モジュールの分解

抽象代数学において、加群の分解とは、加群を加群の直和として表す方法です。分解の型は、加群の定義や特徴付けによく用いられます。例えば、半単純加群とは、単純な加群に分解できる加群のことです。環が与えられた場合、その環上の加群の分解の型は、環の定義や特徴付けにも用いることができます。環が半単純であるためには、その環上のすべての加群が半単純加群である必要があります。

直和不能な加群とは、2つの非零部分加群の直和ではない加群のことである。東谷の定理は、加群が局所 自己準同型環を持つ加群に分解できる場合、すべての直和不能な加群への分解は互いに同値であると述べている。特に群論においては、この特別なケースはクルル・シュミットの定理として知られている。

モジュールの分解の特殊なケースは、環の分解です。たとえば、環が半単純である場合、そしてそれが分割環上の行列環の直和（実際には積）である場合に限ります（この観察は、アルティン・ウェダーバーンの定理として知られています）。

冪等性と分解

加群を部分加群に直和分解することは、加群の自己準同型環に、和が恒等写像となる直交べき等性を与えることと同じである。^[1]実際、ならば、各 に対して、自然射影とそれに続く自然包含によって与えられる線型自己準同型はべき等性となる。これらは明らかに互いに直交しており（に対して）、和は恒等写像となる。 ${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle e_{i}:M\to M_{i}\hookrightarrow M}$ ${\displaystyle e_{i}e_{j}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle 1_{\operatorname {M} }=\sum _{i\in I}e_{i}}$

自己準同型として（ここで、和はモジュールの各元における有限和であるため、明確に定義されます）。逆に、各直交べき等元集合のうち、それぞれに対して有限個のみが非零となるものは、を の像とみなすことで直和分解を決定します。 ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle e_{i}(x)}$ ${\displaystyle x\in M}$ $\sum e_{i}=1_{M}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

この事実はすでに環の分解の可能性にいくつかの制約を与えている。環が与えられたとき、分解があるとする。 ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {}_{R}R=\bigoplus _{a\in A}I_{a}}$

をそれ自身の左加群として扱うことができ、 は左部分加群、すなわち左イデアルである。各自己準同型はRの元による右乗法と同一視することができる。したがって、はのべき等元である。^{[2]べき等自己準同型の和は}Rの単位元:の分解に対応し、これは必然的に有限和となる。特に、 は有限集合でなければならない。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I_{a}}$ ${\displaystyle {}_{R}R\to {}_{R}R}$ ${\displaystyle I_{a}=Re_{a}}$ ${\displaystyle e_{a}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} ({}_{R}R)\simeq R}$ ${\textstyle 1_{R}=\sum _{a\in A}e_{a}\in \bigoplus _{a\in A}I_{a}}$ ${\displaystyle A}$

例えば、n行n列の行列からなる分数環D上の環 を考える。すると、 は のn個の列の直和となる。各列は単純左R部分加群、言い換えれば極小左イデアルとなる。^[3]${\displaystyle R=\operatorname {M} _{n}(D)}$ ${\displaystyle {}_{R}R}$ ${\displaystyle D^{n}}$

Rを環とする。Rの（必然的に有限な）分解がそれ自身の左加群として存在すると仮定する 。

${\displaystyle {}_{R}R=R_{1}\oplus \cdots \oplus R_{n}}$

Rの両側イデアル に。上と同様に、となる直交冪等元に対して。はイデアルなので、に対しても同様である。すると、各iに対して、 ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}=Re_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle {1=\sum _{1}^{n}e_{i}}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}R\subset R_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}Re_{j}\subset R_{i}\cap R_{j}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle e_{i}r=\sum _{j}e_{j}re_{i}=\sum _{j}e_{i}re_{j}=re_{i}.}$

つまり、 は中心にある。つまり、それらは中心冪等元である。^[4]明らかに、議論は逆転することができ、したがってイデアルへの直和分解と、合計が単位元 1 になる直交中心冪等元との間には一対一の対応がある。また、それぞれはそれ自身の右辺の環であり、単位元は によって与えられ、環として、Rは積環である。${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle R_{1}\times \cdots \times R_{n}.}$

例えば、再び を取ります。この環は単純環であり、特に、両側イデアルへの非自明な分解は存在しません。 ${\displaystyle R=\operatorname {M} _{n}(D)}$

