幾何学において、コンパス同値定理はコンパスと定規を用いた作図において重要な定理です。プラトンがこれらの作図において提唱した道具は、分度器または折り畳みコンパスです。つまり、ページから持ち上げると「折り畳まれる」コンパスであり、距離を直接変換することはできません。固定可能な開口部を持つ現代のコンパスは距離を直接変換できるため、より強力な道具であるように見えます。しかし、コンパス同値定理は、「現代のコンパス」によるあらゆる作図は折り畳みコンパスでも可能であると述べています。これは、折り畳みコンパスを用いて、平面上の円が与えられた場合、平面上の任意の点を中心とする等しい半径の別の円を作図できることを証明することから示されます。この定理は、ユークリッドの『原論』第1巻の命題IIです。この定理の証明には波乱に満ちた歴史があります。[1]
工事
以下の構成と正しさの証明は、ユークリッドの『原論』で示されています。[2]ユークリッドの扱いには、曖昧な指示を解釈する際の選択に応じていくつかのケースがあるように見えますが、すべて同じ結論に至ります。[1]そのため、特定の選択肢を以下に示します。
点A、B、Cが与えられた場合、 Aを中心とし、半径がBCの長さである円を作成します（つまり、緑の実線円と同じですが、中心はAです）。
- Aを中心とし、 Bを通る円（赤い円）を描きます。これらの円は点Dで交わり、正三角形 △ ABDを形成します。
- DBをBを越えて延長し、 DBとEとラベル付けされた円◯ BCとの交点を見つけます。
- Dを中心とし、 Eを通る円(青い円) を作成します。
- DAをAを越えて延長し、DAとFとラベル付けされた円◯ DEとの交点を見つけます。
- Aを中心とし、 Fを通る円を描きます（緑の点線円）。
- △ ADBは正三角形なので、 DA = DBです。
- EとF はDの周りの円上にあるため、DE = DF です。
- したがって、AF = BE です。
- Eは円◯ BC上にあるので、BE = BC です。
- したがって、AF = BC です。
定規を使わない代替構築
定規を使わずにコンパスの等価性を証明することは可能です。これは、モール・マスケローニの定理の証明において、「固定コンパス」の動き（別の場所に与えられた半径の円を描く）を用いることを正当化します。モール・マスケローニの定理は、定規とコンパスで可能な作図はすべてコンパスだけで行えるというものです。
点A、B、Cが与えられた場合、定規を使わず折りたたみコンパスだけを使用して、 Aを中心とし半径BCの円を描きます。
- Aを中心とし、 Bを通る円（青い円）を描きます。これらの円は点Dと点D'で交差します。
- Cを通り、 DとD'を中心とする円を描きます（赤い円）。もう一方の交点をEとします。
- 中心AとEを通る円（緑の円）を描きます。これが求める円です。[3] [4]
この構成の正しさを証明する証明はいくつかあり、読者の練習問題として残されることが多い。[3] [4]ここでは変換を使った現代的な証明を示す。
参考文献
- ^ ab Toussaint, Godfried T. (1993年1月). 「ユークリッドの第二命題の新たな考察」(PDF) . The Mathematical Intelligencer . 15 (3). Springer US: 12– 24. doi :10.1007/bf03024252. eISSN 1866-7414. ISSN 0343-6993. S2CID 26811463.
- ^ ヒース、トーマス・L. (1956) [1925]. 『ユークリッド原論 13巻』（第2版）. ニューヨーク：ドーバー出版. p. 244. ISBN 0-486-60088-2。
{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help) - ^ イヴス、ハワード（1963年）、幾何学概論（第1巻）、アリン・ベーコン、p.185
- ^ ab Smart, James R. (1997), Modern Geometries (第5版), Brooks/Cole, p. 212, ISBN 0-534-35188-3
