多様体上の密度

数学、特に微分幾何学において、密度とは微分可能多様体上の空間的に変化する量であり、本質的に積分可能である。抽象的には、密度とは、密度束と呼ばれる特定の線束の切断である。密度束のxにおける元は、xにおけるn本の接ベクトルが張る平行四辺形の体積を割り当てる関数である。

操作の観点から見ると、密度は座標変換においてヤコビ行列式の絶対値が乗じられる座標チャート上の関数の集合です。密度はs密度に一般化でき、その座標表現はヤコビ行列式の絶対値のs乗が乗じられます。向き付けられた多様体上では、1 密度はM上のn形式と標準的に同一視できます。向き付けられない多様体では、密度バンドルがMの向き付けバンドルとT ^∗ Mのn番目の外積バンドルのテンソル積であるため、この同一視はできません(擬テンソルを参照)。

動機（ベクトル空間における密度）

一般に、 n次元ベクトル空間Vにおけるベクトルv ₁ , ..., v _nによって生成される平行四辺形には、「体積」という自然な概念は存在しない。しかし、そのような平行四辺形に体積を割り当てる関数μ  : V × ... × V → Rを定義したい場合、関数は以下の性質を満たす必要がある。

• ベクトルv _{kのいずれかに}λ ∈ Rを掛ける場合、体積には | λ | を掛ける必要があります。
• ベクトルv ₁、...、v _{j −1}、v _{j +1}、...、v _nの任意の線形結合をベクトルv _jに追加した場合、体積は不変のままになります。

これらの条件は、 μがV上の並進不変測度によって与えられるという命題と同値であり、次のように言い換えることができる。

${\displaystyle \mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).}$

このような写像μ  : V × ... × V → Rはベクトル空間V上の密度と呼ばれる。( v ₁ , ..., v _n ) がVの任意の基底である場合、μ ( v ₁ , ..., v _n ) を固定するとμ も完全に固定されるので注意が必要である。したがって、 V上のすべての密度の集合 Vol( V ) は1次元ベクトル空間を形成する。V上の任意のn形式ωは、 V上の密度 | ω |を次のように 定義する。

${\displaystyle |\omega |(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})|.}$

ベクトル空間上の方向

を満たす すべての関数o  : V × ... × V → Rの集合Or( V )は、

${\displaystyle o(Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\operatorname {sign} (\det A)o(v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V)}$

線形独立である場合、そうでない場合 ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle o(v_{1},\ldots ,v_{n})=0}$

は1次元ベクトル空間を形成し、V上の向きは、任意の線型独立なv ₁ , ..., v _nに対して| o ( v ₁ , ..., v _n ) | = 1となるようなo ∈ Or( V )の2つの元のうちの1つである。V上の任意の非ゼロのn形式ω は、次の 向きo ∈ Or( V )を定義する。

${\displaystyle o(v_{1},\ldots ,v_{n})|\omega |(v_{1},\ldots ,v_{n})=\omega (v_{1},\ldots ,v_{n}),}$

逆に、任意のo ∈ Or( V )と任意の密度μ ∈ Vol( V )は、 V上のn形式ω を次のように 定義する。

${\displaystyle \omega (v_{1},\ldots ,v_{n})=o(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}).}$

テンソル積空間の観点から見ると、

${\displaystyle \operatorname {Or} (V)\otimes \operatorname {Vol} (V)=\bigwedge ^{n}V^{*},\quad \operatorname {Vol} (V)=\operatorname {Or} (V)\otimes \bigwedge ^{n}V^{*}.}$

ベクトル空間上のs密度

V上のs密度は関数μ  : V ×...× V → Rであり、

${\displaystyle \mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|^{s}\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).}$

密度と同様に、s密度は1次元ベクトル空間Vol ^s ( V )を形成し、V上の任意のn形式ωはV上のs密度| ω | ^sを次のように 定義する。

${\displaystyle |\omega |^{s}(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})|^{s}.}$

s ₁ - 密度とs _{2 -}密度μ ₁とμ ₂の積は、( s ₁ + s ₂ )-密度μ を次のように 形成する。

${\displaystyle \mu (v_{1},\ldots ,v_{n}):=\mu _{1}(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu _{2}(v_{1},\ldots ,v_{n}).}$

