連続写像定理

確率論における連続写像定理は、連続関数は引数が確率変数の列であっても極限を保つことを述べています。ハイネの定義における連続関数とは、収束列を収束列に写す関数です。つまり、x _n → xならばg ( x _n ) → g ( x )となります。連続写像定理によれば、決定論的列{ x _n }を確率変数の列{ X _n }に置き換え、実数の収束の標準的な概念“→”を確率変数の収束のタイプの1つに置き換えても、このことが成り立ちます。

この定理は1943年にヘンリー・マンとアブラハム・ワルドによって初めて証明されたため^{[1] 、}マン・ワルド定理と呼ばれることもあります。^[2]一方、デニス・サーガンはこれを一般変換定理と呼んでいます。^[3]

声明

{ X _n }, X を距離空間S上に定義されたランダム元とする。関数g : S → S′（ただしS′は別の距離空間）が不連続点集合D _gを持ち、 Pr[ X  ∈  D _g ] = 0 となると仮定する。このとき^{[4] [5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{n}\ {\xrightarrow {\text{d}}}\ X\quad &\Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\text{d}}}\ g(X);\\[6pt]X_{n}\ {\xrightarrow {\text{p}}}\ X\quad &\Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\text{p}}}\ g(X);\\[6pt]X_{n}\ {\xrightarrow {\!\!{\text{as}}\!\!}}\ X\quad &\Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\!\!{\text{as}}\!\!}}\ g(X).\end{aligned}}}$

ここで、上付き文字の「d」、「p」、「as」は、それぞれ分布の収束、確率の収束、ほぼ確実な収束を表します。

証拠

この証明は（van der Vaart 1998、定理2.3）から採用された。

空間SとS′には特定の計量が備わっている。簡略化のため、これらの計量はどちらも| x  −  y |という表記法で表すが、これらの計量は必ずしもユークリッド的ではなく、任意の値をとる場合もある。

分布の収束

我々はポートマントー定理から特別な記述を必要とする：分布の収束は次と等しい ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {d}}X}$

${\displaystyle \mathbb {E} f(X_{n})\to \mathbb {E} f(X)}$ 任意の有界連続関数fに対して。

したがって、任意の有界連続関数fに対してを証明すれば十分です。簡単のため、g は連続であると仮定します。自体が有界連続関数であることに留意してください。したがって、上記の主張は上記の記述から導かれます。一般的なケースは、もう少し技術的です。 ${\displaystyle \mathbb {E} f(g(X_{n}))\to \mathbb {E} f(g(X))}$ ${\displaystyle F=f\circ g}$

確率の収束

任意のε > 0を固定する。任意のδ > 0 に対して、以下のように定義される  集合B _{δを考える。}

${\displaystyle B_{\delta }={\big \{}x\in S\mid x\notin D_{g}:\ \exists y\in S:\ |xy|<\delta ,\,|g(x)-g(y)|>\varepsilon {\big \}}.}$

これは関数g (·) の連続点xの集合であり、 xのδ近傍内にg ( x )のε近傍の外側に写像する点が存在する。連続性の定義により、この集合はδがゼロに近づくにつれて縮小し、lim _{δ  → 0} B _δ  = ∅ となる。

ここで、| g ( X ) −  g ( X _n )| >  εと仮定する。これは、| X − X _n | ≥  δ、またはX  ∈  D _g、またはX ∈ B _δのいずれかが真であることを意味する。確率的に表すと、これは次のように表せる。

${\displaystyle \Pr {\big (}{\big |}g(X_{n})-g(X){\big |}>\varepsilon {\big )}\leq \Pr {\big (}|X_{n}-X|\geq \delta {\big )}+\Pr(X\in B_{\delta })+\Pr(X\in D_{g}).}$

右辺では、 { X _n }の確率収束の定義により、 任意の固定されたδに対して、 n → ∞で最初の項はゼロに収束する。2番目の項は 、集合B _δが空集合に縮小するため、 δ → 0でゼロに収束する。そして、定理の仮定により、最後の項は恒等的にゼロに等しい。したがって、結論は以下の通りである。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr {\big (}{\big |}g(X_{n})-g(X){\big |}>\varepsilon {\big )}=0,}$

これはg ( Xn )が確率的にg(X)に収束する_ことを意味します。

ほぼ確実な収束

関数g (·)の連続性の定義により、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\quad \Rightarrow \quad \lim _{n\to \infty }g(X_{n}(\omega ))=g(X(\omega ))}$

各点X ( ω )においてg (·) が連続である。したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left(\lim _{n\to \infty }g(X_{n})=g(X)\right)&\geq \Pr \left(\lim _{n\to \infty }g(X_{n})=g(X),\ X\notin D_{g}\right)\\&\geq \Pr \left(\lim _{n\to \infty }X_{n}=X,\ X\notin D_{g}\right)=1,\end{aligned}}}$

なぜなら、ほぼ確実な 2 つのイベントの交差はほぼ確実だからです。

定義により、g ( Xn )_はほぼ確実にg ( X )に収束すると結論付けられます。

参照

• スルツキーの定理
• かばん定理
• 推進策

参考文献

1. Mann, HB; Wald, A. (1943). 「確率的極限と順序関係について」Annals of Mathematical Statistics . 14 (3): 217– 226. doi : 10.1214/aoms/1177731415 . JSTOR  2235800.
2. 雨宮毅(1985). 『先進計量経済学』 ハーバード大学出版局, マサチューセッツ州, ケンブリッジ, p. 88. ISBN 0-674-00560-0。
3. サーガン、デニス (1988). 『上級計量経済理論講義』オックスフォード: バジル・ブラックウェル. pp.  4– 8. ISBN 0-631-14956-2。
4. ビリングスリー、パトリック(1969).確率測度の収束. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 31 (系1). ISBN 0-471-07242-7。
5. ファン・デル・ファールト、AW (1998)。漸近統計。ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。 p. 7 (定理 2.3)。ISBN 0-521-49603-9。