ベータプライム分布
確率分布
ベータプライム
確率密度関数
累積分布関数
パラメータ α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 形状（実在）形状（実在）
β > 0 {\displaystyle \beta >0}
サポート × ∈ [ 0 、 ∞ ） {\displaystyle x\in [0,\infty )\!}
PDF f （ × ） ＝ × α − 1 （ 1 + × ） − α − β B （ α 、 β ） {\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}
CDF 私 × 1 + × （ α 、 β ） {\displaystyle I_{{\frac {x}{1+x}}(\alpha ,\beta )}} 正規化された不完全ベータ関数はどこにあるか 私 × （ α 、 β ） {\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}
平均 α β − 1 {\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}} もし β > 1 {\displaystyle \beta >1}
モード α − 1 β + 1  もし  α ≥ 1 、それ以外の場合は0 {\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{ if }}\alpha \geq 1{\text{, 0 otherwise}}\!}
分散 α （ α + β − 1 ） （ β − 2 ） （ β − 1 ） 2 {\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}} もし β > 2 {\displaystyle \beta >2}
歪度 2 （ 2 α + β − 1 ） β − 3 β − 2 α （ α + β − 1 ） {\displaystyle {\frac {2(2\alpha +\beta -1)}{\beta -3}}{\sqrt {\frac {\beta -2}{\alpha (\alpha +\beta -1)}}}} もし β > 3 {\displaystyle \beta >3}
過剰尖度 6 α （ α + β − 1 ） （ 5 β − 11 ） + （ β − 1 ） 2 （ β − 2 ） α （ α + β − 1 ） （ β − 3 ） （ β − 4 ） {\displaystyle 6{\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)(5\beta -11)+(\beta -1)^{2}(\beta -2)}{\alpha (\alpha +\beta -1)(\beta -3)(\beta -4)}}} もし β > 4 {\displaystyle \beta >4}
エントロピ ログ ⁡ （ B （ α 、 β ） ） + （ α − 1 ） （ ψ （ β ） − ψ （ α ） ） + （ α + β ） （ ψ （ 1 − α − β ） − ψ （ 1 − β ） + π 罪 ⁡ （ α π ） 罪 ⁡ （ β π ） 罪 ⁡ （ （ α + β ） π ） ） ） {\displaystyle {\begin{aligned}&\log \left(\mathrm {B} (\alpha ,\beta )\right)+(\alpha -1)(\psi (\beta )-\psi (\alpha ))\\+&(\alpha +\beta )\left(\psi (1-\alpha -\beta )-\psi (1-\beta )+{\frac {\pi \sin(\alpha \pi )}{\sin(\beta \pi )\sin((\alpha +\beta )\pi ))}}\right)\end{aligned}}} ここで、はディガンマ関数です。 ψ {\displaystyle \psi}
MGF 存在しない
CF e − 私 t Γ （ α + β ） Γ （ β ） G 1 、 2 2 、 0 （ α + β β 、 0 | − 私 t ） {\displaystyle {\frac {e^{-it}\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\beta )}}G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha +\beta \\\beta ,0\end{matrix}}\;\right|\,-it\right)}

確率論および統計学において、ベータプライム分布（逆ベータ分布または第二種ベータ分布[1]とも呼ばれる）は、絶対連続な確率分布である。がベータ分布である場合、オッズはベータプライム分布に従う。 p ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle p\in [0,1]} p 1 − p {\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}

定義

ベータプライム分布は、 2つのパラメータαとβで定義され、確率密度関数は次のようになります。 x > 0 {\displaystyle x>0}

f ( x ) = x α − 1 ( 1 + x ) − α − β B ( α , β ) {\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}

ここで、Bはベータ関数です。

累積分布関数は

F ( x ; α , β ) = I x 1 + x ( α , β ) , {\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=I_{\frac {x}{1+x}}\left(\alpha ,\beta \right),}

ここで、Iは正規化された不完全ベータ関数です。

関連するベータ分布は、ベルヌーイ分布のパラメータの共役事前分布を確率で表したものであるのに対し、ベータプライム分布は、ベルヌーイ分布のパラメータの共役事前分布をオッズで表したものである。この分布はピアソンVI型分布である。[1]