分解の種類

研究されてきた直和分解にはいくつかの種類があります。

• 半単純分解: 単純なモジュールの直和。
• 分解不可能な分解: 分解不可能なモジュールの直和。
• 局所自己準同型環を持つ分解^[5] (cf. #Azumaya の定理): 自己準同型環が局所環であるような加群の直和(環が局所的であるとは、各元xに対してxまたは 1 − xが単位元である場合である)。
• 直列分解：ユニシリアルモジュールの直和（モジュールがユニシリアルであるとは、サブモジュールの格子が有限チェーンであることを意味する^[6]）。

単純加群は分解不可能であるため、半単純分解は分解不可能な分解である（ただし逆は成り立たない）。加群の自己準同型環が局所的である場合、特に、その加群は非自明な冪等性を持つことができない。つまり、加群は分解不可能である。したがって、局所自己準同型環を持つ分解は分解不可能な分解である。

直和項が分解不可能な補集合を許容する場合、直和項は最大であると言われる。分解は、 Mの各最大直和項Lに対して、次 の部分集合が存在する場合、最大直和項を補集合とすると言われる。${\displaystyle \textstyle {M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}}$ ${\displaystyle J\subset I}$

${\displaystyle M=\left(\bigoplus _{j\in J}M_{j}\right)\bigoplus L.}$ ^[7]

2つの分解が同値であるとは、各 に対して となるような一対一分解が存在する場合を言う。^[7]モジュールが最大直和項を補完する分解不可能な分解を許容する場合、そのモジュールの任意の2つの分解不可能な分解は同値である。^[8]${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}=\bigoplus _{j\in J}N_{j}}$ ${\displaystyle \varphi :I{\overset {\sim }{\to }}J}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle M_{i}\simeq N_{\varphi (i)}}$

東谷の定理

最も単純な形では、東谷の定理は次のように述べている：^[9]それぞれの自己準同型環が局所的であるような分解（したがって分解は分解不可能）が与えられたとき、Mのそれぞれの分解不可能な分解はこの与えられた分解と同値である。より正確な定理は次のように述べている：^[10]このような分解が与えられたとき、 ならば、 ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle M=N\oplus K}$

1. 非ゼロの場合、Nには分解不可能な直和項が含まれる。
2. が分解不可能な場合、その自己準同型環は局所的であり^[11]、与えられた分解によって補完される。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$

   ${\textstyle M=M_{j}\oplus K}$ そして一部の人にとっては、${\displaystyle M_{j}\simeq N}$ ${\displaystyle j\in I}$

3. 各 に対して、となるの直和項との直和項が存在する。${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M=M_{i}\oplus N'\oplus K'}$

有限長の分解不可能な加群の自己準同型環は局所的であるため（例えば、フィッティングの補題により）、東谷の定理 がKrull–Schmidt の定理の設定に適用されます。実際、有限長の加群Mの場合、長さに関する帰納法により、有限の分解不可能な分解 が存在します。これは、局所自己準同型環を持つ分解です。ここで、分解不可能な分解 が与えられているとします。すると、最初の分解 と等価でなければなりません。つまり、の何らかの順列に対して およびとなります。より正確には、は分解不可能であるため、何らかの に対してとなります。すると、は分解不可能であるため、となり、以下同様に続きます。つまり、各和の補数は、 の何らかの直和として考えることができます。 ${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{n}M_{i}}$ ${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{m}N_{i}}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle M_{i}\simeq N_{\sigma (i)}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus (\bigoplus _{i=2}^{n}N_{i})}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$ ${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus M_{i_{2}}\bigoplus (\bigoplus _{i=3}^{n}N_{i})}$ ${\textstyle \bigoplus _{i=l}^{n}N_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$

もう 1 つの応用は次のステートメントです (これは射影モジュールに関する Kaplansky の定理の証明における重要なステップです)。

• 要素 が与えられたとき、の直和項と、 かつ となる部分集合 が存在します。${\displaystyle x\in N}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\textstyle H\simeq \bigoplus _{j\in J}M_{j}}$

これを確認するには、となる有限集合を選びます。すると、東谷の定理により と書き、の直和項がいくつか存在し、次にモジュラー法則によりと書きます。すると、は の直和項なので、 と書くことができ、次に と書くことができます。これは、 F が有限であるので、東谷の定理を繰り返し適用すること により、あるJに対して となることを意味します。${\displaystyle F\subset I}$ ${\textstyle x\in \bigoplus _{j\in F}M_{j}}$ ${\displaystyle M=N\oplus L}$ ${\displaystyle M=(\oplus _{j\in F}M_{j})\oplus N_{1}\oplus L_{1}}$ ${\displaystyle N_{1},L_{1}}$ ${\displaystyle N,L}$ ${\displaystyle N=H\oplus N_{1}}$ ${\displaystyle H=(\oplus _{j\in F}M_{j}\oplus L_{1})\cap N}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L=L_{1}\oplus L_{1}'}$ ${\displaystyle \oplus _{j\in F}M_{j}\simeq H\oplus L_{1}'}$ ${\displaystyle H\simeq \oplus _{j\in J}M_{j}}$

