドカテゴリ Cが与えられた場合、そのオブジェクトがCのオブジェクトである多重カテゴリが存在し、ここでCオブジェクトX ₁、X ₂、...、X _nからCオブジェクトYへの射は、 X ₁、X ₂、...、X _nのモノイド積からYへのC射です。

オペラドは、1 つの固有のオブジェクトを持つ多重カテゴリです。退化した場合を除き、このような多重カテゴリはモノイドカテゴリからは発生しません。

多重順序の例としては、尖端多重集合（ OEISの配列A262671）、整数分割（ OEISの配列A063834）、組み合わせ分離（ OEISの配列A269134）などが挙げられる。任意の多重順序の三角形（または合成）は、縮約の（必ずしも結合的ではない）カテゴリと分解のコンカテゴリの射である。多重最小分割の多重順序の縮約カテゴリ（OEISの配列A255397）は、多重集合の最も単純な既知のカテゴリである。^[2]

アプリケーション

多重圏はしばしば高次圏理論に属すると誤解されるが、これは高次圏が満たす作用素と恒等式が多重圏の対象と多重矢であるという観察が元々の応用であったためである。n圏の研究は、代数的位相幾何学への応用と高次元多様体のホモトピー理論を記述しようとする試みに端を発する。しかし、 n圏の研究は主にこの動機から発展し、現在では純粋数学の一部ともみなされている。[1]

多元三角形の縮約と分解の対応関係から、その接続代数と呼ばれる結合代数を構築することができます。すべての単位矢印上で非零となる元は合成逆元を持ち、多元三角形のメビウス関数はその接続代数におけるゼータ関数（定数1）の合成逆元として定義されます。

歴史

多重圏は、ジム・ランベックが「演繹システムと圏II」（1969年）で初めてその名前で導入しました。^[3]彼は（108頁）「多重圏は[ジャン]・ベナブーと[ピエール]・カルティエによっても研究されていると聞いた」と述べており、実際、レンスターは「圏と多重線型写像の両方が何であるかを知っている人なら誰でもそのアイデアを思いついたかもしれない」と述べています。^[1]^{: 63}

参考文献

^ ab Tom Leinster (2004). Higher Operads, Higher Categories . Cambridge University Press. arXiv : math/0305049 . Bibcode :2004hohc.book.....L.例2.1.7、37ページ
^ Wiseman, Gus. 「Comcategories and Multiorders」. Google Docs . 2016年5月9日閲覧。
^ .ラムベック, ヨアヒム (1969). 「演繹体系と圏 II. 標準構成と閉圏」.数学講義ノート. 第86巻. ベルリン, ハイデルベルク: Springer Berlin Heidelberg. pp. 76– 122. doi :10.1007/bfb0079385. ISBN 978-3-540-04605-9. ISSN 0075-8434.

ガーナー、リチャード (2008). 「擬似分配法則による多項式」.数学の進歩. 218 (3): 781–827 . arXiv : math/0606735 . doi : 10.1016/j.aim.2008.02.001 . S2CID 17057235.

[leinster-1] Tom Leinster (2004). Higher Operads, Higher Categories . Cambridge University Press. arXiv : math/0305049 . Bibcode :2004hohc.book.....L.例2.1.7、37ページ

[2] Wiseman, Gus. 「Comcategories and Multiorders」. Google Docs . 2016年5月9日閲覧。

[Lambek1969-3] .ラムベック, ヨアヒム (1969). 「演繹体系と圏 II. 標準構成と閉圏」.数学講義ノート. 第86巻. ベルリン, ハイデルベルク: Springer Berlin Heidelberg. pp. 76– 122. doi :10.1007/bfb0079385. ISBN 978-3-540-04605-9. ISSN 0075-8434.