楕円有理関数

判別係数ξ=1.1 における、1、2、3、4次のxが-1から1までの範囲にある楕円有理関数のプロット。すべて-1から1までの範囲にあり、x=1ではすべて1の値を持ちます。

数学において、楕円有理関数は実係数を持つ有理関数の列です。楕円有理関数は、楕円電子フィルタの設計において広く用いられています。（これらの関数はチェビシェフ有理関数と呼ばれることもありますが、同名の他の関数と混同しないように注意してください。）

有理楕円関数は正の整数nの位数で識別され、選択係数と呼ばれるパラメータξ≥1を含む。選択係数ξを持つxのn次の有理楕円関数は、一般に次のように定義される。

${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)\equiv \mathrm {cd} \left(n{\frac {K(1/L_{n}(\xi ))}{K(1/\xi )}}\,\mathrm {cd} ^{-1}(x,1/\xi ),1/L_{n}(\xi )\right)}$

どこ

• cd(u,k)はヤコビの楕円余弦関数です。
• K() は第 1 種の完全楕円積分です。
• ${\displaystyle L_{n}(\xi )=R_{n}(\xi ,\xi )}$ は識別係数であり、のの大きさの最小値に等しくなります。${\displaystyle R_{n}(\xi,x)}$ ${\displaystyle |x|\geq \xi }$

多くの場合、特にn  = 2 ^a 3 ^b（aとbは整数）の順序においては、楕円有理関数は代数関数のみを用いて表現できます。楕円有理関数はチェビシェフ多項式と密接な関係があります。円三角関数がヤコビ楕円関数の特殊ケースであるように、チェビシェフ多項式は楕円有理関数の特殊ケースです。

多項式の比としての表現

偶数次の場合、楕円有理関数は、どちらもn次である 2 つの多項式の比として表すことができます。

${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)=r_{0}\,{\frac {\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}{\prod _{i=1}^{n}(x-x_{pi})}}}$      （nが偶数の場合）

ここで、 は零点、は極、 はとなるように選ばれた正規化定数です。上記の形式は偶数次数でも成り立ちますが、奇数次数ではx=∞に極、x=0に零点が存在するため、上記の形式は次のように修正する必要があります。 ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{pi}}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle R_{n}(\xi,1)=1}$

${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)=r_{0}\,x\,{\frac {\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{i})}{\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{pi})}}}$      （nが奇数の場合）

プロパティ

ξ=1.4の3階楕円有理関数の絶対値のプロット。x =0に零点、無限遠に極がある。関数は反対称であるため、零点と極がそれぞれ3つずつ存在することがわかる。零点と極の間では関数の値は1まで上昇し、極と零点の間では判別係数L _{nの値まで低下する。}

ξ=1.4の4階楕円有理関数の絶対値のプロット。関数は対称なので、4つの零点と4つの極があることがわかる。零点の間では関数の値は1まで上昇し、極の間では関数の値は判別係数L _{nまで低下する。}

選択係数ξの影響を示すグラフ。4次の楕円有理関数が、ξの値がほぼ1から無限大まで変化して示されている。ξ=∞に対応する黒い曲線は、 4次のチェビシェフ多項式である。選択係数が1に近づくほど、x=1とx=ξの間の遷移領域における傾きは急になる。

標準的な性質

• ${\displaystyle R_{n}^{2}(\xi,x)\leq 1}$ のために${\displaystyle |x|\leq 1\,}$
• ${\displaystyle R_{n}^{2}(\xi,x)=1}$ で${\displaystyle |x|=1\,}$
• ${\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,-x)=R_{n}^{2}(\xi ,x)}$
• ${\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x)>1}$ のために${\displaystyle x>1\,}$
• x=1の傾きは可能な限り大きい
• x = 1 における傾きは、同じ次数のチェビシェフ多項式の対応する傾きよりも大きくなります。

上記の性質を満たす唯一の有理関数は楕円有理関数である (Lutovac, Tošić & Evans 2001, § 13.2)。以下の性質が導かれる。

正規化

楕円有理関数はx=1で1に正規化されます。

${\displaystyle R_{n}(\xi ,1)=1\,}$

ネストプロパティ

ネストプロパティは次のように記述されます。

${\displaystyle R_{m}(R_{n}(\xi ,\xi ),R_{n}(\xi ,x))=R_{m\cdot n}(\xi ,x)\,}$

これは非常に重要な特性です:

• がすべての素数nに対して既知である場合、ネスト性はすべてのnに対して成立する。特に、とはヤコビ楕円関数を明示的に用いなくても閉じた形で表現できるため、の形のnに対してはすべて閉じた形で表現できる。${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R_{3}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n=2^{a}3^{b}}$
• したがって、素数nの零点が分かれば、すべての零点を求めることができます。反転関係（下記参照）を用いることで、極も求めることができます。${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{n}}$
• ネスト特性は識別因子のネスト特性を意味します。

