シャウダー基底
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数学において、シャウダー基底または可算基底は、ベクトル空間の通常の（ハメル）基底に類似している。違いは、ハメル基底は有限和となる線型結合を用いるのに対し、シャウダー基底は無限和となる場合があることである。このため、シャウダー基底は、バナッハ空間を含む無限次元位相ベクトル空間の解析により適している。

シャウダー基底は1927年にユリウス・シャウダーによって記述されたが[1] [2]、そのような基底はそれ以前にも議論されていた。例えば、ハール基底は1909年に与えられ、ゲオルク・ファーバーは1910年に区間上の連続関数の基底（ファーバー・シャウダー系とも呼ばれる）を議論した[3]。

定義

V を体F上の位相ベクトル空間とする。シャウダー基底はVの元の 列{ b n } であり、すべての元v ∈ Vに対して、 Fのスカラーの列 { α n } が 一意に存在するため、 無限和の収束は暗黙的に周囲位相の収束、すなわちとなるが、ノルムベクトル空間（バナッハ空間など）では弱収束にしか帰着しない。[4]ハメル基底 とは異なり、級数が無条件に収束しない可能性があるため、基底の元は順序付けられていなければならない。   v = ∑ n = 0 ∞ α n b n . {\displaystyle v=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha _{n}b_{n}}{\text{.}}} lim n → ∞ ∑ k = 0 n α k b k = v , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}}=v{\text{,}}}

シャウダー基底を可算と定義する著者もいれば（上記のように）、非可算基底も含むと定義する著者もいることに注意してください。いずれの場合も、和自体は常に可算です。非可算シャウダー基底は、列ではなく線型順序集合であり、各和はこの線型順序から項の順序を継承します。非可算シャウダー基底は実際に存在し得ます。例えば、可分 ヒルベルト空間は可算シャウダー基底しか持ちませんが、非可分ヒルベルト空間は非可算シャウダー基底を持つことがあります。

上記の定義は厳密にはノルム空間を必要としないが、シャウダー基底について有用なことを述べるにはノルムが必要である。以下の結果はノルムの存在を前提としている。

シャウダー基底{ b n } n ≥ 0は、バナッハ空間V内のすべての基底ベクトルのノルムが1であるとき、 正規化されていると言われます。

V内のシーケンス{ x n } n ≥ 0は、その閉じた線形スパンの Schauder 基底である場合に基本シーケンスと呼ばれます。

2つのシャウダー基底、Vの{ b n }とWの{ c n }は、 2つの定数c > 0とCが存在し、任意の自然数N ≥ 0とすべてのスカラー列{α n }に対して、

c ‖ ∑ k = 0 N α k b k ‖ V ≤ ‖ ∑ k = 0 N α k c k ‖ W ≤ C ‖ ∑ k = 0 N α k b k ‖ V . {\displaystyle c\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}\leq \left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}c_{k}\right\|_{W}\leq C\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}.}

Vのベクトル族が全ベクトル族であるとは、その線型範囲（有限線型結合の集合）がVに稠密であることを意味する。Vがヒルベルト空間であるならば、直交基底とは、 Bの元が非零かつ2つ1つ直交するようなVの全体部分集合Bのことである。さらに、 Bの各元がノルム1を持つならば、BはVの直交基底となる。

プロパティ

{ b n } をF  = Rまたは C上のバナッハ空間Vのシャウダー基底とする。開写像定理の微妙な帰結として、{ P n } によって定義される 線型写像は

v = ∑ k = 0 ∞ α k b k     ⟶ P n     P n ( v ) = ∑ k = 0 n α k b k {\displaystyle v=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}b_{k}\ \ {\overset {\textstyle P_{n}}{\longrightarrow }}\ \ P_{n}(v)=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}}

は定数Cによって一様に制限される。[5] C = 1のとき、基底は単調基底と呼ばれる。写像{ P n }は基底射影である。

{ b* n } を座標汎関数と表記する。ここでb* n はV内の任意のベクトルvに、上記の展開におけるvの座標 α nを割り当てる。各b* nはV上の有界線型汎関数である。実際、 V内の任意のベクトルvに対して、

| b n ∗ ( v ) | ‖ b n ‖ V = | α n | ‖ b n ‖ V = ‖ α n b n ‖ V = ‖ P n ( v ) − P n − 1 ( v ) ‖ V ≤ 2 C ‖ v ‖ V . {\displaystyle |b_{n}^{*}(v)|\;\|b_{n}\|_{V}=|\alpha _{n}|\;\|b_{n}\|_{V}=\|\alpha _{n}b_{n}\|_{V}=\|P_{n}(v)-P_{n-1}(v)\|_{V}\leq 2C\|v\|_{V}.}

