ゼータ関数の普遍性
Zeta-like functions approximate arbitrary holomorphic functions
ストリップ上で定義された任意の非ゼロ正則関数f は、 ζ 関数によって近似できます。

数学において、ゼータ関数の普遍性とは、リーマンゼータ関数とその他の類似の関数（ディリクレの L 関数など）が、任意のゼロでない正則関数を任意によく近似できるという優れた能力のことです。

リーマンゼータ関数の普遍性は1975年にセルゲイ・ミハイロヴィッチ・ボロニンによって初めて証明され[1] 、ボロニンの普遍性定理と呼ばれることもあります。

ストリップ上のリーマンゼータ関数は1/2 < Re( s ) < 1; 103 < Im( s ) < 109です。

正式な声明

リーマンゼータ関数ζ ( s )の普遍性について数学的に正確な記述は次の通りである。

Uをストリップの コンパクト 部分集合とする

{   s ∈ C :   1   2 < R e ⁡ ( s ) < 1   } {\displaystyle \left\{\ s\in \mathbb {C} :{\frac {\ 1\ }{2}}<\operatorname {\mathrm {Re} } (s)<1\ \right\}}

Uの補集合が連結であるような関数f  : U → ℂをU上の連続関数とし、これはUの内部で正則であり、 Uには零点を持たないものとする。すると、任意 のε > 0に対して、t ≥ 0が存在し、

すべての に対して さらに：上記の不等式を満たす値の集合tの下側密度は正です。より正確には、 は実数上のルベーグ測度であり、は下側の極限です。 s ∈ U . {\displaystyle s\in U.} 0   <   lim inf T → ∞   1   T     λ ( {   t ∈ [ 0 , T ] : max s ∈ U |   ζ ( s + i t ) − f ( s )   | < ε   } ) , {\displaystyle 0~<~\liminf _{T\to \infty }~{\frac {1}{\ T\ }}\ \lambda \!\left(\left\{\ t\in [0,T]\;:\;\max _{s\in U}{\Bigl |}\ \zeta (s+it)-f(s)\ {\Bigr |}<\varepsilon \ \right\}\right),} λ {\displaystyle \lambda } lim inf {\displaystyle \liminf }

議論

Uの補集合が連結されるという条件は、本質的に、 U にホールが含まれていないことを意味します。

最初のステートメントの直感的な意味は次のとおりです。U を垂直方向 にいくらか変位させて移動させることで、 U上の関数f を、変位したUのコピー上のゼータ関数でε の精度で近似することが可能です。

関数fは、 U上で零点を持つことはできません。これは重要な制約です。孤立した零点を持つ正則関数から始めると、「近くの」正則関数も零点を持つことになります。リーマン予想によれば、リーマンゼータ関数は検討対象のストリップ上に零点を持たないため、そのような関数を近似することはできません。U上で恒等的に零点となる関数f ( s ) = 0は、 ζで近似できます。まず、「近くの」関数g ( s ) = ε /2 (これは正則で零点を持たない) を選び、 ζ がgを精度ε /2 で近似し、したがってfを精度εで近似するような垂直変位を見つけます。

添付の図は、関連するストリップの代表的な部分におけるゼータ関数を示しています。点sの色は、値ζ ( s ) を次のように符号化します。色相はζ ( s ) の偏角を表し、赤は正の実数値を示し、反時計回りに黄色、緑青、青、紫と続きます。濃い色は0に近い値（黒 = 0）を示し、薄い色は0から遠い値（白 = ∞）を示します。図には、ゼータ関数の3つの零点、約1/2 + 103.7 i、1/2 + 105.5 i、および1/2 + 107.2 iが示されています。ボロニンの定理は、基本的に、このストリップには黒または白を使用しないすべての可能な「解析的」カラーパターンが含まれていることを示しています。

低密度に関する記述の大まかな意味は次のとおりです。関数fとε > 0が与えられた場合、ランダムに選択された垂直変位itによって精度εのfの近似値が得られる確率が高くなります。

Uの内部は空であってもよく、その場合fが正則である必要はない。例えば、U を線分とすると、連続関数f  : U → C は複素平面上の曲線となり、ゼータ関数は、対象とする帯状領域上であらゆる可能な曲線（つまり、鉛筆を持ち上げずに描けるあらゆる図形）を任意の精度で符号化することがわかる。

