共形重力
ワイル変換に対して不変な重力理論

共形重力とは、リーマン幾何学の意味で共形変換に対して不変な重力理論を指します。より正確には、 が計量テンソルであり、が時空上の関数であるワイル変換に対して不変です。 グラム 1つの b → Ω 2 （ × ） グラム 1つの b {\displaystyle g_{ab}\rightarrow \Omega^{2}(x)g_{ab}} グラム 1つの b {\displaystyle g_{ab}} Ω （ × ） {\displaystyle \Omega (x)}

ワイル平方理論

このカテゴリの最も単純な理論では、ワイルテンソルの2乗はラグランジアンとして扱われる。

S ＝ ∫ d 4 × − グラム C 1つの b c d C 1つの b c d   、 {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \,\mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g\;}}\,C_{abcd}\,C^{abcd}~,}

ここではワイルテンソルである。これは、ラグランジアンがリッチスカラーである通常のアインシュタイン・ヒルベルト作用とは対照的である。計量を変化させたときの運動方程式はバッハテンソルと呼ばれる。 C 1つの b c d {\displaystyle \;C_{abcd}\;}

2 ∂ 1つの ∂ d C 1つの b c d     +     R 1つの d C 1つの b c d   ＝   0   、 {\displaystyle 2\,\partial _{a}\,\partial _{d}\,{{C^{a}}_{bc}}^{d}~~+~~R_{ad}\,{{C^{a}}_{bc}}^{d}~=~0~,}

ここではリッチテンソルです。共形平坦計量はこの方程式の解です。 R 1つの b {\displaystyle \;R_{ab}\;}

これらの理論は、固定された背景の周りの揺らぎに関する4次方程式を導くため、明らかにユニタリーではない。そのため、これらの理論は一貫して量子化できないと一般的に信じられてきたが、現在では異論が出ている。[1]

4つの微分理論

共形重力は4階微分理論の一例です。これは、波動方程式の各項が最大4階微分を含むことができることを意味します。4階微分理論には長所と短所があります。長所は、量子化された理論がより収束性が高く、繰り込み可能であることです。短所は、因果関係に問題が生じる可能性があることです。4階微分波動方程式のより単純な例は、スカラー4階微分波動方程式です。

◻ 2 ⁡ Φ ＝ 0 {\displaystyle \operatorname {\Box } ^{2}\Phi =0}

中心力場におけるこの問題の解決法は次のとおりです。

Φ （ r ） ＝ 1 − 2 メートル r + 1つの r + b r 2 {\displaystyle \Phi (r)=1-{\frac {2m}{r}}+ar+br^{2}}

最初の2項は通常の波動方程式と同じです。この方程式は共形重力のより単純な近似であるため、mは中心源の質量に対応します。最後の2項は4階微分波動方程式に特有のものです。銀河加速定数（暗黒物質とも呼ばれる）と暗黒エネルギー定数を考慮するために、これらの項に小さな値を割り当てることが提案されています。[2]共形重力の球状源に対する 一般相対論におけるシュワルツシルト解に相当する解は、次の式で表される計量を持ちます。

φ （ r ） ＝ グラム 00 ＝ （ 1 − 6 b c ） 1 2 − 2 b r + c r + d 3 r 2 {\displaystyle \varphi (r)=g^{00}=(1-6bc)^{\frac {1}{2}}-{\frac {2b}{r}}+cr+{\frac {d}{3}}r^{2}}

一般相対性理論との違いを示すために、6bcは非常に小さいので無視できます。問題は、cが音源の全質量エネルギーであり、bが密度の積分と音源までの距離の2乗であることです。つまり、これは一般相対性理論とは全く異なるポテンシャルであり、単なる小さな修正ではありません。

共形重力理論や高階微分を持つ理論の主な問題は、ゴーストが典型的に存在することである。ゴーストは理論の量子版の不安定性を示唆するが、ゴースト問題には解決策があるかもしれない。[3]

別のアプローチとしては、重力定数を対称性の破れた スカラー場として考えることです。その場合、次のようにニュートン重力に対する小さな補正を考慮することになります( は小さな補正であると考えます)。 ε {\displaystyle \varepsilon }

◻ ⁡ Φ + ε 2 ◻ 2 ⁡ Φ ＝ 0 {\displaystyle \operatorname {\Box } \Phi +\varepsilon ^{2}\operatorname {\Box } ^{2}\Phi =0}

この場合、一般解はニュートンの場合と同じですが、追加の項が存在する場合があります。

Φ ＝ 1 − 2 メートル r （ 1 + α 罪 ⁡ （ r ε + β ） ） {\displaystyle \Phi =1-{\frac {2m}{r}}\left(1+\alpha \sin \left({\frac {r}{\varepsilon }}+\beta \right)\right)}

空間的に正弦波状に変化する成分がさらに存在します。この変化の波長は、原子の幅ほどにも達する可能性があります。したがって、このモデルでは重力の周囲に複数の安定ポテンシャルが存在するように見えます。

標準模型への共形統一

標準模型の曲がった 時空における作用に適切な重力項を加えることで、理論は局所的な共形（ワイル）不変性を発現する。共形ゲージは、重力定数に基づいて基準質量スケールを選択することで固定される。このアプローチは、従来の自発的対称性の破れを伴わずに、ヒッグス機構に類似したベクトルボソンと物質場の質量を生成する。[4]

参照

参考文献

  1. ^ Mannheim, Philip D. (2007-07-16). 「共形重力が弦理論に挑戦」. Rajantie, Arttu; Dauncey, Paul; Contaldi, Carlo; Stoica, Horace (編). 『粒子、弦、そして宇宙論』 . 第13回国際粒子、弦、そして宇宙論シンポジウム, ·PA·S·COS· 2007. 第0707巻. インペリアル・カレッジ・ロンドン. p. 2283. arXiv : 0707.2283 . Bibcode :2007arXiv0707.2283M.
  2. ^ Mannheim, Philip D. (2006). 「暗黒物質と暗黒エネルギーの代替物」. Prog. Part. Nucl. Phys . 56 (2): 340– 445. arXiv : astro-ph/0505266 . Bibcode :2006PrPNP..56..340M. doi :10.1016/j.ppnp.2005.08.001. S2CID  14024934.
  3. ^ Mannheim, Philip D. (2007). 「4次微分理論におけるゴースト問題の解決」. Found. Phys . 37 ( 4–5 ): 532–571 . arXiv : hep-th/0608154 . Bibcode :2007FoPh...37..532M. doi :10.1007/s10701-007-9119-7. S2CID  44031727.
  4. ^ Pawlowski, M.; Raczka, R. (1994), 「動的ヒッグス場のない基本的相互作用のための統一共形モデル」, Foundations of Physics , 24 (9): 1305– 1327, arXiv : hep-th/9407137 , Bibcode :1994FoPh...24.1305P, doi :10.1007/BF02148570, S2CID  17358627

さらに読む

  • ES FradkinとAA Tseytlin (1985). 「共形超重力」. Phys. Rep . 119 ( 4–5 ): 233– 362. Bibcode :1985PhR...119..233F. doi :10.1016/0370-1573(85)90138-3.
  • CERNにおけるマンハイム共形重力理論の反証
  • arXiv におけるマンハイム氏による上記への反論。
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