これらの汎関数 { b* n } は、基底 { b n } に付随する双直交汎関数と呼ばれる。基底 { b n } が正規化されている場合、座標汎関数 { b* n } は、 Vの 連続双対V  ′においてノルム ≤ 2 Cを持つ。

シャウダー基底を持つバナッハ空間Vのすべてのベクトルvは、有限階数で一様有界のP n ( v )の極限であるため、このような空間V は有界近似特性を満たします。

シャウダー基底を持つバナッハ空間は必然的に可分であるが、その逆は偽である。基底問題とは、バナッハが提起した問い、すなわち、すべての可分バナッハ空間がシャウダー基底を持つかどうかという問いである。これは、近似性を満たさない反射的かつ可分なバナッハ空間、すなわちシャウダー基底を持たない空間を構築したペル・エンフロによって否定的に解答された。 [6]この構成は長年にわたり簡略化され一般化されてきた。現代的な説明については、Fabian et al. (2011, Sec. 16.5) を参照のこと。

マズール[7]に帰せられる定理は、すべての無限次元バナッハ空間Vは基本列を含む、すなわち、シャウダー基底を持つ Vの無限次元部分空間が存在することを主張している。

例

c 0およびℓ p（1 ≤ p < ∞）の標準単位ベクトル基底は 単調シャウダー基底である。この単位ベクトル基底{ b n } において、 V = c 0またはV = ℓ pにおけるベクトルb nは、 n番目の座標を除くすべての座標b n, jが0であるスカラー列[ b n , j ] jである。

b n = { b n , j } j = 0 ∞ ∈ V ,     b n , j = δ n , j , {\displaystyle b_{n}=\{b_{n,j}\}_{j=0}^{\infty }\in V,\ \ b_{n,j}=\delta _{n,j},}

ここで、δ n, jはクロネッカーのデルタである。空間 ℓ ∞は可分ではないため、シャウダー基底を持たない。

可分ヒルベルト空間におけるすべての正規直交基底はシャウダー基底である。すべての可算正規直交基底はℓ 2における標準単位ベクトル基底と同値である。

分離可能なバナハ空間内のすべてのアウエルバッハ基底はシャウダー基底です。

ハール系は、1 ≤ p  < ∞のとき、 L p ([0, 1])の基底の一例である。 [2] 1 < p  < ∞のとき、もう一つの例は、以下に定義される三角関数系である。 [0, 1] 区間上の連続関数のバナッハ空間C ([0, 1]) は、上限ノルムを持ち、シャウダー基底を持つ。ファーバー・シャウダー系は、 C ([0, 1])の最も一般的に用いられる単調シャウダー基底である 。[3] [8]

古典空間の基底は、バナッハの著書（Banach (1932)）が出版される以前にもいくつか発見されていたが、他のいくつかの場合は長らく未解決のままであった。例えば、円板代数 A ( D )がシャウダー基底を持つかどうかという問題は、ボチカレフが1974年にフランクリン系から構成される基底がA ( D )に存在すること を示すまで、40年以上も未解決のままであった。 [9]また、周期的フランクリン系[10]がA ( D )と同型のバナッハ空間A rの基底であることも証明できる。[11]

この空間A rは、共役関数も連続であるような単位円T上のすべての複素連続関数から構成される。フランクリン系はC ([0, 1])の別のシャウダー基底である[12]。また、 1 ≤ p < ∞のとき、 L p ([0, 1])のシャウダー基底でもある。[13]フランクリン系から導出される系は、単位正方形上の微分可能関数の空間C 1 ([0, 1] 2 )の基底を与える。[14] C 1 ([0, 1] 2 )におけるシャウダー基底の存在は、バナッハの著書における疑問であった。[15]

フーリエ級数との関係

{ x n } を、実際のケースでは関数の列とする。

{ 1 , cos ⁡ ( x ) , sin ⁡ ( x ) , cos ⁡ ( 2 x ) , sin ⁡ ( 2 x ) , cos ⁡ ( 3 x ) , sin ⁡ ( 3 x ) , … } {\displaystyle \{1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),\cos(3x),\sin(3x),\ldots \}}

