レイリー方程式（流体力学）
平行せん断流の例。

流体力学において、レイリー方程式またはレイリー安定性方程式は、平行、非圧縮、非粘性せん断流の流体力学的安定性を研究するための線形 常微分方程式である。この方程式は[1]で示される。

( U − c ) ( φ ″ − k 2 φ ) − U ″ φ = 0 , {\displaystyle (U-c)(\varphi ''-k^{2}\varphi )-U''\varphi =0,}

は、安定性を研究する定常基底流の流速であり、は流れに直交する方向（すなわち流れ方向に垂直な方向）である。さらに、は基底流に作用する微小な流れ関数の摂動の複素振幅、は摂動の波数、は摂動が流れ方向に伝播する位相速度である。プライムは、 U ( z ) {\displaystyle U(z)} z {\displaystyle z} φ ( z ) {\displaystyle \varphi (z)} k {\displaystyle k} c {\displaystyle c} z . {\displaystyle z.}

背景

この方程式は1880年にそれを導入したレイリー卿にちなんで名付けられました。[2]後に平行粘性流の安定性の研究のために導入されたオール・ゾンマーフェルトの方程式は、粘性がゼロのときにレイリーの方程式に簡約されます。[3]

レイリー方程式は、適切な境界条件と組み合わせることで、多くの場合、固有値問題 を呈する。与えられた（実数値の）波数と平均流速に対して、固有値は位相速度であり、固有関数は関連する流れ関数の振幅である。一般に、固有値は連続スペクトルを形成する。場合によっては、複素共役対の離散スペクトルが存在することもある。レイリー方程式では波数は平方としてのみ現れるため、波数の解（すなわちと）は波数の解でもある[3]。 k {\displaystyle k} U ( z ) , {\displaystyle U(z),} c , {\displaystyle c,} φ ( z ) . {\displaystyle \varphi (z).} c . {\displaystyle c.} k {\displaystyle k} k 2 {\displaystyle k^{2}} φ ( z ) {\displaystyle \varphi (z)} c {\displaystyle c} + k {\displaystyle +k} − k . {\displaystyle -k.}

レイリー方程式は流れに対する2次元の摂動のみを扱っています。スクワイアの定理から、2次元の摂動は3次元の摂動よりも安定性が低いことがわかります。

臨界層付近の流線のケルビンの猫の目パターン。

実数値の位相速度が の最小値と最大値の間にある場合、問題には の近傍にいわゆる臨界層が存在する。臨界層ではレイリー方程式は特異となる。これらは1880年にケルビン卿によって初めて研究された[4]。彼の解は、位相速度とともに移動する基準系で観測すると、臨界層近傍にいわゆる猫の目のような流線パターンを生み出す[3]。 c {\displaystyle c} U ( z ) , {\displaystyle U(z),} z = z c r i t {\displaystyle z=z_{\mathrm {crit} }} U ( z c r i t ) = c . {\displaystyle U(z_{\mathrm {crit} })=c.} c . {\displaystyle c.}

導出

方向の平行せん断流を考えます。このせん断流は流れの交差方向のみに変化します[1]。流れの安定性は、流速と方向のそれぞれに小さな摂動を加えることで調べられます。流れは非圧縮オイラー方程式で記述され、線形化後は速度成分とを用いて次のように表されます。 U ( z ) {\displaystyle U(z)} x {\displaystyle x} z . {\displaystyle z.} u ( x , z , t ) {\displaystyle u(x,z,t)} w ( x , z , t ) {\displaystyle w(x,z,t)} x {\displaystyle x} z {\displaystyle z} U ( z ) + u ( x , z , t ) {\displaystyle U(z)+u(x,z,t)} w ( x , z , t ) : {\displaystyle w(x,z,t):}

∂ t u + U ∂ x u + w U ′ = − 1 ρ ∂ x p , ∂ t w + U ∂ x w = − 1 ρ ∂ z p and ∂ x u + ∂ z w = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}u+U\,\partial _{x}u+w\,U'=-{\frac {1}{\rho }}\partial _{x}p,\\&\partial _{t}w+U\,\partial _{x}w=-{\frac {1}{\rho }}\partial _{z}p\qquad {\text{and}}\\&\partial _{x}u+\partial _{z}w=0,\end{aligned}}}

