定数関数マーケットメーカー
マーケットメーカーの種類

定数関数マーケットメーカー（CFMM）は、取引場の設計におけるパラダイムであり、取引関数と一連のルールによって、流動性テイカー（LT）と流動性プロバイダー（LP）の相互作用と市場の清算方法が決定されます。取引関数は決定論的であり、すべての市場参加者に知られています。

CFMM は 2 つの資産の流動性プールを表示します。流動性の受け取り側と提供側は流動性プール内でやり取りします。LP は資産をプールに預け入れ、LT はプールと直接資産を交換します。CFMM は LT 取引条件と LP 提供条件という 2 つのルールに依存しています。[1] LT 取引条件は、取引が実行される前と後のプールの状態をリンクし、プール内の資産の量によって資産間の相対価格を決定します。 [2] LP 提供条件は、LP が流動性を預け入れたり引き出したりする前と後のプールの状態をリンクします。したがって、取引関数は流動性と価格の間にリンクを確立し、LT は取引サイズの関数として取引の実行コストを計算し、LP は預け入れる正確な量を計算できます。CFMM では、両方の条件で、価格形成はLT 取引を通じてのみ行われると規定されています (以下を参照)。

ピアツーピアネットワーク上で動作する分散型プラットフォームにおいて、CFMMはスマートコントラクトとして実装されたハードコードされた不変のプログラムです[3]。LPとLTは、コントラクトのコードを呼び出して取引を実行します。CFMMの具体的な例としては、Uniswap v2やUniswap v3などのコンスタントプロダクトマーケットメーカー（CPMM）が挙げられます。これらの取引機能は、プール内の各資産の数量の積を用いて清算価格を決定します。CFMMは予測市場でも人気があります[4] 。

歴史

CFMMの初期の説明は、経済学者ロビン・ハンソンによって「モジュラー組み合わせ情報集約のための対数市場スコアリング規則」 （2002年）で発表されました。[5]初期の文献では、1999年に設立されたハリウッド証券取引所を含む、より広範な「自動マーケットメーカー」のクラスに言及されていました。「定数関数マーケットメーカー」という用語は、「改良された価格オラクル：定数関数マーケットメーカー」（Angeris & Chitra 2020）で導入されました。[6] 2012年にMinecraftサーバーで初めて実稼働が確認され、[7] CFMMは人気のあるDEXアーキテクチャです

定義

取引機能

基準資産と、で評価される資産について考えてみましょう。CFMMの流動性プールは、最初は資産の量と資産の量で構成されていると仮定します。このペアはプールの準備金と呼ばれます（以下の定義は、3つ以上の資産のバスケットに拡張できます[8]）。CFMは、プールの準備金と上で定義される取引関数（不変量とも呼ばれる）によって特徴付けられます。取引関数は連続的に微分可能であり、引数が増加（は正の実数の集合を表す）。 X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} × {\displaystyle x} X {\displaystyle X} y {\displaystyle y} Y {\displaystyle Y} （ × 、 y ） {\displaystyle (x,y)} f ： R ＋ × R ＋ → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} } × {\displaystyle x} y {\displaystyle y} R ＋ {\displaystyle \mathbb {R}^{+}}

例えば、定数商品マーケットメーカー（CPMM）の取引関数は です。他のタイプのCFMMには、 となる定数和マーケットメーカー、 となる定数平均値マーケットメーカー（ここでおよび）、および取引関数の組み合わせを使用するハイブリッド関数マーケットメーカーがあります。 f （ × 、 y ） ＝ × × y {\displaystyle f(x,y)=x\times y} f （ × 、 y ） ＝ × ＋ y {\displaystyle f(x,y)=x+y} f （ × 、 y ） ＝ w × × ＋ w y y {\displaystyle f(x,y)=w_{x}x+w_{y}y} w × 、 w y > 0 {\displaystyle w_{x},w_{y}>0} w × ＋ w y ＝ 1 {\displaystyle w_{x}+w_{y}=1}

