正対角四辺形
等対角四辺形。等しい対角線、ヴァリニョン菱形、垂直二中線を示す。

ユークリッド幾何学において、正対角四辺形とは、二つの対角線の長さが等しい凸 四辺形である。正対角四辺形は古代インド数学において重要であり、四辺形はまず正対角であるかどうかによって分類され、その後、より専門的な種類に分類された。[1]

特殊なケース

正対角四辺形の例としては、二等辺台形、長方形、正方形などがあります。

ルーローの三角形に内接し、直径に対する周長の比を最大化する等対角凧

すべての四辺形の中で、周囲と直径の比が最も大きい形状は、角度π/3、5π/12、5π/6、5π/12の等対角凧です。 [2]

特徴づけ

凸四辺形が正対角線であるためには、その四辺形の各辺の中点によって形成される平行四辺形であるヴァリニョン平行四辺形が菱形となる必要がある。また、四辺形の二中線（ヴァリニョン平行四辺形の対角線）が直交することも、等価条件となる。[3]

対角線の長さが で、両中線の長さが である凸四辺形が等対角線である場合、かつその場合に限り、[4] : 命題 1  p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} メートル {\displaystyle m} n {\displaystyle n}

p q ＝ メートル 2 + n 2 。 {\displaystyle pq=m^{2}+n^{2}.}

エリア

正対角四辺形の面積Kは、 二中線mとnの長さが分かれば簡単に計算できる。四辺形が正対角であるための必要条件は、[5] : p.19、   [4] : Cor.4 

K ＝ メートル n 。 {\displaystyle \displaystyle K=mn.}

これは、凸四辺形の面積がそのヴァリニョン平行四辺形の面積の2倍であること、そしてこの平行四辺形の対角線が四辺形の二中線であるという事実から直接導かれる。二中線の長さの公式を用いると、面積は正対角四辺形の辺a、b、c、dと、対角線の中点間の距離xを用いて次のように表すこともできる。[5] : p.19 

K ＝ 1 4 （ 2 （ 1つの 2 + c 2 ） − 4 × 2 ） （ 2 （ b 2 + d 2 ） − 4 × 2 ） 。 {\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}.}

凸四辺形の面積の公式においてp = qと設定すると、他の面積の公式が得られます。

他の種類の四辺形との関係

平行四辺形が正対角形であるためには、長方形である必要があり[6]、台形が正対角形であるためには、二等辺台形である必要がある。巡回正対角四辺形は、まさに二等辺台形である。

等対角四辺形と直交対角四辺形の間には双対性がある。四辺形が等対角であるためには、そのヴァリニョン平行四辺形が直交対角（ひし形）になる必要があり、四辺形が直交対角であるためには、そのヴァリニョン平行四辺形が等対角（長方形）になる必要がある。[3]同様に、四辺形の対角線が等しいためには、その四辺形の二中線が垂直になるためであり、四辺形の対角線が等しいためには、その四辺形の二中線が垂直になるためである。[7]シルベスター（2006）は、ファン・オーベルの定理の一般化によって、等対角四辺形と直交対角四辺形のさらなる関連性を示している。[8]

正対角線と正対角線の両方を持つ四辺形は、ヴァリニョン平行四辺形（四辺形の辺の中点に頂点がある）が正方形になる唯一の四辺形であるため、中正方形四辺形と呼ばれます。 [4] ：p.137 

参考文献

  1. ^ コールブルック、ヘンリー・トーマス（1817年）、ブラーフメグプタとバースカラのサンスクリット語からの代数学、算術と計測、ジョン・マレー、58ページ。
  2. ^ Ball, DG (1973)、「πの一般化」、Mathematical Gazette、57 (402): 298– 303、doi :10.2307/3616052、JSTOR  3616052グリフィス、デイヴィッド; カルピン、デイヴィッド (1975)、「円周率最適多角形」、Mathematical Gazette、59 (409): 165– 175、doi :10.2307/3617699、JSTOR  3617699。
  3. ^ ab de Villiers, Michael (2009), Some Adventures in Euclidean Geometry, Dynamic Mathematics Learning, p. 58, ISBN 9780557102952。
  4. ^ abc Josefsson, Martin (2014), "Properties of equidiagonal quadrilaterals", Forum Geometricorum , 14 : 129– 144, 2024年6月5日時点のオリジナルよりアーカイブ, 2014年8月28日閲覧。
  5. ^ ab Josefsson, Martin (2013), "Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles" (PDF) , Forum Geometricorum , 13 : 17– 21, 2016年3月4日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ, 2013年2月9日取得。
  6. ^ ゲルデス、パウルス（1988）「文化、幾何学的思考、数学教育について」、数学教育研究、19（2）：137-162、doi：10.1007/bf00751229、JSTOR  3482571。
  7. ^ Josefsson, Martin (2012)、「Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals」（PDF） , Forum Geometricorum , 12 : 13– 25, 2020年12月5日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ, 2012年4月23日取得特に19ページの定理7を参照してください。
  8. ^ シルベスター、ジョン・R. (2006)、「ヴァン・オーベルの定理の拡張」、数学雑誌、90 (517): 2– 12、doi :10.1017/S0025557200178969、JSTOR  3621406。
  • インタラクティブなジオメトリ スケッチである Dynamic Geometry Sketches における、正対角四辺形の Van Aubel のような特性。
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