等角次元

数学において、距離空間Xの共形次元は、 Xの共形ゲージ上のハウスドルフ次元の最小値、つまりXに 準対称なすべての距離空間のクラスである。^[1]

正式な定義

X を距離空間とし、Xに準対称な距離空間全体の集合とする 。X の共形次元は次のように定義される 。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle \mathrm {Cdim} X=\inf _{Y\in {\mathcal {G}}}\dim _{H}Y}$

プロパティ

距離空間 Xに対して次の不等式が成り立ちます。

${\displaystyle \dim _{T}X\leq \mathrm {Cdim} X\leq \dim _{H}X}$

2番目の不等式は定義により真である。1番目の不等式は、位相次元が同相写像によって不変であり、常にハウスドルフ次元以下であるという事実から導かれる。

例

• ユークリッド空間の位相次元とハウスドルフ次元は一致するので、 の共形次元はNです。${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$
• カントール集合 Kは共形次元がゼロである。しかし、ハウスドルフ次元がゼロであるKと準対称な計量空間は存在しない。

参照

• 異常なスケーリング次元

参考文献

1. ジョン・M・マッケイ、ジェレミー・T・タイソン、「共形次元：理論と応用」、大学講義シリーズ、第54巻、2010年、ロードス島