LT取引条件とコンベクシティ

LT取引は、ある資産の数量をある資産の数量と交換し、その逆も行います。交換する数量は、LT取引条件によって決まります。 Δ y {\displaystyle \Delta^{y}} Y {\displaystyle Y} Δ × {\displaystyle \Delta^{x}} X {\displaystyle X}

(1) f （ × 、 y ） ＝ f （ × ＋ Δ × 、 y − Δ y ） ＝ κ 2 、 {\displaystyle f(x,y)=f(x+\Delta ^{x},y-\Delta ^{y})=\kappa ^{2}\,,}

ここではプールの深さ[2]（下記のLP提供条件を参照）であり、 は利用可能な流動性の尺度です。深さの値は取引の実行前と実行後で一定であるため、LT取引条件(1)はレベル曲線を定義します。深さの値が固定されている場合、レベル関数（先物為替関数[8]とも呼ばれる）は となります。深さの任意の値に対して、レベル関数は2回微分可能 です。[9] κ {\displaystyle \kappa } κ > 0 {\displaystyle \kappa >0} κ {\displaystyle \kappa } φ κ {\displaystyle \varphi _{\kappa }} f （ × 、 y ） ＝ κ 2 ⟺ × ＝ φ κ （ y ） {\displaystyle f(x,y)=\kappa ^{2}\iff x=\varphi _{\kappa }(y)} κ {\displaystyle \kappa } φ κ ： R ＋ ↦ R ＋ {\displaystyle \varphi _{\kappa }:\mathbb {R} ^{+}\mapsto \mathbb {R} ^{+}}

LT取引条件(1)は、流動性取得取引が実行される前後のプールの状態を結び付ける。LTの場合、この条件は、資産 の交換レート を参照資産 で表し、（負の場合もある） 資産を取引することを指定する。 Z ~ （ Δ y ） {\displaystyle {\チルダ {Z}}(\Delta ^{y})} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} Δ y {\displaystyle \Delta^{y}} Y {\displaystyle Y}

Z ~ （ Δ y ） ＝ （ φ κ （ y ） − φ κ （ y ＋ Δ y ） ） / Δ y 。 {\displaystyle {\tilde {Z}}(\Delta ^{y})=\left(\varphi _{\kappa }\left(y\right)-\varphi _{\kappa }\left(y+\Delta ^{y}\right)\right){\big }}\Delta ^{y}\,.}

資産 に対する資産 の限界交換レートは、指値注文帳(LOB)の仲値に似ており、CFMM における微小取引の価格です。 Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X}

Z ＝ lim Δ y → 0 Z ~ （ Δ y ） ＝ − φ κ ′ （ y ） 。 {\displaystyle Z=\lim_{\Delta^{y}\rightarrow 0}{\tilde{Z}}(\Delta^{y})=-\varphi'_{\kappa}(y).}

CFMMにおいてラウンドトリップ裁定取引が行われないことは、レベル関数が凸関数でなければならないことを意味することが証明されている。[1] φ {\displaystyle \varphi}

CFMMにおける執行コストは、限界為替レートと取引が執行される為替レートの差として定義される。LTは、プールの準備金水準を中心とした水準関数のコンベックス性を利用して、執行コストを で近似できることが示されている。[ 2] | Z ~ （ Δ y ） − Z | {\displaystyle \left|{\tilde {Z}}(\Delta ^{y})-Z\right|} 1 2 φ κ ″ （ y ） | Δ y | {\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\varphi _{\kappa }^{''}(y)\left|\Delta ^{y}\right|}