あるいは複雑な場合には、

{ 1 , e i x , e − i x , e 2 i x , e − 2 i x , e 3 i x , e − 3 i x , … } . {\displaystyle \left\{1,e^{ix},e^{-ix},e^{2ix},e^{-2ix},e^{3ix},e^{-3ix},\ldots \right\}.}

数列 { x n } は三角関数系と呼ばれる。これは、1 < p < ∞となる任意のpに対して、空間L p ([0, 2 π ])のシャウダー基底となる。p = 2 の場合、これはリース・フィッシャーの定理 の内容であり、p ≠ 2 の場合、これは円上のヒルベルト変換の空間L p ([0, 2 π ]) における有界性の帰結である。この有界性から、次式で定義される 射影P Nは

{ f : x → ∑ k = − ∞ + ∞ c k e i k x }   ⟶ P N   { P N f : x → ∑ k = − N N c k e i k x } {\displaystyle \left\{f:x\to \sum _{k=-\infty }^{+\infty }c_{k}e^{ikx}\right\}\ {\overset {P_{N}}{\longrightarrow }}\ \left\{P_{N}f:x\to \sum _{k=-N}^{N}c_{k}e^{ikx}\right\}}

1 < p < ∞のとき、 L p ([0, 2 π ])上で一様有界となる。この写像族 { P N } は等連続であり、三角多項式からなる稠密部分集合上で恒等写像に近づく。したがって、任意のf ∈ L p ([0, 2 π ])に対して、 P N f はL pノルムでfに近づく。言い換えれば、{ x n } はL p ([0, 2 π ])のシャウダー基底である。[16]

しかしながら、集合 { x n } はL 1 ([0, 2 π ])の Schauder 基底ではありません。これは、 L 1にはフーリエ級数がL 1ノルムで収束しない関数が存在することを意味します。あるいは、同値なことに、射影P N はL 1 -ノルムで一様有界ではないことを意味します。また、集合 { x n } はC ([0, 2 π ])の Schauder 基底ではありません。

作用素空間の基底

ヒルベルト空間 ℓ 2上のコンパクト作用素の空間K (ℓ 2 ) はシャウダー基底を持つ。ℓ 2の任意のx , yに対し、x ⊗ y を階数1の作用素v ∈ ℓ 2 → < v , x > yと表記する。{ e n } n ≥ 1を ℓ 2の標準直交基底とすると、 K (ℓ 2 )の基底は次式で表される[17]。

e 1 ⊗ e 1 ,     e 1 ⊗ e 2 , e 2 ⊗ e 2 , e 2 ⊗ e 1 , … , e 1 ⊗ e n , e 2 ⊗ e n , … , e n ⊗ e n , e n ⊗ e n − 1 , … , e n ⊗ e 1 , … {\displaystyle {\begin{aligned}&e_{1}\otimes e_{1},\ \ e_{1}\otimes e_{2},\;e_{2}\otimes e_{2},\;e_{2}\otimes e_{1},\ldots ,\\&e_{1}\otimes e_{n},e_{2}\otimes e_{n},\ldots ,e_{n}\otimes e_{n},e_{n}\otimes e_{n-1},\ldots ,e_{n}\otimes e_{1},\ldots \end{aligned}}}

あらゆるnに対して、この基底の最初のn 2ベクトルからなるシーケンスは、 1 ≤ j、k ≤ nに対して、ファミリ{ e j ⊗ e k }の適切な順序です。

前述の結果は一般化できる。基底を持つバナッハ空間Xは近似性を持つので、 X上のコンパクト作用素の空間K ( X )は、入射テンソル積に等長同型である[18]。

X ′ ⊗ ^ ε X ≃ K ( X ) . {\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X\simeq {\mathcal {K}}(X).}

Xがシャウダー基底{ e n } n ≥ 1を持つバナッハ空間で、双直交関数が双対の基底、つまり縮小基底を持つバナッハ空間である場合、空間K ( X )は、ランク1演算子e * j ⊗ e k  : v → e * j ( v ) e kによって形成される基底を、前と同じ順序で許容します。[17] これは特に、シャウダー基底を持つすべての反射バナッハ空間Xに当てはまります。

一方、空間B (ℓ 2 )は非可分であるため基底を持たない。さらに、 B (ℓ 2 )は近似性を持たない。[19]

無条件性

シャウダー基底{ b n }が無条件とは、 級数が収束するたびに無条件収束することである。シャウダー基底{ b n }の場合、これは定数Cが存在し、 ∑ α n b n {\displaystyle \sum \alpha _{n}b_{n}}