述べられている定理は、帯状領域に含まれる領域Uにのみ適用されます。しかし、並進移動とスケーリングを許容すれば、他の領域で定義されるすべての非零正則関数の近似バージョンがゼータ関数にエンコードされていることも分かります。特に、ゼータ関数自体が正則であるため、異なるスケールにおける自身のバージョンがゼータ関数内にエンコードされており、これはフラクタルの特徴です。[2]

この定理の驚くべき性質は、次のように要約できます。リーマンゼータ関数には「すべての可能な動作」が含まれており、したがってある意味では「混沌」していますが、定義が簡単な完全に滑らかな解析関数です。

証明スケッチ

(Voronin and Karatsuba, 1992) [3]で示された証明の概要は以下の通りである。Uが3/4 を中心とする円板 である場合のみを考える。

U = { s ∈ C : | s − 3 / 4 | < r } with 0 < r < 1 / 4 {\displaystyle U=\{s\in \mathbb {C} :|s-3/4|<r\}\quad {\mbox{with}}\quad 0<r<1/4}

そして、 U上で定義されたすべての非ゼロの正則関数は、この集合の垂直方向の変換上の ζ関数によって近似できると主張します。

対数に移ると、すべての正則関数g  : U → Cとすべてのε >0に対して、次のようになる 実数tが存在することを示すだけで十分である。

| ln ⁡ ζ ( s + i t ) − g ( s ) | < ε for all s ∈ U . {\displaystyle \left|\ln \zeta (s+it)-g(s)\right|<\varepsilon \quad {\text{for all}}\quad s\in U.}

まず、 ζ関数のオイラー積を彷彿とさせる有限積の対数でg ( s )を近似します。

ζ ( s ) = ∏ p ∈ P ( 1 − 1 p s ) − 1 , {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1},}

ここで、 はすべての素数の集合を表します。 P {\displaystyle \mathbb {P} }

が素数pごとに1つずつの実数列で、Mが素数の 有限集合である場合、 θ = ( θ p ) p ∈ P {\displaystyle \theta =(\theta _{p})_{p\in \mathbb {P} }}

ζ M ( s , θ ) = ∏ p ∈ M ( 1 − e − 2 π i θ p p s ) − 1 . {\displaystyle \zeta _{M}(s,\theta )=\prod _{p\in M}\left(1-{\frac {e^{-2\pi i\theta _{p}}}{p^{s}}}\right)^{-1}.}

具体的な順序について検討する

θ ^ = ( 1 4 , 2 4 , 3 4 , 4 4 , 5 4 , … ) {\displaystyle {\hat {\theta }}=\left({\frac {1}{4}},{\frac {2}{4}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{4}},{\frac {5}{4}},\ldots \right)}

g ( s ) は適切な素数集合Mに対しての形をした関数で近似できると主張する。この主張の証明には、(Voronin and Karatsuba, 1992) [3]で誤ってハーディ空間と名付けられたベルクマン空間を用いる。これはU上に定義された正則関数のH、つまりヒルベルト空間である。 ln ⁡ ( ζ M ( s , θ ^ ) ) {\displaystyle \ln(\zeta _{M}(s,{\hat {\theta }}))}

u k ( s ) = ln ⁡ ( 1 − e − π i k / 2 p k s ) {\displaystyle u_{k}(s)=\ln \left(1-{\frac {e^{-\pi ik/2}}{p_{k}^{s}}}\right)}

ここでp k はk番目の素数を表す。すると、級数

∑ k = 1 ∞ u k {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }u_{k}}

はHにおいて条件付き収束する。つまり、Hの任意の元vに対して、 Hにおいてvに収束する級数の並べ替えが存在する。この議論では、リーマン級数定理をヒルベルト空間の設定に一般化した定理を用いる。Hにおけるノルムと関数の絶対値の最大値との間に関係があるため、必要に応じて、この並べ替えられた級数の最初の部分列を用いて、与えられた関数g ( s ) を近似することができる。

クロネッカーの定理 を実数（有理数に対して線形独立）に適用することで、がで近似されるtの実数値を求めることができます。さらに、これらの値tのいくつかについては、が に近似し、これで証明は完了です。 ln ⁡ 2 2 π , ln ⁡ 3 2 π , ln ⁡ 5 2 π , … , ln ⁡ p N 2 π {\displaystyle {\frac {\ln 2}{2\pi }},{\frac {\ln 3}{2\pi }},{\frac {\ln 5}{2\pi }},\ldots ,{\frac {\ln p_{N}}{2\pi }}} ln ⁡ ( ζ M ( s , θ ^ ) ) {\displaystyle \ln(\zeta _{M}(s,{\hat {\theta }}))} ln ⁡ ( ζ M ( s + i t , 0 ) ) {\displaystyle \ln(\zeta _{M}(s+it,0))} ln ⁡ ( ζ M ( s + i t , 0 ) ) {\displaystyle \ln(\zeta _{M}(s+it,0))} ln ⁡ ( ζ ( s + i t ) ) {\displaystyle \ln(\zeta (s+it))}

