平方立方則
サイズが大きくなるにつれて表面積と体積の関係
平方-立方法則は、『二つの新しい科学』（1638年）で初めて言及されました。

平方立方法則（または立方平方法則）は、様々な科学分野で応用されている数学的原理であり、図形の大きさが増減するにつれて体積と表面積の関係が変化することを示しています。この法則は、1638年にガリレオ・ガリレイが著書『二つの新科学』の中で、「…二つの体積の比は、それらの表面積の比よりも大きい」と初めて記述されました。 [1]

この原理は、形状が大きくなるにつれて、その体積は表面積よりも速く増加するというものです。現実世界に応用すると、この原理は機械工学から生体力学に至るまで、様々な分野で重要な示唆をもたらします。ゾウのような大型哺乳類がネズミのような小型哺乳類よりも体温を下げるのが難しい理由や、超高層ビルの建設がますます困難になっている理由など、様々な現象を説明するのに役立ちます。

説明

プラトン立体と球の表面積Aと体積Vのグラフ。体積が増加すると表面積と体積の比が減少することを示しています。

破線矢印は、体積が8（2³）倍になると、表面積が4（2²）倍になることを示しています。
この図は、多面体の辺の長さ、表面積、体積の関係を明らかにしています。

平方-立方法則は次のように述べられます。

オブジェクトのサイズが比例して増加する場合、その新しい表面積は乗数の二乗に比例し、新しい体積は乗数の三乗に比例します。

数学的に表すと次のようになります。[2] は元の表面積、は新しい表面積です。 は元の体積、は新しい体積、は元の長さ、は新しい長さです。 あ 2 ＝ あ 1 （ ℓ 2 ℓ 1 ） 2 {\displaystyle A_{2}=A_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{2}} あ 1 {\displaystyle A_{1}} あ 2 {\displaystyle A_{2}} V 2 ＝ V 1 （ ℓ 2 ℓ 1 ） 3 {\displaystyle V_{2}=V_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{3}} V 1 {\displaystyle V_{1}} V 2 {\displaystyle V_{2}} ℓ 1 {\displaystyle \ell_{1}} ℓ 2 {\displaystyle \ell_{2}}

例えば、一辺が1メートルの立方体の表面積は6 m 2、体積は1 m 3です。立方体の辺の数を2倍すると、表面積は2の2乗で24 m 2、体積は2の3乗で8 m 3になります。

元の立方体（1m辺）の表面積と体積の比は6m 2  : 1m 3です。より大きな立方体（2m辺）の表面積と体積の比は(24/8)3m 2  : 1m 3です。寸法が大きくなるにつれて、体積は表面積よりも速く増加し続けます。これが立方体-立方体の法則です。この原理はすべての立体に当てはまります。[3]

アプリケーション

エンジニアリング

物体の密度が同じまま拡大された場合、体積と質量は乗数の3乗に比例して増加しますが、表面積は同じ乗数の2乗に比例してしか増加しません。つまり、物体の拡大版が元の物体と同じ速度で加速されると、拡大版の物体の表面にかかる圧力は大きくなります。

質量 の物体が加速度を受け、表面積 の物体に加速力が作用しているという簡単な例を考えてみましょう。加速による力は 、圧力はです。 メートル {\displaystyle m} 1つの {\displaystyle a} あ {\displaystyle A} F ＝ メートル 1つの {\displaystyle F=ma} P ＝ F あ ＝ メートル 1つの あ {\displaystyle P={\frac {F}{A}}={\frac {ma}{A}}}

ここで、オブジェクトが乗数によって誇張され、新しい質量と新しい表面積 を持つように考えます。 × {\displaystyle x} メートル ′ ＝ × 3 メートル {\displaystyle m'=x^{3}m} あ ′ ＝ × 2 あ {\displaystyle A'=x^{2}A}

加速による新しい力は、そして結果として生じる圧力は次のようになります。 F ′ ＝ × 3 メートル 1つの {\displaystyle F'=x^{3}ma} P ′ ＝ F ′ あ ′ ＝ × 3 メートル 1つの × 2 あ ＝ ×   メートル 1つの あ ＝ ×   P {\displaystyle {\begin{aligned}P'&={\frac {F'}{A'}}\\&={\frac {x^{3}ma}{x^{2}A}}\\&=x\ {\frac {ma}{A}}\\&=x\ P\\\end{aligned}}}

したがって、物体の大きさを単純に拡大するだけで、同じ構成材料（密度）と加速度を維持しながら、圧力は同じ倍率で増加します。これは、物体が応力に耐える能力が低下し、加速中に崩壊しやすくなることを示しています。

これが、大型車両が衝突試験で性能を発揮しにくい理由であり、また、建物の高さに理論的な限界がある理由でもあります。同様に、物体が大きいほど、他の物体からの抵抗が少なくなり、減速を引き起こします。