変量Xの最頻値は のように分布します。その平均は（平均が無限大、つまり明確に定義された平均を持たない場合）であり、の場合にはその分散は です。 β ′ ( α , β ) {\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta )} X ^ = α − 1 β + 1 {\displaystyle {\hat {X}}={\frac {\alpha -1}{\beta +1}}} α β − 1 {\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}} β > 1 {\displaystyle \beta >1} β ≤ 1 {\displaystyle \beta \leq 1} α ( α + β − 1 ) ( β − 2 ) ( β − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}} β > 2 {\displaystyle \beta >2}

の場合、k番目のモーメントは次のように与えられる。 − α < k < β {\displaystyle -\alpha <k<\beta } E [ X k ] {\displaystyle E[X^{k}]}

E [ X k ] = B ( α + k , β − k ) B ( α , β ) . {\displaystyle E[X^{k}]={\frac {\mathrm {B} (\alpha +k,\beta -k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}.}

これにより、 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } k < β , {\displaystyle k<\beta ,}

E [ X k ] = ∏ i = 1 k α + i − 1 β − i . {\displaystyle E[X^{k}]=\prod _{i=1}^{k}{\frac {\alpha +i-1}{\beta -i}}.}

累積分布関数は次のようにも書ける。

x α ⋅ 2 F 1 ( α , α + β , α + 1 , − x ) α ⋅ B ( α , β ) {\displaystyle {\frac {x^{\alpha }\cdot {}_{2}F_{1}(\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +1,-x)}{\alpha \cdot \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}

ここで、ガウスの超幾何関数2 F 1です 。 2 F 1 {\displaystyle {}_{2}F_{1}}

代替パラメータ化

ベータプライム分布は、平均μ  > 0と精度ν > 0のパラメータで再パラメータ化することもできる （[2] p.36）。

パラメータ化μ =  α /( β  − 1) およびν =  β  − 2、つまりα =  μ (1 +  ν ) および β = 2 +  νを考えてみましょう。このパラメータ化では、E[ Y ] =  μおよび Var[Y] =  μ (1 +  μ )/ νとなります。

一般化

一般化ベータプライム分布 を形成するためにさらに2つのパラメータを追加することができる。 β ′ ( α , β , p , q ) {\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}

  • p > 0 {\displaystyle p>0} 形状（実数）
  • q > 0 {\displaystyle q>0} スケール（実数）

確率密度関数を持つ：

f ( x ; α , β , p , q ) = p ( x q ) α p − 1 ( 1 + ( x q ) p ) − α − β q B ( α , β ) {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,p,q)={\frac {p\left({\frac {x}{q}}\right)^{\alpha p-1}\left(1+\left({\frac {x}{q}}\right)^{p}\right)^{-\alpha -\beta }}{q\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}

平均で

q Γ ( α + 1 p ) Γ ( β − 1 p ) Γ ( α ) Γ ( β ) if  β p > 1 {\displaystyle {\frac {q\Gamma \left(\alpha +{\tfrac {1}{p}}\right)\Gamma (\beta -{\tfrac {1}{p}})}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\quad {\text{if }}\beta p>1}

とモード

q ( α p − 1 β p + 1 ) 1 p if  α p ≥ 1 {\displaystyle q\left({\frac {\alpha p-1}{\beta p+1}}\right)^{\tfrac {1}{p}}\quad {\text{if }}\alpha p\geq 1}

p = q = 1 の場合、一般化ベータプライム分布は標準ベータプライム分布に縮小されることに注意してください。

この一般化は、次の可逆変換によって得られます。 およびに対して であれば、 となります。 y ∼ β ′ ( α , β ) {\displaystyle y\sim \beta '(\alpha ,\beta )} x = q y 1 / p {\displaystyle x=qy^{1/p}} q , p > 0 {\displaystyle q,p>0} x ∼ β ′ ( α , β , p , q ) {\displaystyle x\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}

複合ガンマ分布

複合ガンマ分布[3]は、スケールパラメータqが追加され、p = 1の場合のベータプライムの一般化です。2つのガンマ分布を合成し て形成されるため、このように呼ばれています。