この定理は、ティッチマーシュによる1951年のモノグラフ第2版[4]（ティッチマーシュとヒースブラウン、1986年）の§11.11に証明なしで述べられている。より弱い結果は、Thm. 11.9に示されている。そこではボロニンの定理は証明されていないが、そこから2つの系が導かれる。

  1. を固定すると、曲線は 1 2 < σ < 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}<\sigma <1} γ ( t ) = ( ζ ( σ + i t ) , ζ ′ ( σ + i t ) , … , ζ ( n − 1 ) ( σ + i t ) ) {\displaystyle \gamma (t)=(\zeta (\sigma +it),\zeta '(\sigma +it),\dots ,\zeta ^{(n-1)}(\sigma +it))} C n . {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}
  2. を任意の連続関数とし、を実定数とします。すると、が等価的に零にならない限り、微分差分方程式を満たすことができません。 Φ {\displaystyle \Phi } h 1 , h 2 , … , h n {\displaystyle h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}} ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} Φ { ζ ( s + h 1 ) , ζ ′ ( s + h 1 ) , … , ζ ( n 1 ) ( s + h 1 ) , ζ ( s + h 2 ) , ζ ′ ( s + h 2 ) , … , ζ ( n 2 ) ( s + h 2 ) , … } = 0 {\displaystyle \Phi \{\zeta (s+h_{1}),\zeta '(s+h_{1}),\dots ,\zeta ^{(n_{1})}(s+h_{1}),\zeta (s+h_{2}),\zeta '(s+h_{2}),\dots ,\zeta ^{(n_{2})}(s+h_{2}),\dots \}=0} Φ {\displaystyle \Phi }

効果的な普遍性

近年の[いつ？ ]研究では、有効普遍性に焦点が当てられています。本稿の冒頭で述べた条件下では、不等式(1)を満たすtの値が存在する。有効普遍性定理は、そのようなtの最小値に上限を課します。

例えば、2003 年に Garunkštis は、が で解析的である場合、 の任意の ε に対して、となる数が存在し、となることを証明しました。たとえば、 の場合、の境界は です。 f ( s ) {\displaystyle f(s)} | s | ≤ .05 {\displaystyle |s|\leq .05} max | s | ≤ .05 | f ( s ) | ≤ 1 {\displaystyle \max _{\left|s\right|\leq .05}\left|f(s)\right|\leq 1} 0 < ϵ < 1 / 2 {\displaystyle 0<\epsilon <1/2} t {\displaystyle t} 0 ≤ t ≤ exp ⁡ ( exp ⁡ ( 10 / ϵ 13 ) ) {\displaystyle 0\leq t\leq \exp({\exp({10/\epsilon ^{13}})})} max | s | ≤ .0001 | log ⁡ ζ ( s + 3 4 + i t ) − f ( s ) | < ϵ . {\displaystyle \max _{\left|s\right|\leq .0001}\left|\log \zeta (s+{\frac {3}{4}}+it)-f(s)\right|<\epsilon .} ϵ = 1 / 10 {\displaystyle \epsilon =1/10} t ≤ exp ⁡ ( exp ⁡ ( 10 / ϵ 13 ) ) = exp ⁡ ( exp ⁡ ( 10 14 ) ) {\displaystyle t\leq \exp({\exp({10/\epsilon ^{13}})})=\exp({\exp({10^{14}})})}

これらのt値の尺度についてはεを用いて境界値を求めることもできる。例えば、 の場合、右辺は となる。[5]を参照: 210  lim inf T → ∞ 1 T λ ( { t ∈ [ 0 , T ] : max | s | ≤ .0001 | log ⁡ ζ ( s + 3 4 + i t ) − f ( s ) | < ϵ } ) ≥ 1 exp ⁡ ( ϵ − 13 ) . {\displaystyle \liminf _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\,\lambda \!\left(\left\{t\in [0,T]:\max _{\left|s\right|\leq .0001}\left|\log \zeta (s+{\frac {3}{4}}+it)-f(s)\right|<\epsilon \right\}\right)\geq {\frac {1}{\exp({\epsilon ^{-13}})}}.} ϵ = 1 / 10 {\displaystyle \epsilon =1/10} 1 / exp ⁡ ( 10 13 ) {\displaystyle 1/\exp({10^{13}})}

