分布（数論）

代数学と数論において、超関数は有限集合のシステム上の関数であり、積分と類似のアーベル群に変換されます。したがって、超関数は一般化関数という意味での超関数の代数的な類似物です。

超関数の元々の例は、名前が付けられていないが、Q / Z上の関数φが^[1]を満たすものとして現れる。

${\displaystyle \sum _{r=0}^{N-1}\phi \left(x+{\frac {r}{N}}\right)=\phi (Nx)\ .}$

このような分布は通常の分布と呼ばれます。^[2]また、岩澤理論のp進積分理論 にも現れます。^[3]

... → X _{n +1} → X _n → ... を自然数で添え字付けされた全射を持つ有限集合の射影系とし、X をその射影極限とする。各X _{n に}離散位相を与え、X がコンパクトとなるようにする。φ = ( φ _n ) を、アーベル群Vに値を取り、射影系と両立する X _n上の関数の族とする。

${\displaystyle w(m,n)\sum _{y\mapsto x}\phi (y)=\phi (x)}$

ある重み関数 wに対して、族 φ は射影系X上の超関数となる。

X上の関数fは、 X _nを通して因数分解できる場合、「局所定数」あるいは「ステップ関数」と呼ばれます。ステップ関数のφに対する積分は次のように定義できます。

${\displaystyle \int f\,d\phi =\sum _{x\in X_{n}}f(x)\phi _{n}(x)\ .}$

この定義は、より一般的な射影系、例えば割り切れる順の正整数で添え字付けされた射影系にも拡張されます。重要な特殊例として、割り切れる順の正整数で添え字付けされた射影系Z / n ‌ Zを考えてみましょう。これは、極限Q / Zを持つ射影系 (1/ n ) Z / Zと同一視されます。

Rにおけるxについて、⟨ x ⟩を0 ≤ ⟨ x ⟩ < 1に正規化されたxの小数部とし、{ x }を0 < { x } ≤ 1に正規化された小数部とします。

例

ハーウィッツゼータ関数

フルヴィッツゼータ関数の乗法定理

${\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }(n+a)^{-s}}$

分布関係を与える

${\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa)\ .}$

したがって、与えられたsに対して、マップはQ / Z上の分布になります。 ${\displaystyle t\mapsto \zeta (s,\{t\})}$

ベルヌーイ分布

ベルヌーイ多項式 B _nは次のように定義される。

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose nk}b_{k}x^{nk}\ ,}$

n ≥ 0 の場合、b _kはベルヌーイ数であり、 生成関数は

${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\ .}$

これらは分配関係を満たす

${\displaystyle B_{k}(x)=n^{k-1}\sum _{a=0}^{n-1}b_{k}\left({\frac {x+a}{n}}\right)\ .}$

このように地図は

${\displaystyle \phi _{n}:{\frac {1}{n}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Q} }$

定義

${\displaystyle \phi _{n}:x\mapsto n^{k-1}B_{k}(\langle x\rangle )}$

分布である。^[4]

円分単位

円分単位は分配関係を満たす。aをQ / Zのpと素な元とし、g _aをexp(2πi a )−1と表記する。するとa ≠ 0に対して^[5]が成り立つ。

${\displaystyle \prod _{pb=a}g_{b}=g_{a}\ .}$

普遍的な配布

あるアーベル群V内の値を持つZ上の分布を考慮し、「普遍的な」または可能な限り最も一般的な分布を求めます。

スティッケルバーガー分布

h を体Fに値をとるQ / Z上の通常の超関数とする。G ( N )をZ / N ‌ Zの乗法群とし、 G ( N )上の任意の関数fに対して、 fをG ( N )から零とすることでf をZ / N ‌ Z上の関数に拡張する。群代数F [ G ( N )] の元を次のように定義する。

${\displaystyle g_{N}(r)={\frac {1}{|G(N)|}}\sum _{a\in G(N)}h\left({\left\langle {\frac {ra}{N}}\right\rangle }\right)\sigma _{a}^{-1}\ .}$

群代数は極限Xを持つ射影系を形成する。すると関数g _NはXに値を持つQ / Z上の超関数、すなわちhに関連するスティッケルベルガー超関数を形成する。

p進測度

X上の超関数 φ の値群VがQ _p上有限な局所体K、またはより一般的には K上の有限次元p進バナッハ空間Wで評価値 |·| を持つ特別な場合について考えます。|φ| がXのコンパクトな開部分集合上で有界であるとき、 φ を測度と呼びます。^[6] D をKの整数環とし、LをWの格子、つまりK ⊗ L = Wを満たすWの自由D部分加群と します。尺度を除けば、測度はLに値を持つとみなすことができます。

ヘッケ演算子と尺度

D をpと素な固定整数とし、系Z / p ⁿ Dの極限Z _Dを考える。ヘッケ作用素T ^pの任意の固有関数で_、固有値がpと素なλ _pであるものを考える。Z Dの測度を導出する手順を説明する。

pとDに素な整数Nを固定する。Fを、分母がNと互いに素である有理数上のすべての関数のD加群とする。N を割り切れない任意の素数 l に対して、ヘッケ作用素T lを_次のように 定義する。

${\displaystyle (T_{l}f)\left({\frac {a}{b}}\right)=f\left({\frac {la}{b}}\right)+\sum _{k=0}^{l-1}f\left({\frac {a+kb}{lb}}\right)-\sum _{k=0}^{l-1}f\left({\frac {k}{l}}\right)\ .}$

fをT _pの固有関数とし、固有値はDにおいてλ _pとする。二次方程式X ²  − λ _p X  +  p  = 0 は根 π ₁、 π ₂を持ち、 π ₁は単位元であり、 π _2はpで割り切れる。数列a ₀  = 2, a ₁ = π ₁ + π ₂ =  λ _pを定義し、

${\displaystyle a_{k+2}=\lambda _{p}a_{k+1}-pa_{k}\ ,}$

となることによって

${\displaystyle a_{k}=\pi _{1}^{k}+\pi _{2}^{k}\ .}$

参考文献

1. クバート＆ラング（1981）p.1
2. ラング（1990）p.53
3. マズール＆スウィナートン・ダイアー（1972）36ページ
4. ラング（1990）p.36
5. ラング（1990）p.157
6. マズール＆スウィナートン・ダイアー（1974）p.37

• ダニエル・S・クバート;ラング、セルジュ(1981)。モジュラーユニット。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften。 Vol. 244.シュプリンガー・フェルラーグISBN 0-387-90517-0. Zbl  0492.12002.
• ラング、セルジュ(1990).円分体 I および II .大学院数学テキスト. 第 121 巻 (第 2 版). Springer Verlag . ISBN 3-540-96671-4. Zbl  0704.11038。
• マズル、B. ;スウィナートン・ダイアー、P. (1974)。 「ヴェイユ曲線の算術」。数学の発明。25 : 1–61。土井:10.1007/BF01389997。Zbl  0281.14016。