β ′ ( x ; α , β , 1 , q ) = ∫ 0 ∞ G ( x ; α , r ) G ( r ; β , q ) d r {\displaystyle \beta '(x;\alpha ,\beta ,1,q)=\int _{0}^{\infty }G(x;\alpha ,r)G(r;\beta ,q)\;dr}

は形状と逆スケールを持つガンマ pdfです。 G ( x ; a , b ) {\displaystyle G(x;a,b)} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}

複合ガンマのモード、平均、分散は、上記の情報ボックス内のモードと平均にqを掛け、分散にq 2を掛けることで得られます。

複利を表現する別の方法は、 かつ ならばです。これは、複素ガンマ分布、または複素ベータプライム分布を用いて乱数を生成する一つの方法です。もう一つは、以下に示すように、独立したガンマ変量の比を用いる方法です。 r ∼ G ( β , q ) {\displaystyle r\sim G(\beta ,q)} x ∣ r ∼ G ( α , r ) {\displaystyle x\mid r\sim G(\alpha ,r)} x ∼ β ′ ( α , β , 1 , q ) {\displaystyle x\sim \beta '(\alpha ,\beta ,1,q)}

プロパティ

  • もしそうなら。 X ∼ β ′ ( α , β ) {\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )} 1 X ∼ β ′ ( β , α ) {\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \beta '(\beta ,\alpha )}
  • 、かつ の場合、 。 Y ∼ β ′ ( α , β ) {\displaystyle Y\sim \beta '(\alpha ,\beta )} X = q Y 1 / p {\displaystyle X=qY^{1/p}} X ∼ β ′ ( α , β , p , q ) {\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}
  • もしそうなら。 X ∼ β ′ ( α , β , p , q ) {\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)} k X ∼ β ′ ( α , β , p , k q ) {\displaystyle kX\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,kq)}
  • β ′ ( α , β , 1 , 1 ) = β ′ ( α , β ) {\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,1,1)=\beta '(\alpha ,\beta )}
  • の場合、 となります。この特性はベータプライム分布の変量を生成するために使用できます。 X ∼ Beta ( α , β ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,\beta )} X 1 − X ∼ β ′ ( α , β ) {\displaystyle {\frac {X}{1-X}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}
  • ならば。これは上記の性質からの系です。 X ∼ β ′ ( α , β ) {\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )} X 1 + X ∼ Beta ( α , β ) {\displaystyle {\frac {X}{1+X}}\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,\beta )}
  • がF分布 を持つ場合、、あるいはそれと同等の となります。 X ∼ F ( 2 α , 2 β ) {\displaystyle X\sim F(2\alpha ,2\beta )} α β X ∼ β ′ ( α , β ) {\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\beta }}X\sim \beta '(\alpha ,\beta )} X ∼ β ′ ( α , β , 1 , β α ) {\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,1,{\tfrac {\beta }{\alpha }})}
  • ガンマ分布のパラメータ化I の場合:
    • が独立している場合、 となります。はすべてそれぞれの分布の尺度パラメータであることに注意してください。 X k ∼ Γ ( α k , θ k ) {\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\theta _{k})} X 1 X 2 ∼ β ′ ( α 1 , α 2 , 1 , θ 1 θ 2 ) {\displaystyle {\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\theta _{1}}{\theta _{2}}})} θ 1 , θ 2 , θ 1 θ 2 {\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},{\tfrac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}}
  • ガンマ分布パラメータ化IIの場合:
    • が独立している場合、 。 は速度パラメータであり、はスケールパラメータです。 X k ∼ Γ ( α k , β k ) {\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})} X 1 X 2 ∼ β ′ ( α 1 , α 2 , 1 , β 2 β 1 ) {\displaystyle {\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\beta _{2}}{\beta _{1}}})} β k {\displaystyle \beta _{k}} β 2 β 1 {\displaystyle {\tfrac {\beta _{2}}{\beta _{1}}}}