${\displaystyle L_{m\cdot n}(\xi )=L_{m}(L_{n}(\xi ))}$

制限値

楕円有理関数は、第一種チェビシェフ多項式と次の関係があります。 ${\displaystyle T_{n}(x)}$

${\displaystyle \lim _{\xi =\rightarrow \,\infty }R_{n}(\xi ,x)=T_{n}(x)\,}$

対称

${\displaystyle R_{n}(\xi ,-x)=R_{n}(\xi ,x)\,}$ nが偶数の場合

${\displaystyle R_{n}(\xi ,-x)=-R_{n}(\xi ,x)\,}$ nが奇数の場合

等波

${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)}$ は区間 においてのリップルが等しい。反転関係（下記参照）より、 は区間において のリップルが等しいことがわかる。 ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ ${\displaystyle 1/R_{n}(\xi ,x)}$ ${\displaystyle -1/\xi \leq x\leq 1/\xi }$ ${\displaystyle \pm 1/L_{n}(\xi )}$

反転関係

次の反転関係が成り立ちます。

${\displaystyle R_{n}(\xi ,\xi /x)={\frac {R_{n}(\xi ,\xi )}{R_{n}(\xi ,x)}}\,}$

これは、極と零点がペアになっていることを意味しており、

${\displaystyle x_{pi}x_{zi}=\xi \,}$

奇数次関数はx=0に零点を持ち、対応する極は無限大にあります。

極と零点

n次の楕円有理関数の零点は、が暗黙的に分かっている場合は と表記されます。楕円有理関数の零点は、関数の分子の多項式の零点となります。 ${\displaystyle x_{ni}(\xi )}$ ${\displaystyle x_{ni}}$ ${\displaystyle \xi }$

楕円有理関数の零点の以下の導出は、チェビシェフ多項式の零点の決定（Lutovac, Tošić & Evans 2001, § 12.6）と類似している。任意のzに対して

${\displaystyle \mathrm {cd} \left((2m-1)K\left(1/z\right),{\frac {1}{z}}\right)=0\,}$

楕円有理関数の定義式は、

${\displaystyle n{\frac {K(1/L_{n})}{K(1/\xi )}}\mathrm {cd} ^{-1}(x_{m},1/\xi )=(2m-1)K(1/L_{n})}$

ゼロは次のように与えられる。

${\displaystyle x_{m}=\mathrm {cd} \left(K(1/\xi )\,{\frac {2m-1}{n}},{\frac {1}{\xi }}\right).}$

反転関係を使用して、極を計算することができます。

入れ子構造の性質から、との零点が代数的に表現できる場合（つまり、ヤコビの楕円関数を計算する必要がない場合）、 の零点も代数的に表現できます。特に、 の位数楕円有理関数の零点は代数的に表現できます（Lutovac, Tošić & Evans 2001, § 12.9, 13.9）。例えば、 の零点は次のように定義できます。 ${\displaystyle R_{m}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{m\cdot n}}$ ${\displaystyle 2^{i}3^{j}}$ ${\displaystyle R_{8}(\xi ,x)}$

${\displaystyle X_{n}\equiv R_{n}(\xi ,x)\qquad L_{n}\equiv R_{n}(\xi ,\xi )\qquad t_{n}\equiv {\sqrt {1-1/L_{n}^{2}}}.}$

そして、ネストプロパティとそれを知ることで

${\displaystyle R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}}$

ここで、 ${\displaystyle t\equiv {\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}}$

${\displaystyle L_{2}={\frac {1+t}{1-t}},\qquad L_{4}={\frac {1+t_{2}}{1-t_{2}}},\qquad L_{8}={\frac {1+t_{4}}{1-t_{4}}}}$

${\displaystyle X_{2}={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}},\qquad X_{4}={\frac {(t_{2}+1)X_{2}^{2}-1}{(t_{2}-1)X_{2}^{2}+1}},\qquad X_{8}={\frac {(t_{4}+1)X_{4}^{2}-1}{(t_{4}-1)X_{4}^{2}+1}}.}$

最後の 3 つの方程式は逆転できます。

${\displaystyle x={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t\,\left({\frac {1-X_{2}}{1+X_{2}}}\right)}}}},\qquad X_{2}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{2}\,\left({\frac {1-X_{4}}{1+X_{4}}}\right)}}}},\qquad X_{4}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{4}\,\left({\frac {1-X_{8}}{1+X_{8}}}\right)}}}}.\qquad }$

