契約曲線

エッジワースボックス内の無差別曲線の接点における、パレート効率的点の青い曲線。2つの財の初期配分がこの軌跡上にない場合、2人は元々あった無差別曲線によって形成されるレンズ内で、効率的軌跡上の点に取引することができます。取引できるすべての効率的点の集合が契約曲線です。 下のグラフでは、2人の初期所持金はケルビンの無差別曲線 K ₁とジェーンの無差別曲線 J ₁上の点 X にあります。そこから、2人はこれらの無差別曲線によって形成されるレンズ内のどこにでも、相互に利益のある取引を行うことに合意できます。しかし、相互に利益のある取引が存在しない唯一の点は、点 E のような、2 人の無差別曲線の接点です。契約曲線は、レンズ内のこれらの無差別曲線の接点の集合であり、右上がりで点 E を通る曲線です。

エッジワースの契約曲線を示す図。

ミクロ経済学において、契約曲線またはパレート集合^[1]とは、2 人の人々の間での 2 つの財の最終的な配分を表す点の集合であり、これらの人々による財の初期配分を前提として、両者が互いに利益のある取引を行った結果として生じる可能性がある。この軌跡上の点はすべてパレート効率的な配分である。つまり、これらの点のいずれからも、一方の人の配分の満足度を高めてももう一方の人の満足度を下げてしまうような再配分は存在しない。契約曲線は、人々が最初に保有する 2 つの財から取引によって到達できるパレート効率的な点のサブセットである。これはここに示すエッジワース ボックスダイアグラムに描かれ、各人の配分は、その人の原点 (両方の財の配分がゼロになる点) から、一方の財については垂直方向に、もう一方の財については水平方向に測定される。一方の人の原点はエッジワース ボックスの左下隅であり、もう一方の人の原点はボックスの右上隅である。人々の初期の賦与（2つの財の初期配分）は図中の点で表されます。2人は、相互に利益のある取引がこれ以上不可能になるまで、互いに財を交換します。概念的に彼らが停止できる可能性のある点の集合は、契約曲線上の点です。

しかし、ほとんどの著者^{[2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]は}、契約曲線を、ある起点から別の起点までのパレート効率的な軌跡全体であると特定しています。

ワルラス均衡は契約曲線上に存在します。パレート効率的なすべての点と同様に、契約曲線上の各点は、一方の人の無差別曲線と他方の人の無差別曲線の接点です。したがって、契約曲線上では、限界代替率は両者にとって同じです。

例

上記のエッジワースボックス図に示されているように、固定供給量の2つの財XとYを消費する2人のエージェント、オクタビオとアビーが存在する経済があると仮定します。さらに、オクタビオとアビーの間での財の初期分配（賦存）を想定し、それぞれの出身地に向かって凸状の無差別曲線で表される正規構造（凸型）の選好をそれぞれが持つものとします。初期配分がオクタビオの無差別曲線とアビーの無差別曲線の接点にない場合、初期配分はオクタビオの無差別曲線とアビーの無差別曲線が交差する点になければなりません。これら2つの無差別曲線はレンズの形を形成し、初期配分はレンズの2つの角のいずれかにあります。オクタビオとアビーは相互に利益のある取引を選択します。つまり、両者にとってより良い（原点から遠い）無差別曲線上の点まで取引することになります。そのような点はレンズの内側にあり、一方の財が他方の財と交換される割合は、オクタビオの限界代替率とアビーの限界代替率の間になります。取引によって各人は常に一方の財をより多く、もう一方の財をより少なく得るため、取引は図の中で上向き左、または下向き右への動きをもたらします。

二人は、それぞれの限界代替率（その時点における無差別曲線の傾きの絶対値）が、現在の配分におけるもう一人のそれと異なる限り、取引を続ける（この場合、異なる限界代替率の間で、一方の財を他方の財と交換する相互に受け入れられる比率が存在する）。オクタビオの限界代替率がアビーの限界代替率と等しくなる点では、相互に有益な交換は不可能になる。この点はパレート効率的均衡と呼ばれる。エッジワース・ボックスにおいて、これはオクタビオの無差別曲線がアビーの無差別曲線に接する点であり、初期の配分によって形成されるレンズの内側に位置する。

したがって、オクタビオとアビーが最終的に到達する可能性のある点の集合である契約曲線は、初期の配分によって形成されるレンズの内側に位置するパレート効率的な軌跡の断面である。この分析では、彼らが最終的に契約曲線上のどの点に到達するかを予測することはできない。それは二人の交渉スキルに依存する。

数学的な説明

2つの財と2人の個人の場合、契約曲線は以下のように表されます。ここで は個人1に割り当てられる財2の最終量、などを指し、は個人1と個人2がそれぞれ得る最終的な効用水準を指し、 は個人2が取引を全く行わずに当初の割り当てから得る効用水準を指し、 はそれぞれ財1と財2の利用可能な固定総量を指します。 ${\displaystyle x_{2}^{1}}$ ${\displaystyle u^{1}}$ ${\displaystyle u^{2}}$ ${\displaystyle u_{0}^{2}}$ ${\displaystyle \omega _{1}^{tot}}$ ${\displaystyle \omega _{2}^{tot}}$

