整流子

数学 において、交換子は、ある二項演算がどの程度可換でないかを示す指標です。群論と環論では異なる定義が用いられます。

群論

群Gの2つの元gとhの交換子は、元

[ g , h ] = g ⁻¹ h ⁻¹ gh . ^[1]

この要素は、 gとhが可換である場合に限り、グループの単位元と等しくなります(つまり、gh = hgの場合に限ります)。

群のすべての交換子の集合は一般に群演算に関して閉じていないが、すべての交換子によって生成されるGの部分群は閉じており、導来群またはGの交換子部分群と呼ばれる。交換子は、冪零群、可解群、および最大アーベル商群を定義するために使用される。

上記の交換子の定義はこの記事全体で使用されていますが、多くの群論者は交換子を次のように定義しています。

[ g , h ] = ghg ⁻¹ h ⁻¹ . ^[2]

最初の定義を用いると、これは[ g ⁻¹ , h ⁻¹ ]と表すことができます。

恒等式（群論）

交換子恒等式は群論において重要なツールである。^[3]式a ^xは、 x ⁻¹ axと定義される、aのxによる共役を表す。

1. ${\displaystyle x^{y}=x[x,y].}$
2. ${\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}$
3. ${\displaystyle [x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}}$ そして${\displaystyle [xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].}$
4. ${\displaystyle \left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}}$ そして${\displaystyle \left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.}$
5. ${\displaystyle \left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x\right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1}$ そして${\displaystyle \left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y,z],x^{y}\right]=1.}$

恒等式(5)は、フィリップ・ホールとエルンスト・ウィットにちなんで、ホール・ウィット恒等式とも呼ばれる。これは環論的交換子に対するヤコビ恒等式の群論的類似である（次節参照）。

注：上記のaのxによる共役の定義は、一部の群論者によって用いられている。^{[4]他の多くの群論者は、} a​​のxによる 共役をxax ⁻¹と定義している。^[5] これはしばしば と書かれる。これらの慣例においても同様の恒等式が成り立つ。 ${\displaystyle {}^{x}a}$

特定の部分群を法として真となる恒等式も数多く用いられます。これらは可解群や冪零群の研究において特に有用です。例えば、任意の群において、2乗は以下のように振る舞います。

${\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].}$

導出された部分群が中心群である場合、

${\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.}$

環理論

環はしばしば除算をサポートしない。したがって、環（あるいは任意の結合代数）の2つの元aとbの交換子は、次のように定義される。

${\displaystyle [a,b]=ab-ba.}$

交換子がゼロとなるのは、aとbが可換な場合のみである。線型代数において、ある空間の2つの自己準同型が1つの基底を用いて可換行列で表される場合、それらはあらゆる基底を用いても可換行列で表される。交換子をリー括弧として用いることで、あらゆる結合代数をリー代数に変換することができる。

環または結合代数の 2つの元aとbの反交換子は次のように定義される。

${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba.}$

は反交換子を表すために使われることもあり、その場合は交換子を表すために使用される。^[6]反交換子はあまり使われないが、クリフォード代数とジョルダン代数を定義するために使われ、素粒子物理学におけるディラック方程式の導出にも使われる。 ${\displaystyle [a,b]_{+}}$ ${\displaystyle [a,b]_{-}}$

ヒルベルト空間に作用する2つの作用素の交換子は、量子力学における中心的な概念である。これは、これらの作用素によって記述される2つの観測量が同時にどの程度測定可能であるかを定量化するからである。不確定性原理は、ロバートソン・シュレーディンガーの関係式に基づく、究極的にはこのような交換子に関する定理である。^[7]位相空間において、関数スター積の同値な交換子はモヤル括弧と呼ばれ、前述のヒルベルト空間交換子構造と完全に同型である。

恒等式（環理論）

整流子には次の特性があります。

リー代数の恒等式

1. ${\displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]}$
2. ${\displaystyle [A,A]=0}$
3. ${\displaystyle [A,B]=-[B,A]}$
4. ${\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}$

関係式(3)は反可換性と呼ばれ、(4)はヤコビ恒等式と呼ばれます。

追加のアイデンティティ

1. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}$
2. ${\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}$
3. ${\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}$
4. ${\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}$
5. ${\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}$
6. ${\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}$
7. ${\displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]}$
8. ${\displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}$
9. ${\displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B}$
10. ${\displaystyle [[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]}$

A が環Rの固定元である場合、恒等式 (1)は によって与えられる写像に対するライプニッツ則として解釈できる。言い換えれば、写像 ad _{A は}環R上の微分を定義する。恒等式 (2)、(3) は2つ以上の因子に対するライプニッツ則を表し、任意の微分に対して有効である。恒等式 (4) ～ (6) もライプニッツ則として解釈できる。恒等式 (7)、(8) はZ -双線型性を表す。 ${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}$

