動的リスク測定

金融数学において、条件付きリスク測度とは、将来のある時点で測定されたかのように捉えられる金融リスク（特に下振れリスク）の確率変数である。リスク測度は、自明なシグマ代数上の条件付きリスク測度と考えることができる。

動的リスク指標とは、異なる時点におけるリスク評価がどのように関連しているかという問題を扱うリスク指標である。これは、条件付きリスク指標の連続として解釈することができる。[1]

動的リスク測定に対する異なるアプローチがノヴァックによって提案されている。[2]

条件付きリスク測定

ある最終時点におけるポートフォリオの リターンを、一様有界な確率変数、すなわちポートフォリオのペイオフを表すものとして考える。マッピングは、ランダムなポートフォリオリターンに対して以下の特性を持つ場合、条件付きリスク尺度である：[3] [4] T {\displaystyle T} X ∈ L ∞ ( F T ) {\displaystyle X\in L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{T}\right)} ρ t : L ∞ ( F T ) → L t ∞ = L ∞ ( F t ) {\displaystyle \rho _{t}:L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{T}\right)\rightarrow L_{t}^{\infty }=L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{t}\right)} X , Y ∈ L ∞ ( F T ) {\displaystyle X,Y\in L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{T}\right)}

条件付き現金不変性
∀ m t ∈ L t ∞ : ρ t ( X + m t ) = ρ t ( X ) − m t {\displaystyle \forall m_{t}\in L_{t}^{\infty }:\;\rho _{t}(X+m_{t})=\rho _{t}(X)-m_{t}} [説明が必要]
単調性
I f X ≤ Y t h e n ρ t ( X ) ≥ ρ t ( Y ) {\displaystyle \mathrm {If} \;X\leq Y\;\mathrm {then} \;\rho _{t}(X)\geq \rho _{t}(Y)} [説明が必要]
正規化
ρ t ( 0 ) = 0 {\displaystyle \rho _{t}(0)=0} [説明が必要]

条件付き凸リスク尺度である場合は、次の特性も持ちます。

条件付き凸性
∀ λ ∈ L t ∞ , 0 ≤ λ ≤ 1 : ρ t ( λ X + ( 1 − λ ) Y ) ≤ λ ρ t ( X ) + ( 1 − λ ) ρ t ( Y ) {\displaystyle \forall \lambda \in L_{t}^{\infty },0\leq \lambda \leq 1:\rho _{t}(\lambda X+(1-\lambda )Y)\leq \lambda \rho _{t}(X)+(1-\lambda )\rho _{t}(Y)} [説明が必要]

条件付きコヒーレントリスク尺度は、さらに以下を満たす条件付き凸型リスク尺度です。

条件付き正の同質性
∀ λ ∈ L t ∞ , λ ≥ 0 : ρ t ( λ X ) = λ ρ t ( X ) {\displaystyle \forall \lambda \in L_{t}^{\infty },\lambda \geq 0:\rho _{t}(\lambda X)=\lambda \rho _{t}(X)} [説明が必要]

受け入れセット

条件付きリスク尺度に関連付けられた 時点における受容セットは t {\displaystyle t}

A t = { X ∈ L T ∞ : ρ t ( X ) ≤ 0  a.s. } {\displaystyle A_{t}=\{X\in L_{T}^{\infty }:\rho _{t}(X)\leq 0{\text{ a.s.}}\}} 。

時刻における受容集合が与えられた場合、対応する条件付きリスク尺度は t {\displaystyle t}

ρ t = ess inf { Y ∈ L t ∞ : X + Y ∈ A t } {\displaystyle \rho _{t}={\text{ess}}\inf\{Y\in L_{t}^{\infty }:X+Y\in A_{t}\}}

ここでは本質的な最小値である。[5] ess inf {\displaystyle {\text{ess}}\inf }

通常のプロパティ

条件付きリスク尺度は、任意の に対して が であり、が上の指示関数であるとき、正規であると言われる。任意の正規化された条件付き凸リスク尺度は正規である。[3] ρ t {\displaystyle \rho _{t}} X ∈ L T ∞ {\displaystyle X\in L_{T}^{\infty }} A ∈ F t {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{t}} ρ t ( 1 A X ) = 1 A ρ t ( X ) {\displaystyle \rho _{t}(1_{A}X)=1_{A}\rho _{t}(X)} 1 A {\displaystyle 1_{A}} A {\displaystyle A}

これを金融的に解釈すると、ある将来のノード（すなわち）における条件付きリスクは、そのノードから起こり得る状態のみに依存するとされます。二項モデルでは、これは問題の点から分岐するサブツリー上のリスクを計算することに似ています。 ρ t ( X ) [ ω ] {\displaystyle \rho _{t}(X)[\omega ]}

時間一貫性特性

動的リスク尺度が時間的に一貫しているのは、次の場合のみである。[6] ρ t + 1 ( X ) ≤ ρ t + 1 ( Y ) ⇒ ρ t ( X ) ≤ ρ t ( Y ) ∀ X , Y ∈ L 0 ( F T ) {\displaystyle \rho _{t+1}(X)\leq \rho _{t+1}(Y)\Rightarrow \rho _{t}(X)\leq \rho _{t}(Y)\;\forall X,Y\in L^{0}({\mathcal {F}}_{T})}

例: 動的スーパーヘッジ価格

動的スーパーヘッジ価格には、 という形式の条件付きリスク尺度が含まれる 。これは時間的に一貫性のあるリスク尺度であることが示される。 ρ t ( − X ) = * ⁡ e s s sup Q ∈ E M M E Q [ X | F t ] {\displaystyle \rho _{t}(-X)=\operatorname {*} {ess\sup }_{Q\in EMM}\mathbb {E} ^{Q}[X|{\mathcal {F}}_{t}]}

参考文献

  1. ^ Acciaio, Beatrice; Penner, Irina (2011). 「動的リスク測定」(PDF) . Advanced Mathematical Methods for Finance : 1– 34. 2011年9月2日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2010年7月22日閲覧。
  2. ^ Novak, SY (2015).金融リスクの尺度について. pp.  541– 549. ISBN 978-849844-4964。 {{cite book}}:|journal=無視されました (ヘルプ)
  3. ^ ab Detlefsen, K.; Scandolo, G. (2005). 「条件付きおよび動的凸型リスク尺度」. Finance and Stochastics . 9 (4): 539– 561. CiteSeerX 10.1.1.453.4944 . doi :10.1007/s00780-005-0159-6. S2CID  10579202. 
  4. ^ Föllmer, Hans; Penner, Irina (2006). 「凸型リスク尺度とそのペナルティ関数のダイナミクス」. Statistics & Decisions . 24 (1): 61– 96. CiteSeerX 10.1.1.604.2774 . doi :10.1524/stnd.2006.24.1.61. S2CID  54734936. 
  5. ^ イリーナ・ペナー (2007). 「動的凸型リスク尺度：時間一貫性、慎重さ、持続可能性」(PDF) . 2011年7月19日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2011年2月3日閲覧。 {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=（ヘルプ）が必要です
  6. ^ チェリディート, パトリック; スタジェ, ミジャ (2009). 「VaRの時間的不整合と時間的に整合した代替手法」.ファイナンス・リサーチ・レターズ. 6 (1): 40– 46. doi :10.1016/j.frl.2008.10.002.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Dynamic_risk_measure&oldid=1103467991"