東谷の定理の設定において、さらに各 が可算生成 である場合、次のような改良が存在する（これは元々は Crawley–Jónsson により、後に Warfield により）：は、何らかの部分集合 に対してと同型である。^[12]（ある意味では、これは Kaplansky の定理の拡張であり、定理の証明で使用される 2 つの補題によって証明される。）（Facchini 1998）によれば、「可算生成」という仮定を削除できるかどうかは不明である。すなわち、この改良版は一般に正しい。 ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \bigoplus _{j\in J}M_{j}}$ ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle M_{i}}$

環の分解

環の分解に関して、最も基本的でありながら重要な観察は、ウェダーバーン-アルティンの定理として知られています。環Rが与えられたとき、以下は同値です。

1. Rは半単純環です。つまり、半単純左加群です。${\displaystyle {}_{R}R}$
2. ${\displaystyle R\cong \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(D_{i})}$ 分割環 に対して、は の要素を持つn行n列の行列の環を表し、正の整数、分割環、および の正の整数は（最後の2つは順列を除いて）Rによって決定される。${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{r}}$ ${\displaystyle \operatorname {M} _{n}(D_{i})}$ ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{r}}$ ${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{r}}$
3. R上のすべての左モジュールは半単純です。

1. 2. を示すために、まず が半単純ならば、互いに同型でない極小左イデアルである左 -加群の同型が存在することに注意する。次に、自己準同型が右から作用するという観点から、 ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\textstyle {}_{R}R\cong \bigoplus _{i=1}^{r}I_{i}^{\oplus m_{i}}}$ ${\displaystyle I_{i}}$

${\displaystyle R\cong \operatorname {End} ({}_{R}R)\cong \bigoplus _{i=1}^{r}\operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})}$

ここで、それぞれは上の行列環と見なすことができ 、これはシュアーの補題により除算環となる。逆は、2. の分解が極小左イデアル = 単純左部分加群への分解と同値であるため成立する。1. 3. の同値性は、すべての加群が自由加群の商であり、半単純加群の商が半単純である ため成立する。${\displaystyle \operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})}$ ${\displaystyle D_{i}=\operatorname {End} (I_{i})}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$

参照

• 純粋単射モジュール

注記

1. Anderson & Fuller 1992、系6.19および系6.20。
2. ここで、自己準同型環は右から作用すると考えられている。左から作用する場合、この同一視はRの反対の環に対して行われる。
3. Procesi 2007、第 6 章、§ 1.3。
4. アンダーソン＆フラー 1992、提案7.6。
5. (Jacobson 2009、定理 3.6 の前の段落) は、 が非零であり、局所自己準同型環を持つ場合、モジュールは強分解不可能であると呼びます。
6. アンダーソン＆フラー 1992、§32。
7. アンダーソン＆フラー 1992、§ 12を参照。
8. アンダーソン＆フラー 1992、定理12.4。
9. Facchini 1998、定理 2.12。
10. Anderson & Fuller 1992、定理12.6および補題26.4。
11. Facchini 1998、補題2.11。
12. Facchini 1998、Corollary 2.55.

参考文献

• アンダーソン, フランク W.; フラー, ケント R. (1992),環と加群のカテゴリ,大学院数学テキスト, 第13巻 (第2版), ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク, pp. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3、MR  1245487
• Frank W. Anderson、「非可換環に関する講義」、Wayback Machineに 2021-06-13 アーカイブ、オレゴン大学、2002 年秋。
• ファッキーニ、アルベルト（1998年6月16日）. 加群理論：自己準同型環と加群のいくつかのクラスにおける直和分解. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-5908-9。
• ジェイコブソン、ネイサン（2009）、基礎代数学、第2巻（第2版）、ドーバー、ISBN 978-0-486-47187-7
• Y. Lam, Bass の環論と射影加群に関する研究 [MR 1732042]
• プロチェシ、クラウディオ（2007年）『リー群：不変量と表現によるアプローチ』ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 9780387260402。
• R. ウォーフィールド: 交換環と加群の分解、数学、アナレン 199(1972)、31–36。