恒等式(9)から、環元の整数冪の交換子は次のようになることがわかる。

${\displaystyle [A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n}B^{m}[A,B]B^{M-m-1}A^{N-n-1}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}B^{m}A^{n}[A,B]A^{N-n-1}B^{M-m-1}}$

上記の恒等式のいくつかは、上記の±添字表記法を使って反交換子に拡張することができる。^[8] 例えば：

1. ${\displaystyle [AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B}$
2. ${\displaystyle [AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B}$
3. ${\displaystyle [[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[[A,C]_{+},B]_{+},D]}$
4. ${\displaystyle \left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0}$
5. ${\displaystyle [A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}}$
6. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }}$

指数関数的恒等式

バナッハ代数や形式的冪級数の環など、指数を 意味のある形で定義できる環や代数を考えてみましょう。 ${\displaystyle e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots }$

このような環では、入れ子になった交換子に適用されるアダマールの補題は次のようになります。(最後の式については、以下の随伴導出を参照してください。) この式は、log(exp( A ) exp( B )) のBaker–Campbell–Hausdorff 展開の基礎となります。 ${\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}$

同様の展開は、式の群交換子（リー群の要素に類似）を一連の入れ子になった交換子（リー括弧）で表現する。 ${\displaystyle e^{A}}$ $${\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).}$$

次数環と代数

次数代数を扱う場合、交換子は通常、次数交換子に置き換えられ、同次成分で次のように定義されます。

${\displaystyle [\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}$

随伴導出

特に環R内の複数の交換子を扱う場合、別の表記法が有用であることがわかる。元 に対して、随伴写像を次のように定義する。 ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}:R\to R}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}$

この写像は環R上の微分である。

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).}$

ヤコビ恒等式により、これは交換演算上の微分でもある。

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)].}$

このような写像を合成すると、例えば と が得られます。はRからそれ自身への写像環であり、その合成は乗算演算です。はリー代数準同型であり、交換子が保存されます。 ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]}$ $${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].}$$ ${\displaystyle \mathrm {ad} }$ ${\displaystyle \mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (R)}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} }$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].}$

対照的に、これは常に環準同型であるわけではなく、通常は です。 ${\displaystyle \operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}}$

一般的なライプニッツの法則

積の繰り返し導関数を展開する一般的なライプニッツの規則は、随伴表現を使用して抽象的に記述できます。

${\displaystyle x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y)\,x^{n-k}.}$

を微分演算子 で置き換え、を乗算演算子 で置き換えると となり、両辺を関数gに適用すると、恒等式はn次導関数の通常のライプニッツ則になります。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle m_{f}:g\mapsto fg}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}}$ ${\displaystyle \partial ^{n}\!(fg)}$

参照

• 反可換性
• アソシエーター
• ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ式
• 標準交換関係
• 集中化者、別名コミュータント
• 導出（抽象代数）
• モヤルブラケット
• ピンチャール導関数
• ポアソン括弧
• 三元整流子
• 3つの部分群の補題

注記

1. ハーシュタイン（1975年、252ページ）
2. フレイリー（1976年、108ページ）
3. マッケイ（2000年、4ページ）
4. ハーシュタイン（1975年、83ページ）
5. フレイリー（1976年、128ページ）
6. マクマホン（2008）
7. リボフ（2003年、140～142ページ）
8. ラブロフ（2014）

参考文献

• フレイリー、ジョン・B.（1976年）、抽象代数学入門（第2版）、Addison-Wesley、ISBN 0-201-01984-1
• グリフィス、デイビッド・J.（2004年）、量子力学入門（第2版）、プレンティス・ホール、ISBN 0-13-805326-X
• Herstein, IN (1975), Topics In Algebra (第2版), Wiley, ISBN 0471010901
• Lavrov, PM (2014)、「代数と超代数におけるヤコビ型恒等式」、理論数学物理学、179 (2): 550– 558、arXiv : 1304.5050、Bibcode :2014TMP...179..550L、doi :10.1007/s11232-014-0161-2、S2CID  119175276
• リボフ、リチャード・L.（2003）、量子力学入門（第4版）、アディソン・ウェスレー、ISBN 0-8053-8714-5
• マッケイ、スーザン（2000）、有限p群、クイーンメアリー数学ノート、第18巻、ロンドン大学、ISBN 978-0-902480-17-9、MR  1802994
• マクマホン、D.（2008）、量子場理論、マグロウヒル、ISBN 978-0-07-154382-8

さらに読む

• McKenzie, R. ; Snow, J. (2005)、「合同モジュラー多様体：交換子理論」、Kudryavtsev, VB; Rosenberg, IG (編)、『オートマトン、半群、普遍代数の構造理論』、NATO Science Series II、第207巻、Springer、pp.  273– 329、doi :10.1007/1-4020-3817-8_11、ISBN 9781402038174

外部リンク

• 「交換子」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]