‖ ∑ k = 0 n ε k α k b k ‖ V ≤ C ‖ ∑ k = 0 n α k b k ‖ V {\displaystyle {\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}}

すべての自然数n、すべてのスカラー係数 {α k } 、すべての符号ε k = ±1に対して成り立つ。無条件性は、和の順序を気にしなくて済むため重要な性質である。シャウダー基底が対称的であるとは、それが無条件かつそのすべての順列に対して一様同値である場合である。すなわち、すべての自然数n、集合{0, 1, ..., n } のすべての順列 π 、すべてのスカラー係数 {α k } 、すべての符号 {ε k } に対して成り立つ定数Cが存在する。

‖ ∑ k = 0 n ε k α k b π ( k ) ‖ V ≤ C ‖ ∑ k = 0 n α k b k ‖ V . {\displaystyle {\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{\pi (k)}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}.}

1 ≤ p < ∞ に対する列空間 c 0および ℓ pの標準基底 、ならびにヒルベルト空間のすべての直交基底は無条件である。これらの基底は対称的でもある。

三角関数は、 p  = 2 の場合を除き、L pでは無条件基底ではありません。

ハール系は、任意の 1 < p < ∞ に対してL pの無条件基底となる 。空間L 1 ([0, 1]) には無条件基底は存在しない。[20]

当然の疑問として、すべての無限次元バナッハ空間は無条件基底を持つ無限次元部分空間を持つかどうかが挙げられます。これは1992年にティモシー・ガワーズとバーナード・モーリーによって否定的に解決されました。 [21]

シャウダー基底と双対性

バナッハ空間Xの基底{ e n } n ≥0が有界完備であるとは、任意のスカラー列{ a n } n ≥0に対して、部分和が

V n = ∑ k = 0 n a k e k {\displaystyle V_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}e_{k}}

がXで有界ならば、列 { V n } はXで収束する。 ℓ p（1 ≤ p < ∞ ）の単位ベクトル基底は有界完備である。しかし、単位ベクトル基底はc 0では有界完備ではない。実際、任意のnに対してa n  = 1ならば、

‖ V n ‖ c 0 = max 0 ≤ k ≤ n | a k | = 1 {\displaystyle \|V_{n}\|_{c_{0}}=\max _{0\leq k\leq n}|a_{k}|=1}

あらゆるnに対して、しかし、シーケンス { V n } はc 0で収束しません。あらゆる nに対して、 || V n +1 − V n || = 1 であるためです。

有界完備基底{ en } n≥0を持つ空間Xは双対空間と同型である。すなわち、空間Xは基底{en}に関連付けられた双直交関数の双対X′における閉線形スパンの双対と同型である 。[ 22 ]

Xの基底 { e n } n ≥0が縮小するとは、 X上の任意の有界線形関数fに対して、非負数の列

φ n = sup { | f ( x ) | : x ∈ F n , ‖ x ‖ ≤ 1 } {\displaystyle \varphi _{n}=\sup\{|f(x)|:x\in F_{n},\;\|x\|\leq 1\}}

n → ∞のとき 0 に近づく。ここでF nはm ≥ nの基底ベクトルe mの線形スパンである。ℓ p , 1 < p < ∞ 、またはc 0の単位ベクトル基底は縮小する。ℓ 1では縮小しない。これは、fが ℓ 1上の有界線形汎関数で、次式で与えられる場合 である。

f : x = { x n } ∈ ℓ 1   →   ∑ n = 0 ∞ x n , {\displaystyle f:x=\{x_{n}\}\in \ell ^{1}\ \rightarrow \ \sum _{n=0}^{\infty }x_{n},}

すると、すべてのnに対してφn≥f ( en ) =1となる。

Xの基底[ e n ] n ≥ 0が縮小する場合、かつその場合のみ、双直交関数[ e * n ] n ≥ 0が双対X  ′の基底を形成する。[23]

ロバート・C・ジェームズは、バナッハ空間における反射性を基底付きで特徴づけた。シャウダー基底を持つ空間Xが反射的であるための必要十分条件は、基底が縮小かつ有界完備である場合である。 [24]ジェームズはまた、無条件基底を持つ空間が非反射的であるための必要十分条件は、それがc 0またはℓ 1に同型な部分空間を含む場合であることも証明した。[25]