3 番目の方程式で設定したの零点を計算するには、 の 2 つの値を計算し、次に のこれらの値を2 番目の方程式で使用して の 4 つの値を計算し、最後にこれらの値を最初の方程式で使用して の 8 つの零点を計算します。( は同様の再帰によって計算されます。) ここでも、反転関係を使用して、これらの零点を使用して極を計算できます。 ${\displaystyle R_{8}(\xi ,x)}$ ${\displaystyle X_{8}=0}$ ${\displaystyle X_{4}}$ ${\displaystyle X_{4}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle R_{8}(\xi ,x)}$ ${\displaystyle t_{n}}$

特定の価値観

最初のいくつかの楕円有理関数は次のように書けます。

${\displaystyle R_{1}(\xi ,x)=x\,}$

${\displaystyle R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}}$

どこ

${\displaystyle t\equiv {\sqrt {1-{\frac {1}{\xi ^{2}}}}}}$

${\displaystyle R_{3}(\xi ,x)=x\,{\frac {(1-x_{p}^{2})(x^{2}-x_{z}^{2})}{(1-x_{z}^{2})(x^{2}-x_{p}^{2})}}}$

どこ

${\displaystyle G\equiv {\sqrt {4\xi ^{2}+(4\xi ^{2}(\xi ^{2}\!-\!1))^{2/3}}}}$

${\displaystyle x_{p}^{2}\equiv {\frac {2\xi ^{2}{\sqrt {G}}}{{\sqrt {8\xi ^{2}(\xi ^{2}\!+\!1)+12G\xi ^{2}-G^{3}}}-{\sqrt {G^{3}}}}}}$

${\displaystyle x_{z}^{2}=\xi ^{2}/x_{p}^{2}}$

${\displaystyle R_{4}(\xi ,x)=R_{2}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))={\frac {(1+t)(1+{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1+{\sqrt {t}})x^{2}+1}{(1+t)(1-{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1-{\sqrt {t}})x^{2}+1}}}$

${\displaystyle R_{6}(\xi ,x)=R_{3}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))\,}$ 等

n=5およびのより詳細な表現については、Lutovac、Tošić、Evans（2001、§13）を参照してください。 ${\displaystyle n=2^{i}\,3^{j}}$

対応する識別要因は次のとおりです。

${\displaystyle L_{1}(\xi )=\xi \,}$

${\displaystyle L_{2}(\xi )={\frac {1+t}{1-t}}=\left(\xi +{\sqrt {\xi ^{2}-1}}\right)^{2}}$

${\displaystyle L_{3}(\xi )=\xi ^{3}\left({\frac {1-x_{p}^{2}}{\xi ^{2}-x_{p}^{2}}}\right)^{2}}$

${\displaystyle L_{4}(\xi )=\left({\sqrt {\xi }}+(\xi ^{2}-1)^{1/4}\right)^{4}\left(\xi +{\sqrt {\xi ^{2}-1}}\right)^{2}}$

${\displaystyle L_{6}(\xi )=L_{3}(L_{2}(\xi ))\,}$ 等

対応するゼロは、nが次数、jがゼロの番号です。各次数には 合計n個のゼロがあります。${\displaystyle x_{nj}}$

${\displaystyle x_{11}=0\,}$

${\displaystyle x_{21}=\xi {\sqrt {1-t}}\,}$

${\displaystyle x_{22}=-x_{21}\,}$

${\displaystyle x_{31}=x_{z}\,}$

${\displaystyle x_{32}=0\,}$

${\displaystyle x_{33}=-x_{31}\,}$

${\displaystyle x_{41}=\xi {\sqrt {\left(1-{\sqrt {t}}\right)\left(1+t-{\sqrt {t(t+1)}}\right)}}\,}$

${\displaystyle x_{42}=\xi {\sqrt {\left(1-{\sqrt {t}}\right)\left(1+t+{\sqrt {t(t+1)}}\right)}}\,}$

${\displaystyle x_{43}=-x_{42}\,}$

${\displaystyle x_{44}=-x_{41}\,}$

反転関係から、対応する極は次のように見つけられる。${\displaystyle x_{p,ni}}$ ${\displaystyle x_{p,ni}=\xi /(x_{ni})}$

参考文献

• 数学の世界
• ダニエルズ、リチャード・W. (1974). 『電子フィルタ設計のための近似法』 ニューヨーク：マグロウヒル. ISBN 0-07-015308-6。
• ルトヴァック、ミロスラフ D.。トシッチ、デヤン V.エヴァンス、ブライアン L. (2001)。MATLAB© および Mathematica© を使用した信号処理用のフィルター設計。米国ニュージャージー州：プレンティス・ホール。ISBN 0-201-36130-2。