臨界寸法

物理学における相転移の繰り込み群解析において、臨界次元とは、相転移の性質が変化する空間の次元である。下限臨界次元より下では相転移は起こらない。上限臨界次元より上では、理論の臨界指数は平均場理論における臨界指数と同じになる。平均場理論において臨界次元を得るための洗練された基準は、V. ギンツブルグによるものである。

繰り込み群は相転移と量子場の理論との関係を確立するため、後者と、繰り込み一般のより広範な理解に重要な意味を持つ。上限臨界次元を超える場合、相転移のモデルに属する量子場の理論は自由場の理論である。下限臨界次元を下回る場合、このモデルに対応する場の理論は存在しない。

弦理論の文脈では、その意味はより限定される。臨界次元とは、背景放射効果による追加の交絡的な置換なしに、一定のディラトン背景を仮定した上で、弦理論が整合する次元である。正確な数値は、世界面上の共形異常の必要なキャンセルによって決定される。ボソン弦理論では26 、超弦理論では10である。

場の理論における上臨界次元

場の理論における上臨界次元の決定は線型代数の問題である。この手順を定式化することは、スケーリングの最低次の近似と繰り込み群の本質的な入力を与えるため、価値がある。また、そもそも臨界モデルを持つための条件も明らかにする。

臨界ラグランジアンの単項式の指数は、指数空間における超平面を定義する。上側の臨界次元は - 軸で読み取ることができる。${\displaystyle E_{1}}$

ラグランジアンは、座標と体からなる単項式上の積分からなる項の和として表される。例としては、標準模型や、ラグランジアンを持つ 等方性リフシッツ三重臨界点が挙げられる。${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle \phi ^{4}}$

${\displaystyle \displaystyle S=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla \phi \right)^{2}+u\phi ^{4}\right\},}$

${\displaystyle \displaystyle S_{L.T.P}=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla ^{2}\phi \right)^{2}+u\phi ^{3}\nabla ^{2}\phi +w\phi ^{6}\right\},}$

右の図も参照のこと。この単純な構造は、座標と場を次の係数で再スケーリングした際にスケール 不変性が保たれる可能性がある。${\displaystyle b}$

${\displaystyle \displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}b^{\left[x_{i}\right]},\phi _{i}\rightarrow \phi _{i}b^{\left[\phi _{i}\right]}.}$

ここでは時間は特に取り上げられておらず、単なる座標の一つに過ぎません。ラグランジアンに時間変数が含まれる場合、この変数は定数指数 で再スケールされます。目標は指数集合 を決定することです。 ${\displaystyle t\rightarrow tb^{-z}}$ ${\displaystyle z=-[t]}$ ${\displaystyle N=\{[x_{i}],[\phi _{i}]\}}$

例えば、1つの指数 は任意に選択できます。次元解析の用語では、これは指数が波数ベクトル因子（長さ の逆数）を数えることを意味します。したがって、ラグランジアン の各単項式は、指数 に関する同次線形方程式を導きます。ラグランジアン に（非同値な）座標と場が存在する場合、そのような方程式は正方行列を構成します。この行列が逆行列である場合、自明な解 のみが存在します。 ${\displaystyle [x_{1}]}$ ${\displaystyle [x_{1}]=-1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k=1/L_{1}}$ ${\displaystyle \sum E_{i,j}N_{j}=0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N=0}$

非自明解の条件は空間次元間の方程式を与え、これが上臨界次元を決定する（ラグランジアンに変数次元が1つしかない場合）。座標と場を再定義すると、スケーリング指数の決定は、ラグランジアンに現れるすべての結合定数を無次元化した上で、波数ベクトルに関する次元解析と等価であることが示される。無次元結合定数は、上臨界次元の技術的な特徴である。 ${\displaystyle \det(E_{i,j})=0}$ ${\displaystyle d_{u}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$

ラグランジアンレベルでのナイーブスケーリングは、物理的なスケーリングとは直接対応しません。なぜなら、場の理論と経路積分に意味を与えるためにはカットオフが必要となるからです。長さのスケールを変えると、自由度の数も変化します。この複雑さは、繰り込み群によって考慮されています。上側臨界次元における主な結果は、大きな因子に対してスケール不変性が維持される一方で、座標と場のスケーリングには 追加の因子が加わることです。${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ln(b)}$

