巡回多面体

数学において、巡回多面体（しゅうこうたいたいぶつ、英: cyclic polytope）は、R ^dの有理正規曲線上のn個の異なる点からなる凸包として形成される凸多面体であり、nはdより大きい。これらの多面体は、コンスタンティン・カラテオドリー、デイヴィッド・ゲイル、セオドア・モツキン、ヴィクトール・クレーらによって研究された。これらは多面体組合せ論において重要な役割を果たしている。ピーター・マクマレンとリチャード・スタンレーによって証明された上界定理によれば、巡回多面体C ( n , d ) の境界Δ ( n , d ) は、 n個の頂点を持つd − 1次元のすべての単体球面の中で、 i 次元面の数f _iを最大化する。

定義

モーメント曲線は次のように定義されます ${\displaystyle \mathbb {R}^{d}}$

${\displaystyle \mathbf {x} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{d},\mathbf {x} (t):={\begin{bmatrix}t,t^{2},\ldots ,t^{d}\end{bmatrix}}^{T}}$ [ ^1]

頂点を持つ次元巡回多面体は凸包である${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle C(n,d):=\mathbf {conv} \{\mathbf {x} (t_{1}),\mathbf {x} (t_{2}),\ldots ,\mathbf {x} (t_{n})\}}$

モーメント曲線上の異なる点の集合。 ^[1]${\displaystyle n>d\geq 2}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (t_{i})}$ ${\displaystyle t_{1} <t_{2} <t_{n}}$

この多面体の組み合わせ構造は選択された点に依存せず、結果として得られる多面体は次元dとn頂点を持つ。^[1] その境界はΔ ( n , d )で示される( d −1)次元単体多面体である。

ゲール均等条件

ゲール均等条件^[2]は、巡回多面体上の面を決定するための必要十分条件を提供します

とします。すると、の任意の2つの要素が、シーケンスから偶数個の要素によって分離されている場合に限り、 -部分集合が のファセットを形成します。 ${\displaystyle T:=\{t_{1},t_{2},\ldots,t_{n}\}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle T_{d}\subseteq T}$ ${\displaystyle C(n,d)}$ ${\displaystyle T\setminus T_{d}}$ ${\displaystyle T_{d}}$ ${\displaystyle (t_{1},t_{2},\ldots,t_{n})}$

近傍性

巡回多面体は、最大でd /2個の頂点の集合が面を形成するという点で、近傍多面体の例です。巡回多面体は最初に知られた近傍多面体であり、セオドア・モツキンはすべての近傍多面体は巡回多面体と組合せ論的に同値であると予想しましたが、現在ではこれは誤りであることが分かっています。^{[3] [4]}

面の数

巡回多面体Δ ( n , d )のi次元面の数は次式で与えられる。

${\displaystyle f_{i}(\Delta (n,d))={\binom {n}{i+1}}\quad {\textrm {for}}\quad 0\leq i<\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor }$

デーン・ゾンマービル方程式によって完全に決定します。 ${\displaystyle (f_{0},\ldots ,f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor -1})}$ ${\displaystyle (f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor },\ldots ,f_{d-1})}$

上界定理

上界定理は、与えられた次元と頂点数に対して、巡回多面体は可能な最大の面数を持つことを述べています。Δが次元d − 1で頂点数がnの単体球面である場合、

${\displaystyle f_{i}(\Delta )\leq f_{i}(\Delta (n,d))\quad {\textrm {for}}\quad i=0,1,\ldots,d-1.}$

単体多面体の上限予想は、1957年にセオドア・モツキンによって提唱され、 1970年に ピーター・マクマレンによって証明されました。ヴィクター・クレーは、同じ命題がすべての単体球面に対して成り立つはずであると示唆し、これは実際に1975年にリチャード・P・スタンレー^{[5]によって}、スタンレー・ライスナー環の概念とホモロジー的方法を用いて確立されました。

参照

• 組合せ可換代数

参考文献

1. Miller, Ezra; Sturmfels, Bernd (2005).組合せ的可換代数. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 227. New York, NY: Springer-Verlag . p. 119. ISBN 0-387-23707-0. Zbl  1090.13001.
2. ジーグラー、ギュンター・M. (1994).多面体に関する講義. シュプリンガー. p. 14. doi :10.1007/978-1-4613-8431-1. ISBN 978-0-387-94365-7。
3. ゲイル、デイヴィッド(1963)、「近隣多面体と巡回多面体」、クレー、ビクター編『凸性』、シアトル、1961年、純粋数学シンポジウム、第7巻、アメリカ数学会、  225～ 233ページ、ISBN 978-0-8218-1407-9 。
4. シェルマー、イド (1982). 「近隣多面体」.イスラエル数学ジャーナル. 43 (4): 291– 311. doi :10.1007/BF02761235。
5. スタンレー、リチャード (1996).組合せ論と可換代数. ボストン、マサチューセッツ州: バークハウザー・ボストン社. pp. 164. ISBN 0-8176-3836-9。