欠陥マトリックス

線型代数学 において、欠陥行列とは、固有ベクトルの完全な基底を持たない正方行列であり、したがって対角化できません。特に、行列が欠陥行列となるのは、線形独立な固有ベクトルを持たない場合のみです。^[1]完全な基底は、固有ベクトルに一般化固有ベクトルを追加することで形成されます。一般化固有ベクトルは、欠陥のある常微分方程式系やその他の問題を 解くために必要です${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$

欠陥のある行列には、常に より少ない異なる固有値があります。これは、異なる固有値は常に線形独立な固有ベクトルを持つためです。特に、欠陥のある行列には、代数的重複度を持つ（つまり、特性多項式の多重根である）1つ以上の固有値がありますが、に関連付けられた線形独立な固有ベクトルの数は より少なくなります。 の代数的重複度が幾何的重複度（つまり、 に関連付けられた線形独立な固有ベクトルの数）を超える場合、は欠陥のある固有値であると言われています。^[1]しかし、代数的重複度を持つすべての固有値には、常に線形独立な一般化固有ベクトルがあります。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

実対称 行列、より一般的にはエルミート行列、ユニタリ行列に欠陥はありません。より一般的には、正規行列（エルミート行列とユニタリ行列を特殊なケースとして含む）に欠陥はありません。

ジョーダンブロック

大きさが 以上の（つまり完全に対角ではない）非自明なジョルダンブロックは欠陥がある。（対角行列は、大きさが の自明なジョルダンブロックをすべて含むジョルダン正規形の特別な場合であり、欠陥はない。）例えば、ジョルダンブロックは ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1&\;&\;\\\;&\lambda &\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda \end{bmatrix}},}$

は、代数的重複度（同じ固有値を持つ他のジョルダン ブロックがある場合は重複度がさらに大きくなる）を持つ固有値 を持ちますが、異なる固有ベクトル は 1 つだけです。他の標準基底ベクトルは、に対して となるような一般化固有ベクトルの連鎖を形成します。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Jv_{1}=\lambda v_{1}}$ ${\displaystyle v_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.}$ ${\displaystyle v_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{bmatrix}},~\ldots ,~v_{n}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle Jv_{k}=\lambda v_{k}+v_{k-1}}$ ${\displaystyle k=2,\ldots ,n}$

任意の欠陥行列には非自明なジョルダン正規形があり、これはそのような行列の 対角化に最も近いものです。

例

欠陥のあるマトリックスの簡単な例は次のとおりです

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\0&3\end{bmatrix}},}$

これは3の 二重固有値を持ちますが、異なる固有ベクトルは1つしかありません

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

(およびその定数倍)。

参照

• ジョルダン標準形 - 行列の固有値とその代数的重複度を示す形式

注釈

1. Golub & Van Loan (1996, p. 316)

参考文献

• ゴルブ、ジーン・H.、ヴァン・ローン、チャールズ・F.（1996年）、マトリックス計算（第3版）、ボルチモア：ジョンズ・ホプキンス大学出版局、ISBN 978-0-8018-5414-9
• ストラング、ギルバート (1988) 『線形代数とその応用（第3版）』サンディエゴ：ハーコート、ISBN 978-970-686-609-7。