LP提供条件と相同性

LP取引には、資産および資産の預入または引出が含まれます。をプールの初期深度とし、 をLPが を預入した後のプールの深度、すなわちおよび とします。 およびをそれぞれ値およびに対応する水準関数とします。 をプールの初期限界為替レート で表します。LP提供条件は、LPが限界為替レートを変更しないことを要求するため、 （ Δ × 、 Δ y ） {\displaystyle (\Delta ^{x},\Delta ^{y})} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} κ 0 {\displaystyle \kappa_{0}} κ 1 {\displaystyle \kappa_{1}} Δ × 、 Δ y {\displaystyle \Delta^{x},\Delta^{y}} f （ × 、 y ） ＝ κ 0 2 {\displaystyle f(x,y)=\kappa_{0}^{2}} f （ × ＋ Δ × 、 y ＋ Δ y ） ＝ κ 1 2 {\displaystyle f(x+\Delta x,y+\Delta y)=\kappa_{1}^{2}} φ κ 0 {\displaystyle \varphi _{\kappa _{0}}} φ κ 1 {\displaystyle \varphi _{\kappa _{1}}} κ 0 {\displaystyle \kappa _{0}} κ 1 {\displaystyle \kappa _{1}} Z {\displaystyle Z} Z {\displaystyle Z}

(2) − φ κ 0 ′ ( y ) = − φ κ 1 ′ ( y + Δ y ) = Z . {\displaystyle -\varphi '_{\kappa _{0}}\left(y\right)=-\varphi '_{\kappa _{1}}\left(y+\Delta ^{y}\right)=Z\,.}

LP提供条件(2)は、流動性提供操作が実行される前後のプールの状態を結び付けます。取引関数はプールの準備金とを増加させます。したがって、流動性提供活動によってプールのサイズが増加（減少）すると、プールの深さの値は増加（減少）します。の値は、プール内の流動性の深さの尺度と見なすことができます。LP提供条件は、任意の相同取引関数 に対して成立することに注意してください f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} x {\displaystyle x} y . {\displaystyle y.} κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa }

例

コンスタントプロダクトマーケットメーカー

Uniswap v2などのCPMMでは、取引関数はなので、水準関数は、限界為替レートは、数量に対する為替レートは です f ( x , y ) = x × y , {\displaystyle f\left(x,y\right)=x\times y,} φ ( y ) = κ 2 / y {\displaystyle \varphi \left(y\right)=\kappa ^{2}{\big /}y} Z = x / y , {\displaystyle Z=x/y,} Δ y {\displaystyle \Delta ^{y}} Z ~ ( Δ y ) ≈ Z − Z 3 / 2 Δ y / κ . {\displaystyle {\tilde {Z}}\left(\Delta ^{y}\right)\approx Z-Z^{3/2}\Delta ^{y}{\big /}\kappa .}

CPMMでは、流動性供給の条件は、プールに数量が預け入れられることです。したがって、流動性は、プール内の準備金の割合が維持されるように供給されます。[ 2] x / y = ( x + Δ x ) / ( y + Δ y ) {\displaystyle x/y=(x+\Delta ^{x})/(y+\Delta ^{y})} ( Δ x , Δ y ) {\displaystyle (\Delta ^{x},\Delta ^{y})} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}

流動性プロバイダーの損益

手数料

LPにとって、LOBとCFMMに基づく従来の市場の主な違いは、LOBではマーケットメーカーが仲値の上下で指値注文を出し、往復取引でスプレッドを獲得するのに対し、CFMMではLPはLTの流動性が利用された際に支払う手数料を獲得することです

損失対リバランス

LTが支払う手数料がなければ、CFMMにおける流動性提供は損失を招く活動となります。損失対リバランス（LVR）は、これらの損失を測る一般的な指標です。[10]価格がダイナミクスに従うと仮定すると、LVRは次のように表さ れます d S t = σ t d W t {\displaystyle dS_{t}=\sigma _{t}dW_{t}} LVR t = − 1 2 ∫ 0 t σ s 2 d s ≤ 0 . {\displaystyle {\text{LVR}}_{t}=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\,\sigma _{s}^{2}\,{\text{d}}s\,\leq 0\,.}

予測可能な損失

LPは損失を徹底的に特徴付けるために、流動性提供のヘッジ不能損失と予測可能損失を包括的かつモデルフリーで測定する予測可能損失（PL）を使用することもできる。 [1] PLの1つの発生源はコンベクシティコスト（逆選択による損失、一般化LVRとみなすことができる）であり、その大きさは流動性取得活動と水準関数のコンベクシティに依存する。もう1つの発生源は機会費用であり、これはLPが資産をリスクフリー資産に投資する代わりにプールにロックすることで発生する。時刻 に準備金を提供し、時刻 に流動性を引き出すLPの場合、PLは ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} t = 0 {\displaystyle t=0} T > 0 {\displaystyle T>0}