    • かつ の場合、です。 はガンマ分布の速度パラメータですが、はベータプライムの尺度パラメータです。 β 2 ∼ Γ ( α 1 , β 1 ) {\displaystyle \beta _{2}\sim \Gamma (\alpha _{1},\beta _{1})} X 2 ∣ β 2 ∼ Γ ( α 2 , β 2 ) {\displaystyle X_{2}\mid \beta _{2}\sim \Gamma (\alpha _{2},\beta _{2})} X 2 ∼ β ′ ( α 2 , α 1 , 1 , β 1 ) {\displaystyle X_{2}\sim \beta '(\alpha _{2},\alpha _{1},1,\beta _{1})} β k {\displaystyle \beta _{k}} β 1 {\displaystyle \beta _{1}}
  • β ′ ( p , 1 , a , b ) = Dagum ( p , a , b ) {\displaystyle \beta '(p,1,a,b)={\textrm {Dagum}}(p,a,b)} ダグム分布
  • β ′ ( 1 , p , a , b ) = SinghMaddala ( p , a , b ) {\displaystyle \beta '(1,p,a,b)={\textrm {SinghMaddala}}(p,a,b)} シン・マッダラ分布。
  • β ′ ( 1 , 1 , γ , σ ) = LL ( γ , σ ) {\displaystyle \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )={\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )} 対数ロジスティック分布。
  • ベータプライム分布は、タイプ 6ピアソン分布の特殊なケースです。
  • X が最小値、形状パラメータのパレート分布を持つ場合、 となります。 x m {\displaystyle x_{m}} α {\displaystyle \alpha } X x m − 1 ∼ β ′ ( 1 , α ) {\displaystyle {\dfrac {X}{x_{m}}}-1\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}
  • X が、形状パラメータ、尺度パラメータを持つLomax 分布（パレート II 型分布とも呼ばれる）に従う場合、 となります。 α {\displaystyle \alpha } λ {\displaystyle \lambda } X λ ∼ β ′ ( 1 , α ) {\displaystyle {\frac {X}{\lambda }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}
  • X が形状パラメータ、不等式パラメータを持つ標準パレート タイプ IV 分布に従う場合、、または同等の となります。 α {\displaystyle \alpha } γ {\displaystyle \gamma } X 1 γ ∼ β ′ ( 1 , α ) {\displaystyle X^{\frac {1}{\gamma }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )} X ∼ β ′ ( 1 , α , 1 γ , 1 ) {\displaystyle X\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha ,{\tfrac {1}{\gamma }},1)}
  • 逆ディリクレ分布はベータプライム分布の一般化です。
  • の場合、 は一般化ロジスティック分布に従います。より一般的には、 の場合、 はスケールシフトされた一般化ロジスティック分布に従います。 X ∼ β ′ ( α , β ) {\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )} ln ⁡ X {\displaystyle \ln X} X ∼ β ′ ( α , β , p , q ) {\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)} ln ⁡ X {\displaystyle \ln X}
  • の場合、 はコーシー分布に従います。これは、自由度が 1 のスチューデント t 分布に相当します。 X ∼ β ′ ( 1 2 , 1 2 ) {\displaystyle X\sim \beta '\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)} ± X {\displaystyle \pm {\sqrt {X}}}

注記

  1. ^ ジョンソン他（1995）、p 248
  2. ^ Bourguignon, M.; Santos-Neto, M.; de Castro, M. (2021). 「歪んだロングテールを持つ正の確率変数のための新しい回帰モデル」Metron . 79 : 33– 55. doi :10.1007/s40300-021-00203-y. S2CID  233534544.
  3. ^ Dubey, Satya D. (1970年12月). 「複合ガンマ分布、複合ベータ分布、複合F分布」. Metrika . 16 : 27–31 . doi :10.1007/BF02613934. S2CID  123366328.

参考文献

  • Johnson, NL, Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995).連続一変量分布第2巻（第2版）, Wiley. ISBN 0-471-58494-0
  • Bourguignon, M.; Santos-Neto, M.; de Castro, M. (2021)「歪んだロングテールを持つ正の確率変数のための新しい回帰モデル」Metron , 79 : 33– 55, doi :10.1007/s40300-021-00203-y, S2CID  233534544


  • MathWorldの記事
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