より下またはより上で何が起こるかは、長距離（統計場の理論）に関心があるか、短距離（量子場の理論）に関心があるかによって異なります。量子場の理論は、より下では自明（収束）であり、より上では繰り込み可能ではありません。^[1]統計場の理論は、より上では自明（収束）であり、より下では繰り込み可能です。後者の場合、ナイーブスケーリング指数に「異常な」寄与が生じます。有効臨界指数へのこれらの異常な寄与は、上側臨界次元で消失します。 ${\displaystyle d_{u}}$ ${\displaystyle d_{u}}$ ${\displaystyle d_{u}}$ ${\displaystyle d_{u}}$ ${\displaystyle d_{u}}$ ${\displaystyle N}$

上側臨界次元でのスケール不変性が、この次元より下側でもスケール不変性になる仕組みを理解することは有益です。小さな外部波数ベクトルの場合、頂点関数は 追加の指数、例えば を獲得します。これらの指数を（最初の列にのみ値を持つ）行列に挿入すると、スケール不変性の条件は になります。この方程式は、頂点関数の異常指数が何らかの形で協力する場合にのみ満たされます。実際、頂点関数は階層的に相互に依存しています。この相互依存性を表現する方法の1つが、シュウィンガー・ダイソン方程式です。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{2}(k)\thicksim k^{2-\eta (d)}}$ ${\displaystyle A(d)}$ ${\displaystyle \det(E+A(d))=0}$

したがって、におけるナイーブスケーリングは、零次近似として重要です。上臨界次元におけるナイーブスケーリングは、ラグランジアンの各項を関連、無関係、または周辺に分類します。ラグランジアンは、- 指数と- 指数が超平面上にある場合、スケーリングと両立します。例として、上の図を参照してください。はこの超平面の法線ベクトルです。 ${\displaystyle d_{u}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle E_{i,j}}$ ${\displaystyle N}$

下限臨界寸法

与えられた普遍性クラスの相転移の下限臨界次元とは、次元が から増加していった場合にこの相転移が発生しない最後の次元のことです。 ${\displaystyle d_{L}}$ ${\displaystyle d=1}$

秩序相の熱力学的安定性は、エントロピーとエネルギーに依存する。定量的には、これは磁壁の種類とその揺らぎモードに依存する。場の理論における下臨界次元を導出する一般的な形式的な方法は存在しないと思われる。下限値は統計力学的な議論によって導出できる可能性がある。

まず短距離相互作用のある1次元システムを考えてみましょう。ドメインウォールを作るには一定のエネルギー量 が必要です。このエネルギーを他の自由度から取り出すと、エントロピーが だけ減少します。このエントロピーの変化は、ドメインウォール自体のエントロピーと比較する必要があります。^[2]長さのシステムでは、ドメインウォールの位置があり、（ボルツマンの原理に従って）エントロピーゲイン をもたらします。 がゼロ以外の温度で、十分に大きい場合、エントロピーゲインが常に支配的になるため、 で短距離相互作用のある1次元システムでは相転移は起こりません。したがって、空間次元 は、そのようなシステムの下限臨界次元の下限となります。 ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \Delta S=-\epsilon /T}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L/a}$ ${\displaystyle \Delta S=k_{B}\log(L/a)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle d_{1}=1}$

短距離相互作用と連続対称性を持つ秩序パラメータを持つ系についても同様の議論を用いることで、より強い下限値を導くことができる。この場合、メルミン・ワグナー定理によれば、秩序パラメータの期待値はにおいてゼロとなり、したがって およびそれ以下の範囲では通常のタイプの相転移は起こらない。 ${\displaystyle d_{L}=2}$ ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle d_{L}=2}$

クエンチされた無秩序性を持つ系の場合、 ImryとMa ^[3]によって示された基準が関連する可能性がある。彼らはこの基準を用いて、ランダム磁場磁石の下限臨界寸法を決定した。

参考文献

1. ジン＝ジャスティン、ジーン（1996年）『量子場の理論と臨界現象』オックスフォード：クラレンドン・プレス、ISBN 0-19-851882-X。
2. Pitaevskii, LP; Landau, LD; Lifshitz, EM; Sykes, JB; Kearsley, MW; Lifshitz, EM (1991).統計物理学. オックスフォード: Butterworth-Heinemann . ISBN 0-7506-3372-7。
3. Imry, Y.; SK Ma (1975). 「連続対称性の秩序状態のランダム場不安定性」. Phys. Rev. Lett . 35 (21): 1399– 1401. Bibcode :1975PhRvL..35.1399I. doi :10.1103/PhysRevLett.35.1399.

外部リンク

• Kanon: 臨界寸法を決定するための無料のWindowsプログラム。例、オンラインヘルプ、数学的詳細付き。