${\displaystyle \max_{x_{1}^{1},x_{2}^{1},x_{1}^{2},x_{2}^{2}}u^{1}(x_{1}^{1},x_{2}^{1})}$

以下を条件とする:

${\displaystyle x_{1}^{1}+x_{1}^{2}\leq \omega _{1}^{tot}}$

${\displaystyle x_{2}^{1}+x_{2}^{2}\leq \omega _{2}^{tot}}$

${\displaystyle u^{2}(x_{1}^{2},x_{2}^{2})\geq u_{0}^{2}}$

この最適化問題は、2 人の人物間で財を配分する際に、各財の利用可能な量を 2 人の人物の合計で超過しないようにし、1 人目の効用が最大限に高くなるようにする一方で、2 人目の効用が初期配分よりも低くならないようにする (つまり、2 人目が初期配分から見つかった点までの取引を拒否しないようにする) というものです。この問題の定式化により、レンズ上で、1 人目の原点から可能な限り離れたパレート効率的な点が求められます。これは、1 人目がすべての交渉力を持っている場合に達成される点です。(実際、2 人目が特定された点までの取引に同意するためのインセンティブを少なくともわずかでも生み出すには、その点はレンズのわずかに内側にある必要があります。)

契約曲線全体を描き出すために、上記の最適化問題は以下のように修正できる。重みbと1- bを用いて、人物1と人物2の効用加重平均を最大化する。ただし、各財の配分がその供給量を超過しないという制約と、両者の効用が初期賦存量における効用と少なくとも同じ大きさであるという制約を満たすものとする。

${\displaystyle \max_{x_{1}^{1},x_{2}^{1},x_{1}^{2},x_{2}^{2}}b\cdot u^{1}(x_{1}^{1},x_{2}^{1})+(1-b)\cdot u^{2}(x_{1}^{2},x_{2}^{2})}$

以下を条件とする:

${\displaystyle x_{1}^{1}+x_{1}^{2}\leq \omega _{1}^{tot}}$

${\displaystyle x_{2}^{1}+x_{2}^{2}\leq \omega _{2}^{tot}}$

${\displaystyle u^{1}(x_{1}^{1},x_{2}^{1})\geq u_{0}^{1}}$

${\displaystyle u^{2}(x_{1}^{2},x_{2}^{2})\geq u_{0}^{2}}$

ここで、b は初期賦与から取引を行わない場合に人1が得る効用です。重み付けパラメータbを変化させることで、契約曲線全体を描き出すことができます。b = 1 の場合、問題は前の問題と同じであり、初期賦与の無差別曲線によって形成されるレンズの一方の端に効率的な点が特定されます。b = 0 の場合、重み付けはすべて人1ではなく人2の効用に置かれるため、最適化によってレンズのもう一方の端に効率的な点が特定されます。b はこれら2つの極端な値の間を滑らかに変化するため、契約曲線上の中間の点がすべて描き出されます。 ${\displaystyle u^{1}}$

上記の最適化は、両者が明示的にも暗黙的にも実際に行うものではないことに注意してください。これらの最適化は、経済学者が契約曲線上の点を特定するための単なる手段です。

参照

• 福祉経済学
• 経済学のトピックのリスト

参考文献

1. Varian, Hal R. (2010). 『中級ミクロ経済学：現代的アプローチ』（第8版）. ニューヨーク: WW Norton & Co. ISBN 978-0-393-93424-3. OCLC  317920200。
2. Varian, Hal R.ミクロ経済分析、第3版、1992年、324ページ。
3. ニコルソン、ウォルター、スナイダー、クリストファー、「中級ミクロ経済学とその応用」、第11版、2010年、362ページ。
4. Pindyke, Robert S. Rubinfeld, Daniel L. 「ミクロ経済学」、第9版、2018年、620ページ。
5. Jehle, Geoffrey L. Reny, Philip J.「Advanced Microeconomic Theory」、第3版、2011年、197ページ。
6. Perloff Jeffrey M.「ミクロ経済学、理論と微積分による応用」、第5版、338ページ。
7. ブラウニング、エドガー・K・ズパン、マーク、A.「ミクロ経済学、理論と応用」、第12版、2015年、148ページ。
8. クレプス、デイビッド・M.「ミクロ経済理論講座」、1990年、156ページ。
9. セラーノ、ロベルト、フェルドマン、アラン・M.「微積分を使った中級ミクロ経済学短期コース」、2013年、271ページ。

• マス・コレル、アンドリュー、ウィンストン、マイケル・D、グリーン、ジェリー (1995).ミクロ経済理論. ニューヨーク: オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-510268-1