エンジニアリングの例

  • 蒸気機関：グラスゴー大学の計器製作者ジェームズ・ワットは、ニューコメン蒸気機関の縮尺模型を製作し、動作確認を依頼されました。ワットは、縮尺模型のシリンダーの表面積と容積の比率が、はるかに大型の商用機関よりも大きく、過剰な熱損失につながるという、平方立方則に関連する問題を認識しました。[4] この縮尺模型の実験は、ワットによる蒸気機関の有名な改良につながりました。
エアバスA380の前にあるボーイング737-500
  • エアバスA380：揚力と操縦面（翼、方向舵、昇降舵）は、機体に比べて比較的大きい。例えば、ボーイング737をA380のサイズに単純に拡大すると、平方立方則により、機体の重量に対して翼が小さすぎることになる。
  • エキスパンダーサイクル ロケットエンジンは、二乗三乗則の影響を受けます。ノズルの表面積の増加がノズルを流れる燃料の量の増加よりも遅いため、そのサイズ、ひいては推力は熱伝達 効率によって制限されます。
  • クリッパーは、同じ速度に達するためにスループよりも比較的広い帆面を必要とします。つまり、これらの船の間の帆面対帆面比は、重量対重量比よりも高くなります。
  • 気球は一般的に平方立方則の恩恵を受けます。気球の半径（）が増加すると、表面積のコストは二乗 r 1 {\displaystyle r^{1}} （） r 2 {\displaystyle r^{2}} で増加しますが、体積から発生する揚力は三乗（） r 3 {\displaystyle r^{3}} で増加します。
  • 構造工学：小さなスケールで機能する材料が、より大きなスケールでは機能しない場合があります。例えば、小さな自立柱の底部の圧縮応力は、柱のサイズと同じ割合で増加します。したがって、与えられた材料と密度において、柱が崩壊するサイズが存在します。

バイオメカニクス

動物を等尺的に相当なスケールアップした場合、筋肉の断面積はスケールアップ率の2乗に比例して増加する一方で、質量はスケールアップ率の3乗に比例して増加するため、相対的な筋力は著しく低下する。その結果、心血管系と呼吸器系に深刻な負担がかかる。

飛行動物の場合、等尺的に拡大すると翼面荷重が増加し、同じ揚力を得るためにはより速く飛行する必要があります。また、小型動物は単位質量あたりの空気抵抗も大きくなり（終端速度が低下します）、そのため、アリのような小型動物は、どんな高さから落とされても地面に衝突して重傷を負うことはありません。

J・B・S・ホールデンが述べたように、大型動物は小型動物とは似ても似つかない。象をネズミの拡大版と見間違えることはない。これは相対成長によるもので、象の骨はネズミの骨よりも必然的に相対的にずっと大きい。なぜなら、象はネズミの骨よりも相対的に大きな重量を支えなければならないからだ。ホールデンは1928年の画期的なエッセイ『適正な大きさについて』の中で、寓話的な巨人について次のように述べている。「…身長60フィートの人間を考えてみよう…挿絵入りの『天路歴程』に登場する巨人ポープと巨人ペイガン…これらの怪物は…（普通の人間の）1000倍の重さがあった。巨人の骨の1平方インチは、人間の骨の1平方インチが支える重量の10倍を支えなければならなかった。平均的な人間の大腿骨は体重の約10倍の重さで折れるので、ポープとペイガンは歩くたびに大腿骨を骨折していたであろう。」[5] その結果、ほとんどの動物は、種内外を問わず、体長が増加する相対成長的スケーリングを示す。怪獣映画に登場する巨大生物（例えば、『ゴジラ』、『キングコング』、『奴らめ！』、その他の怪獣）も、その巨大さゆえに倒れてしまうため、非現実的である。 史上最も背の高い男性（2.72m）として記録されているロバート・ワドローは、歩行に脚装具が必要で、足のしびれに悩まされていた。[6]

しかし、水の浮力は重力の影響をある程度打ち消します。そのため、水生動物は、同程度のサイズの陸生動物に必要な筋骨格構造を持たずに非常に大きな体格に成長することができ、これが地球上でこれまでに存在した最大の動物が水生動物である主な理由です。

動物の代謝率は、生態学の代謝理論によれば、1/4乗スケーリング[7]と呼ばれる数学的原理に従って変化します。

質量と熱伝達

物質移動、例えば生細胞のような小さな物体への拡散は、動物全体のような大きな物体への拡散よりも速い。したがって、バルク内ではなく表面上で起こる化学反応においては、より微細に分割された物質の方が活性が高い。例えば、不均一触媒の活性は、より微細な粒子に分割されているほど高くなる。

化学プロセスにおける熱発生量は容器の寸法（高さ、幅）の3乗に比例しますが、容器の表面積は寸法の2乗に比例します。そのため、大型容器は冷却がはるかに困難になります。また、高温流体を輸送するための大規模な配管を小規模でシミュレーションすることは困難です。これは、熱が細い配管からより速く放出されるためです。プロセス設計においてこの点を考慮しないと、壊滅的な熱暴走につながる可能性があります。

参照

参考文献

  1. ^ アレン、デイビッド (2014). 『機械工学が現代世界を形作った』（第1版）. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. ISBN 978-3-319-01701-3。
  2. ^ 「ワールドビルダーズ：生き物のサイズ」world-builders.org . 2016年10月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年4月21日閲覧。
  3. ^ ラバーベラ、マイケル・C. (2003). 「B級映画モンスターの生物学」シカゴ大学.
  4. ^ ローゼン、ウィリアム (2012). 『世界で最も強力なアイデア：蒸気、産業、そして発明の物語』 シカゴ：シカゴ大学出版局. p. 98. ISBN 978-0-226-72634-2。
  5. ^ Haldane, JBS (2003年2月14日). 「On Being the Right Size」(PDF) . インターネット・リサーチ・ラボ. UCLA . 2017年4月1日閲覧。
  6. ^ ギネス世界記録
  7. ^ ジョンソン、ジョージ（1999年1月12日）「ネズミと象：スケールの問題」ニューヨーク・タイムズ。 2015年6月11日閲覧。
  • Wikiversityの比率に関する学習教材
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