他のゼータ関数の普遍性

普遍性がセルバーグゼータ関数にも拡張されることを示す研究がなされている。[6]

ディリクレL関数は普遍性だけでなく、ある種の共同普遍性も示しており、任意の関数の集合を異なるL関数の同じt値で近似することができます。この場合、近似する各関数は異なるL関数とペアになっています。[7] [8] ：第4節 

レルヒゼータ関数 についても、少なくともパラメータαが超越数である場合には、同様の普遍性を持つことが示されている。[8] ：第5節 レルヒゼータ関数のセクションもまた、ある種の結合普遍性を持つことが示されている。[8] ：第6節  L ( λ , α , s ) {\displaystyle L(\lambda ,\alpha ,s)}

参考文献

  1. ^ Voronin, SM (1975)「リーマンゼータ関数の普遍性に関する定理」Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matem. 39 pp.475-486. Math. USSR Izv. 9, 443-445, 1975に再録
  2. ^ Woon, SC (1994-06-11). 「リーマンゼータ関数はフラクタルである」. arXiv : chao-dyn/9406003 .
  3. ^ ab からつば、AA ;ボロニン、SM (1992 年 7 月)。リーマンのゼータ関数。ウォルター・デ・グルイテル。 p. 396.ISBN​ 3-11-013170-6。
  4. ^ ティッチマーシュ, エドワード・チャールズ; ヒース＝ブラウン, デイヴィッド・ロドニー ("ロジャー") (1986). 『リーマン・ゼータ関数の理論』（第2版）. オックスフォード: オックスフォード大学出版局, pp.  308– 309. ISBN 0-19-853369-1。
  5. ^ ラムナス・ガルンクシュティス;アンタナス・ラウリンチカス。松本光司;ヨルン・シュトイディング;ラサ・シュトイディング (2010)。 「リーマンゼータ関数による効果的な一様近似」。出版物 マテマティーク。54 (1): 209–219。土井:10.5565/publmat_54110_12。JSTOR  43736941。
  6. ^ パリウス・ドゥルンギラス;ラムナス・ガルンクシュティス。アウドリウス・カチナス (2013)。 「モジュラー群に対するセルバーグのゼータ関数の普遍性」。フォーラム数学。25 (3)。土井：10.1515/form.2011.127。ISSN  1435-5337。S2CID  54965707。
  7. ^ B.バグキ (1982)。 「ディリクレの L 関数の普遍性定理」。数学的ツァイシュリフト。181 (3): 319–334。土井:10.1007/BF01161980。S2CID  120930513。
  8. ^ abc 松本浩二 (2013). 「ゼータ関数とL関数の普遍性理論に関する概説」.高波形を耕し、スターリングする. 第7回日中セミナー議事録. 第7回日中数論セミナー. 第11巻. 福岡市: World Scientific. pp.  95– 144. arXiv : 1407.4216 . Bibcode :2014arXiv1407.4216M. ISBN 978-981-4644-92-1。

さらに読む

  • カラツバ、アナトリー A.ボロニン、SM (2011)。リーマンのゼータ関数。デ・グリュイテルの数学における説明。ベルリン：デ・グルイテル。ISBN 978-3110131703。
  • ローリンチカス、アンタナス (1996).リーマンゼータ関数の極限定理. 数学とその応用. 第352巻. ベルリン: シュプリンガー. doi :10.1007/978-94-017-2091-5. ISBN 978-90-481-4647-5。
  • シュトゥディング、イェルン (2007). L関数の値分布. 数学講義ノート. 第1877巻. ベルリン: シュプリンガー. p. 19. arXiv : 1711.06671 . doi :10.1007/978-3-540-44822-8. ISBN 978-3-540-26526-9。
  • ティッチマーシュ、エドワード・チャールズ、ヒース＝ブラウン、デイヴィッド・ロドニー（「ロジャー」）（1986年）『リーマン・ゼータ関数の理論』（第2版）オックスフォード：オックスフォード大学出版局ISBN 0-19-853369-1。
  • ボロニンの普遍性定理[永久リンク切れ]、マシュー・R・ワトキンス著
  • ゼータ関数のX線 ゼータが実数か虚数かを視覚的に調べます。臨界帯におけるゼータ関数の複雑さをある程度示します。
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