PL T = − 1 2 ∫ 0 T φ ″ ( y s ) d ⟨ y , y ⟩ s ⏟ Convexity cost ≥ 0 − ∫ 0 T ξ s r d s ⏟ Opportunity cost ≥ 0 , {\displaystyle {\text{PL}}_{T}=-\,\,\underbrace {{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}\,\varphi ''\left(y_{s}\right)\,{\text{d}}\left\langle y,y\right\rangle _{s}\,} _{{\text{Convexity cost}}\,\geq \,0}\,\,-\,\,\underbrace {\int _{0}^{T}\xi _{s}\,r\,{\text{d}}s\,} _{{\text{Opportunity cost}}\,\geq \,0}\,,}

ここで、 は初期値 の増加確率過程であり、 は資産 の準備金を記述する過程である。特に、は次式を満たす 。 ( ξ t ) t ∈ [ 0 , T ] {\displaystyle \left(\xi _{t}\right)_{t\in [0,T]}} 0 {\displaystyle 0} ( y t ) t ∈ [ 0 , T ] {\displaystyle \left(y_{t}\right)_{t\in [0,T]}} Y {\displaystyle Y} PL {\displaystyle {\text{PL}}}

PL t ≤ − 1 2 ∫ 0 t φ ″ ( y s ) d ⟨ y , y ⟩ s ≤ 0 . {\displaystyle {\text{PL}}_{t}\leq -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\,\varphi ''\left(y_{s}\right)\,{\text{d}}\left\langle y,y\right\rangle _{s}\,\leq 0\,.}

PLは、限界利率や取引フローのダイナミクス[11]、および水準関数のパラメトリック形式を特定することなく推定できます。PLは、流動性提供があらゆる種類の長期取引活動（情報提供の有無に関わらず）において損失を生み出すことを示しています。CFMMにおいて流動性提供が収益性を持つためには、手数料収入の水準がPLを上回る必要があります。

変動損失

変動損失、または乖離損失は、CFMMにおける流動性提供のリスクを特徴付けるために使用されることがあります。[12]変動損失は、プール内のLP資産の価値の推移と、代替の場で投資された自己資金調達型のバイ・アンド・ホールド・ポートフォリオの推移を比較します。自己資金調達型ポートフォリオは、 LPがプールに預け入れる金額と同じ金額で開始されます。 ある時点での変動損失は、 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)} IL t {\displaystyle {\text{IL}}_{t}} t > 0 {\displaystyle t>0}

IL t =   − ( φ ( y 0 ) − φ ( y t ) − φ ′ ( y t ) ( y 0 − y t ) ) {\displaystyle {\text{IL}}_{t}=\ -\left(\varphi \left(y_{0}\right)-\varphi \left(y_{t}\right)-\varphi '(y_{t})\left(y_{0}-y_{t}\right)\right)}

時刻 におけるプール内の資産の準備金はどこにありますか。 y t {\displaystyle y_{t}} Y {\displaystyle Y} t {\displaystyle t}

レベル関数の凸性は であることを示す。CPMMの場合、不変損失は次のように与えられる。 IL t ≤ 0 {\displaystyle {\text{IL}}_{t}\leq 0}

IL t = − κ Z t ( 1 − Z t Z 0 ) 2 ≤ 0 . {\displaystyle {\text{IL}}_{t}=-\kappa \,{\sqrt {Z_{t}}}\left(1-{\sqrt {\frac {Z_{t}}{Z_{0}}}}\right)^{2}\leq 0\,.}

ここで、 は時刻 における CPMM プールの限界為替レートです。 Z t {\displaystyle Z_{t}} t {\displaystyle t}

IL {\displaystyle {\text{IL}}} LPの損失を特徴づける適切な指標ではない。なぜなら、流動性供給にのみ帰属する損失を過小評価または過大評価する可能性があるからだ。より正確には、代替的なバイ・アンド・ホールド・ポートフォリオは、プール内のLPの保有資産と同じ市場リスクにさらされておらず、変動損失は部分的にヘッジ可能である。対照的に、PLはLPの資産の中で予測可能かつヘッジ不可能な要素である。[1]

