凹面化

数学において、凹化とは非凹関数を凹関数に変換する過程である。関連する概念として凸化があり、非凸関数を凸関数に変換する。これは特に経済学と数理最適化において重要である。^[1]

単調変換による準凹関数の凹化

凹関数化の重要な特殊ケースとして、元の関数が準凹関数である場合が挙げられます。以下のことが知られています。

• すべての凹関数は準凹関数ですが、その逆は真ではありません。
• 準凹関数の単調変換はすべて準凹関数である。例えば、が準凹関数で、が単調増加関数である場合、も準凹関数である。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto g(f(x))}$

したがって、自然な疑問は次のようになります。準凹関数 が与えられたとき 、凹であるような単調増加 が存在するでしょうか?${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto g(f(x))}$

例と反例

例として、定義域 上の関数 を考えてみましょう。この関数は準凹関数ですが、凹関数ではありません（実際には厳密に凸関数です）。 は凹関数であるため、例えば単調変換 を用いて凹関数にすることができます。 ${\displaystyle x\mapsto f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle t\mapsto g(t)=t^{1/4}}$ ${\displaystyle x\mapsto g(f(x))={\sqrt {x}}}$

すべての凹関数がこのように凹型化できるわけではない。反例はフェンチェルによって示された^[2] 。彼の例は次の通りである。フェンチェルはこの関数が準凹型であることを証明したが、が凹型となるような単調変換は存在しない^{[3] 。7–9}${\displaystyle (x,y)\mapsto f(x,y):=y+{\sqrt {x+y^{2}}}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto g(f(x,y))}$

これらの例に基づき、関数が凹型になる単調変換が存在する場合、関数は凹型であると定義します。ここで問題となるのは、どのような準凹型関数が凹型になるかということです。

凹面性

ヤカール・カンナイは、この問題を効用関数の文脈で深く考察し、連続凸選好が凹効用関数で表現されるための十分な条件を与えている。^[4]

^{彼の結果は後にコネルとラスムッセン[3]}によって一般化され、彼らは凹状化可能性の必要十分条件を与えた。彼らは、この関数が彼らの条件に違反し、したがって凹状化可能ではないことを示した。彼らは、この関数が厳密に準凹状であり、その勾配は零ではないが、凹状化可能ではないことを証明した。 ${\displaystyle (x,y)\mapsto f(x,y)=e^{e^{x}}\cdot y}$

参考文献

1. Li, D.; Sun, XL; Biswal, MP; Gao, F. (2001-07-01). 「大域的最適化における凸化、凹化、単調化」. Annals of Operations Research . 105 ( 1–4 ): 213– 226. doi :10.1023/A:1013313901854. ISSN  0254-5330. S2CID  7570136.
2. Fenchel (1953).凸錐、集合、関数. プリンストン大学.
3. Connell, Christopher; Rasmusen, Eric Bennett (2017年12月). 「QuasiConcave の Concavifying」. Journal of Convex Analysis . 24 (4): 1239–1262 .
4. Kannai, Yakar (1977-03-01). 「凹状効用関数の凹状可能性と構築」. Journal of Mathematical Economics . 4 (1): 1– 56. doi :10.1016/0304-4068(77)90015-5. ISSN  0304-4068.