テンソル積空間の観点からこの事実は次のように述べられる。

${\displaystyle \operatorname {Vol} ^{s_{1}}(V)\otimes \operatorname {Vol} ^{s_{2}}(V)=\operatorname {Vol} ^{s_{1}+s_{2}}(V).}$

意味

形式的には、微分可能多様体Mのs密度バンドルVol ^s ( M )は、1次元群表現を絡み合わせた付随バンドル構成によって得られる。

${\displaystyle \rho (A)=\left|\det A\right|^{-s},\quad A\in \operatorname {GL} (n)}$

Mのフレームバンドルを持つ一般線型群の。

結果として得られる線束はs密度の束として知られ、次のように表される。

${\displaystyle \left|\Lambda \right|_{M}^{s}=\left|\Lambda \right|^{s}(TM).}$

1 密度は単に密度とも呼ばれます。

より一般的には、関連するバンドル構築により、 M上の任意のベクトルバンドルEから密度を構築することもできます。

詳細には、( U _α ,φ α ₎がM上の座標チャートの地図帳である場合、${\displaystyle \left|\Lambda \right|_{M}^{s}}$

${\displaystyle t_{\alpha }:\left|\Lambda \right|_{M}^{s}|_{U_{\alpha }}\to \phi _{\alpha }(U_{\alpha })\times \mathbb {R} }$

開被覆U _αに従属し、関連する GL(1)-コサイクルが

${\displaystyle t_{\alpha \beta }=\left|\det(d\phi _{\alpha }\circ d\phi _{\beta }^{-1})\right|^{-s}.}$

統合

多様体上の積分理論において、密度は重要な役割を果たします。実際、密度の定義は、測度dxが座標変換によってどのように変化するかに基づいています（Folland 1999、第11.4節、361-362ページ）。

座標チャートU _αでサポートされた1-密度 ƒ が与えられた場合、積分は次のように定義されます。

${\displaystyle \int _{U_{\alpha }}f=\int _{\phi _{\alpha }(U_{\alpha })}t_{\alpha }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}d\mu }$

ここで、後者の積分はR ⁿ上のルベーグ測度に関するものである。1-密度の変換則は変数のヤコビ変換と相まって、異なる座標チャートの重なりにおける互換性を保証するため、一般的なコンパクトに支えられた1-密度の積分は、単位元分割の議論によって定義できる。したがって、1-密度は、多様体が必ずしも向き付けられている必要も、向き付け可能である必要もない体積形式の概念の一般化である。より一般的には、リース・マルコフ・角谷表現定理を用いて、ラドン測度の一般理論を の分布セクションとして展開することができる。 ${\displaystyle |\Lambda |_{M}^{1}}$

1/p密度の集合はノルム線形空間であり、その完備化はMの固有L ^p空間と呼ばれる。 ${\displaystyle |\phi |_{p}=\left(\int |\phi |^{p}\right)^{1/p}<\infty }$ ${\displaystyle L^{p}(M)}$

コンベンション

いくつかの分野、特に共形幾何学では、異なる重み付けの慣例が用いられます。つまり、s密度の束は、代わりに文字

${\displaystyle \rho (A)=\left|\det A\right|^{-s/n}.}$

例えば、この規約では、1密度ではなくn密度を積分します。また、これらの規約では、共形計量は重み2のテンソル密度と同一視されます。

プロパティ

• の双対ベクトル束はです。${\displaystyle |\Lambda |_{M}^{s}}$ ${\displaystyle |\Lambda |_{M}^{-s}}$
• テンソル密度は、密度バンドルとテンソルバンドルのテンソル積のセクションです。

参考文献

• ベルリネ、ニコール。ゲツラー、エズラ。 Vergne、Michele (2004)、Heat Kernels and Dirac Operators、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-20062-8。
• フォランド、ジェラルド・B.（1999年）『実分析：現代技術とその応用』（第2版）、ISBN 978-0-471-31716-6最後のセクションでは密度について簡単に説明します。
• Nicolaescu, Liviu I. (1996), Lectures on the geometry of manifolds , River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-2836-1、MR  1435504
• Lee, John M (2003),滑らかな多様体入門、Springer-Verlag