割り切れる順序

数学において、割り切れる数列とは、正の整数nでインデックスされた整数列 であり、 ${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle {\text{もし }}m\mid n{\text{ ならば }}a_{m}\mid a_{n}}$

すべてのmと nに対して成り立つ 。つまり、ある添え字が別の添え字の倍数であるときはいつでも、対応する項もまた別の項の倍数である。この概念は、割り切れるという概念が定義されている任意の環に値を持つ数列に一般化できる。

強割り切れる数列とは、すべての正の整数mと nに対して 、 ${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle \gcd(a_{m},a_{n})=a_{\gcd(m,n)},}$

ここで、gcdは最大公約数関数です。

あらゆる強除数列は、のときのみ、 のとき...${\displaystyle \gcd(m,n)=m}$ ${\displaystyle m\mid n}$ ${\displaystyle \gcd(a_{m},a_{n})=a_{m}}$ ${\displaystyle a_{m}\mid a_{n}}$

例

第一種ルーカス列U _n ( P , Q )はいずれも整除列である。さらに、gcd( P , Q ) = 1のとき、強整除列となる。具体的な例としては以下が挙げられる。

• 任意の定数列⁠ ⁠${\displaystyle a_{n}=k}$ は強割り切れる列であり、n ≥ 1に対してkU _n (1, 0)となる。
• ⁠ ⁠${\displaystyle a_{n}=kn}$ の形で表される数列は、任意の非零整数kに対して、割り切れる数列である。これはkU _n (2, 1)に等しい。
• フィボナッチ数 F _{n は}、 U _n (1, −1)という強い割り切れる数列を形成します。
• メルセンヌ数は U _n (3, 2)という強い割り切れる数列を形成します。${\displaystyle a_{n}=2^{n}-1}$
• 反復単位数R^（b）
  _nn = 1, 2, ...の場合、任意の基数bでは、強割り切れる数列、つまりU _n ( b + 1, b )が形成されます。
• 整数の形の列は、 ( A − B ) U _n ( A + B , AB )で示される割り切れる列である。もしと が互いに素であれば、これは強い割り切れる列である。${\displaystyle a_{n}=A^{n}-B^{n}}$ ${\displaystyle A>B>0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

楕円の割り切れるシーケンスは、割り切れるシーケンスの別のクラスです。

参考文献

• エベレスト、グラハム。ファン・デル・ポールテン、アルフ。シュパルリンスキー、イーゴリ。ウォード、トーマス (2003)。反復シーケンス。アメリカ数学協会。ISBN 978-0-8218-3387-2。
• ホール、マーシャル (1936). 「三次の割り切れる数列」. Am. J. Math . 58 (3): 577– 584. doi :10.2307/2370976. JSTOR  2370976.
• Ward, Morgan (1939). 「割り切れる数列に関するノート」. Bull. Amer. Math. Soc . 45 (4): 334– 336. doi : 10.1090/s0002-9904-1939-06980-2 .
• Hoggatt, Jr., VE; Long, CT (1973). 「一般化フィボナッチ多項式の割り切れる性質」(PDF) . Fibonacci Quarterly : 113.
• Bézivin, J.-P.; Pethö, A.; van der Porten, AJ (1990). 「割り切れる数列の完全な特徴付け」Am. J. Math . 112 (6): 985– 1001. doi :10.2307/2374733. JSTOR  2374733.
• P. Ingram、JH Silverman (2012)、「楕円型除算列における原始因子」、Dorian Goldfeld、Jay Jorgenson、Peter Jones、Dinakar Ramakrishnan、Kenneth A. Ribet、John Tate (編)、 『数論、解析学、幾何学。セルジュ・ラング追悼』、Springer、pp.  243– 271、ISBN 978-1-4614-1259-5