ハメル基底とはベクトル空間Vの部分集合Bであり、Vの全ての元v∈Vが一意に次のように書けるような基底である。

v = ∑ b ∈ B α b b {\displaystyle v=\sum _{b\in B}\alpha _{b}b}

α b ∈ Fであるが、集合

{ b ∈ B ∣ α b ≠ 0 } {\displaystyle \{b\in B\mid \alpha _{b}\neq 0\}}

は有限である。この性質により、無限次元バナッハ空間に対するハメル基底は扱いにくくなる。なぜなら、無限次元バナッハ空間のハメル基底は非可算でなければならないからである。（無限次元バナッハ空間Xのすべての有限次元部分空間は内部が空であり、Xのどこにも稠密ではない。したがって、ベールのカテゴリ定理から、これらの有限次元部分空間の基底の可算和は基底として使えないことが示される。[26]）

参照

注記

  1. ^ Schauder（1927）を参照。
  2. ^ ab シャウダー、ユリウス (1928)。 「アイネ固有シャフト・デ・ハールシェン直交系」。数学的ツァイシュリフト。28 : 317–320。土井:10.1007/bf01181164。
  3. ^ ab Faber、Georg (1910)、「Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar」、Deutsche Math.-Ver (ドイツ語) 19 : 104–112。ISSN  0012-0456; http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553
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  5. ^ ファビアンら。 (2011、定理 4.10)
  6. ^ Enflo, Per (1973年7月). 「バナッハ空間における近似問題に対する反例」. Acta Mathematica . 130 (1): 309– 317. doi : 10.1007/BF02392270 .
  7. ^ 初期に発表された証明については、Bessaga, C. and Pełczyński, A. (1958)「On bases and unconditional convergence of series in Banach spaces」（Studia Math. 17 : 151–164）の157ページ、C.3を参照のこと。この論文の冒頭で、BessagaとPełczyńskiは、Mazurの結果がBanachの著書（正確には238ページ）に証明なしに記載されていると述べているが、証明を含む参考文献は示していない。
  8. ^ Schauder (1927) の48～49ページを参照。Schauderはそこでこのシステムの一般的なモデルを定義しており、今日使用されているFaber-Schauderシステムはその特殊なケースである。
  9. ^ Bočkarev, SV (1974)「円板内解析関数空間における基底の存在とフランクリン体系のいくつかの性質」（ロシア語）Mat. Sb . (NS) 95 (137): 3–18, 159を参照。Math. USSR-Sb. 24 (1974), 1–16に翻訳。この問いはバナッハの著書Banach (1932) p. 238, §3に記載されている。
  10. ^ 19ページを参照。 161、III.D.20、Wojtaszczyk (1991)。
  11. ^ 19ページを参照。 192、III.E.17、Wojtaszczyk (1991)。
  12. ^ フランクリン、フィリップ (1928). 「連続直交関数の集合」. Math. Ann. 100 : 522–529 . doi :10.1007/bf01448860.
  13. ^ 16 ページを参照してください。 164、III.D.26、Wojtaszczyk (1991)。
  14. ^ Ciesielski, Z (1969) を参照。 「 C 1 ( I 2 )における基底の構築」。ステューディア数学。 33 : 243–247 . およびSchonefeld, Steven (1969). 「微分可能関数の空間におけるSchauder基底」. Bull. Amer. Math. Soc. 75 (3): 586– 590. doi : 10.1090/s0002-9904-1969-12249-4 .
  15. ^ Banach (1932) 238ページ、§3を参照。
  16. ^ 16 ページを参照してください。 40、II.B.11、Wojtaszczyk (1991)。
  17. ^ ab Ryan (2002)の命題4.25、p.88を参照。
  18. ^ Ryan (2002)の系4.13、p.80を参照。
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  20. ^ Lindenstrauss & Tzafriri (1977) 24ページを参照。
  21. ^ Gowers, W. Timothy; Maurey, Bernard (1992年5月6日). 「無条件基本列問題」. arXiv : math/9205204 .
  22. ^ Lindenstrauss & Tzafriri (1977)の9ページを参照。
  23. ^ Lindenstrauss & Tzafriri (1977)の8ページを参照。
  24. ^ James (1950)およびLindenstrauss & Tzafriri (1977, p.9)を参照。
  25. ^ James (1950)およびLindenstrauss & Tzafriri (1977, p. 23)を参照。
  26. ^ Carothers, NL (2005),バナッハ空間理論の短期講座, Cambridge University Press ISBN 0-521-60372-2

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参考文献

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さらに読む

  • Kufner, Alois (2013), Function spaces , De Gruyter Series in Nonlinear analysis and applications, vol. 14, Prague: Academia Publishing House of the Czechoslovak Academy of Sciences, de Gruyter
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