微分（微分代数）

数学において、微分とは、代数上の関数であり、微分作用素の特定の特徴を一般化したものです。具体的には、環または体K上の代数Aが与えられたとき、K微分はライプニッツの法則を満たすK線型写像D  : A → Aです

${\displaystyle D(ab)=aD(b)+D(a)b.}$

より一般的には、MがA双加群である場合、ライプニッツの法則を満たすK線型写像D  : A → Mは微分とも呼ばれる。A からそれ自身へのすべてのK微分の総和はDer _K ( A )と表記される。A からA加群MへのK微分の総和はDer _K ( A , M )と表記される。

微分は数学の様々な分野において、様々な文脈で発生します。変数に関する偏微分は、 R ⁿ上の実数値微分可能関数の代数上のR微分です。ベクトル場に関するリー微分は、微分可能多様体上の微分可能関数の代数上のR微分です。より一般的には、多様体のテンソル代数上の微分です。したがって、リー代数の随伴表現はその代数上の微分です。ピンチャール微分は抽象代数における微分の一例です。代数Aが非可換である場合、代数Aの元に関する交換子は、 A自身への線型自己準同型を定義し、これはK上の微分です。つまり、

${\displaystyle [FG,N]=[F,N]G+F[G,N],}$

ここで はに関する交換子です。優れた微分dを備えた代数Aは微分代数を形成し、それ自体が微分ガロア理論などの分野における重要な研究対象です。 ${\displaystyle [\cdot ,N]}$ ${\displaystyle N}$

性質

AがK代数（ Kは環）であり、 D : A → AがK微分である場合、

• Aが単位元 1 を持つ場合、 D (1) = D (1 ² ) = 2 D (1) となり、D (1) = 0 となります。したがって、 K線型性により、すべてのk ∈ Kに対してD ( k ) = 0 となります。
• A が可換である場合、ライプニッツ則により、 D ( x ² ) = xD ( x ) + D ( x ) x = 2 xD ( x ) となり、D ( x ⁿ ) = nx ^{n −1} D ( x ) となります
• より一般的には、任意のx ₁ , x ₂ , …, x _n ∈ Aに対して、帰納法により 次の式が成り立つ。

  ${\displaystyle D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}}$

、すべてのiについて、D ( x _i )が と可換であれば、次の式が成り立ちます。${\textstyle \sum _{i}D(x_{i})\prod _{j\neq i}x_{j}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1}}$

• n > 1の場合、D ^{n は}微分ではなく、高階ライプニッツ則を満たします。

${\displaystyle D^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot D^{n-k}(u)\cdot D^{k}(v).}$

さらに、 MがA双加群である場合、

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)}$

AからMへのK微分全体の集合を と書きます。

• Der _K ( A、M )はK上の加群です。
• Der _K ( A ) は、交換子によって定義されるリー括弧を持つリー代数です

${\displaystyle [D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}.}$

2つの微分変換の交換子が再び微分変換であることが容易に検証されるからである。

• A加群Ω A _{/ K （}ケーラー微分と呼ばれる）とK微分d : A → Ω _{A / K}が存在し、これを通して任意の微分D : A → Mが因数分解される。つまり、任意の微分Dに対して、 A加群写像φが存在し、

${\displaystyle D:A{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{A/K}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}M}$

対応はA加群 の同型である。${\displaystyle D\leftrightarrow \varphi }$

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\simeq \operatorname {Hom} _{A}(\Omega _{A/K},M)}$

• k ⊂ Kが部分環である場合、Aはk代数構造を継承するため、包含が存在する。

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\subset \operatorname {Der} _{k}(A,M),}$

任意のK微分は、より強くk微分であるため。

次数付き微分

次数付き代数 Aと、 A上の次数| D |の同次線型写像Dが与えられたとき、Dが同次微分となるのは、

${\displaystyle {D(ab)=D(a)b+\varepsilon ^{|a||D|}aD(b)}}$

Aのすべての同次元aとすべての元bに対して、交換子因子ε = ±1 が成り立ちます。次数付き微分は、 同じεを持つ同次微分の和です

ε = 1の場合、この定義は通常の場合に帰着します。しかし、 ε = −1の場合、

${\displaystyle {D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a||D|}aD(b)}}$

奇数 | D | に対して、そしてDは反微分と 呼ばれます

反微分の例としては、微分形式に作用する外微分と内積が挙げられます。

超代数の次数付き微分（すなわち、Z ₂次代数）は、しばしば超微分と呼ばれます。

関連概念

ハッセ・シュミット微分はK代数準同型 です。

${\displaystyle A\to A[[t]].}$

さらに、形式的な冪級数を 係数に送る写像と合成すると、微分が得られます。 ${\displaystyle \sum a_{n}t^{n}}$ ${\displaystyle a_{1}}$

参照

• 微分幾何学において、微分は接ベクトルです。
• ケーラー微分
• ハッセ微分
• p微分
• ヴィルティンガー微分
• 指数写像の微分

参考文献

• ブルバキ、ニコラス(1989)、『代数 I、数学の要素』、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-64243-9.
• アイゼンバッド、デイヴィッド(1999)、『代数幾何学に向けた可換代数（第3版）』、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-94269-8.
• 松村英之 (1970)、『可換代数』、数学講義ノートシリーズ、WAベンジャミン、ISBN 978-0-8053-7025-6.
• イヴァン・コラーシュ、ヤン・スロヴァク、ピーター・W・ミコル (1993)、『微分幾何学における自然演算』、シュプリンガー・フェアラーク.