集中流動性

流動性の集中は、Uniswap v3でCPMM向けに導入された機能です。CLを備えたCPMMプールの主な特徴は、LPが流動性を付与する為替レートの範囲を指定することです。流動性の範囲は、ティックと呼ばれる離散化された有限の為替レート集合の値を取ります。流動性の集中は手数料収入を増加させますが、PLと集中リスク（為替レートが範囲外になるリスク）も増加させます。[13]

参考文献

  1. ^ abcd Cartea, Álvaro; Drissi, Fayçal; Monga, Marcello (2023). 「定常機能市場と集中流動性市場における流動性供給の予測可能な損失」SSRN  4541034
  2. ^ abcd Cartea, Álvaro; Drissi, Fayçal; Monga, Marcello. 「分散型金融と自動マーケットメイキング：執行と投機」SSRN  4144743.
  3. ^ Schär, Fabian (2021年4月15日). 「分散型金融：ブロックチェーンとスマートコントラクトに基づく金融市場について」.セントルイス連邦準備銀行レビュー. 103 (2). doi :10.20955/r.103.153-74.
  4. ^ オスマン, アブラハム; ペノック, デイビッド; リーブス, ダニエル; サンドホルム, トーマス (2013年9月). 「実用的な流動性感応型自動マーケットメーカー」(PDF) . ACM Transactions on Economics and Computation . 1 (3): 1– 25. doi :10.1145/2509413.2509414. S2CID  52798827.
  5. ^ ハンソン、ロビン（2002年1月）「モジュール型組み合わせ情報集約のための対数市場コアリングルール」（PDF） . The Journal of Prediction Markets . 1 (1): 3– 15. doi :10.5750/jpm.v1i1.417.
  6. ^アンジェリス、ギジェルモ、チトラ 、タルン（2020年10月26日）「改良型プライスオラクル：定数関数マーケットメーカー」第2回ACM金融技術進歩会議議事録。pp .  80– 91。arXiv : 2003.10001。doi :10.1145/ 3419614.3423251。ISBN 9781450381390. S2CID  214611887.
  7. ^ 「HyperConomy」. GitHub
  8. ^ ab Angeris, Guillermo; Agrawal, Akshay; Evans, Alex; Chitra, Tarun; Boyd, Stephen (2021). 「定数関数マーケットメーカー：凸最適化によるマルチアセットトレード」arXiv : 2107.12484 [math.OC].
  9. ^ アンジェリス、ギジェルモ、エヴァンス、アレックス、チトラ、タルン (2021). 「マーケットメーカーの複製」arXiv : 2103.14769 [q-fin.MF].
  10. ^ Milionis, Jason; Moallemi, Ciamac; Roughgarden, Tim; Zhang, Anthony Lee (2022). 「自動マーケットメイキングと損失対リバランス」arXiv : 2208.06046 [q-fin.MF].
  11. ^ Barndorff-Nielsen, Ole; Shephard, Neil (2002). 「実現分散を用いた二次変動の推定」(PDF) . Journal of Applied Econometrics . 17 (5): 457-477. doi :10.1002/jae.691.
  12. ^ 深澤正明、バジル・マイレ、マーカス・ヴンシュ (2023). 「加重分散スワップによる変動損失ヘッジ」.定量金融. 23 (6): 901– 911. doi : 10.1080/14697688.2023.2202708 . hdl : 11475/29268 . S2CID  248582732.
  13. ^ カルテア、アルバロ;ドリッシ、ファイサル。モンガ、マルチェロ（2022年11月10日）。 「分散型金融と自動マーケットメイキング: 予測可能な損失と最適な流動性の提供」。arXiv : 2309.08431。土井：10.2139/ssrn.4273989。S2CID  254034993。SSRN 4273989  。 {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=（ヘルプ）が必要です
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