偏微分演算子は時間に関して、また同様に、およびはおよびに関して成立する。圧力変動は連続の式が満たされることを保証する。流体の密度はと表され、本解析では定数である。プライムは、その偏微分を表す。 ∂ t {\displaystyle \partial _{t}} ∂ x {\displaystyle \partial _{x}} ∂ z {\displaystyle \partial _{z}} x {\displaystyle x} z . {\displaystyle z.} p ( x , z , t ) {\displaystyle p(x,z,t)} ∂ x u + ∂ z w = 0 {\displaystyle \partial _{x}u+\partial _{z}w=0} ρ {\displaystyle \rho } U ′ {\displaystyle U'} U ( z ) {\displaystyle U(z)} z . {\displaystyle z.}

流れの振動と流れ関数を使用して記述され、連続方程式が満たされることが保証されます。 u {\displaystyle u} w {\displaystyle w} ψ ( x , z , t ) , {\displaystyle \psi (x,z,t),}

u = + ∂ z ψ  and  w = − ∂ x ψ . {\displaystyle u=+\partial _{z}\psi \quad {\text{ and }}\quad w=-\partial _{x}\psi .}

- および - 運動量方程式の-および -導関数を取り、その後 2 つの方程式を減算すると、圧力を消去できます。 z {\displaystyle z} x {\displaystyle x} x {\displaystyle x} z {\displaystyle z} p {\displaystyle p}

∂ t ( ∂ x 2 ψ + ∂ z 2 ψ ) + U ∂ x ( ∂ x 2 ψ + ∂ z 2 ψ ) − U ″ ∂ x ψ = 0 , {\displaystyle \partial _{t}\left(\partial _{x}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi \right)+U\,\partial _{x}\left(\partial _{x}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi \right)-U''\,\partial _{x}\psi =0,}

これは本質的には渦度輸送方程式であり、（マイナス）渦度です。 ∂ x 2 ψ + ∂ z 2 ψ {\displaystyle \partial _{x}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi }

次に、正弦波の変動を考慮します。

ψ ( x , z , t ) = ℜ { φ ( z ) exp ⁡ ( i k ( x − c t ) ) } , {\displaystyle \psi (x,z,t)=\Re \left\{\varphi (z)\,\exp(ik(x-ct))\right\},}

は流線関数の振動の複素振幅であり、 は虚数単位（）であり、 は括弧内の式の実部を表す。これを渦度輸送方程式に用いると、レイリー方程式が得られる。 φ ( z ) {\displaystyle \varphi (z)} i {\displaystyle i} i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} ℜ { ⋅ } {\displaystyle \Re \left\{\cdot \right\}}

平坦な不透水性壁の境界条件は、その壁面において流れ関数が一定であるという事実から導かれる。したがって、不透水性壁面では流れ関数の振動はゼロ、すなわち無限流れの場合の一般的な境界条件は以下の通りである。 φ = 0. {\displaystyle \varphi =0.} lim z → ± ∞ φ ( z ) = 0. {\displaystyle \lim _{z\to \pm \infty }\varphi (z)=0.}

注記

  1. ^ ab Craik (1988、pp. 21–27)
  2. ^ レイリー（1880）
  3. ^ abc ドラジン（2002年、138～154ページ）
  4. ^ ケルビン（1880）

参考文献

  • Craik, ADD (1988),波動相互作用と流体の流れ, Cambridge University Press, ISBN 0-521-36829-4
  • Criminale, WO; Jackson, TL; Joslin, RD (2003),流体力学的安定性の理論と計算, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63200-3
  • ドラジン、PG（2002）、流体力学的安定性入門、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-00965-0
  • 広田 正之;モリソン PJ ; 服部 雄三 (2014)「非粘性せん断流における変分必要十分安定条件」, Proceedings of the Royal Society , 470 (20140322): 23 pp, arXiv : 1402.0719 , Bibcode :2014RSPSA.47040322H, doi :10.1098/rspa.2014.0322, PMC  4241005 , PMID  25484600
  • ケルビン卿（W.トムソン）（1880）「平面渦層内の波に対するレイリー卿の解における不穏な無限大について」ネイチャー誌、23（576）：45-6、書誌コード：1880Natur..23...45.、doi：10.1038/023045a0
  • レイリー卿（JWストラット）（1880）「ある流体運動の安定性、あるいは不安定性について」ロンドン数学会報、11：57-70
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