支出最小化問題

ミクロ経済学において、支出最小化問題は効用最大化問題の双対問題です。「ある幸福レベルに到達するには、どれだけのお金が必要か？」という問いです。この問いは2つの要素から成ります。消費者の効用関数、価格、そして効用目標が与えられているとします。

• 消費者はいくらのお金を必要とするでしょうか？これは支出関数によって答えられます。
• 支出を最小限に抑えながらこの効用目標を達成するために、消費者は何を購入できるでしょうか？この答えはヒックス需要関数によって得られます。

支出関数

正式には、支出関数は以下のように定義される。消費者が商品に対して定義された効用関数を持つと仮定する。この場合、消費者の支出関数は、少なくとも効用が となるような価格で商品パッケージを購入するために必要な金額を与える。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u^{*}}$

${\displaystyle e(p,u^{*})=\min _{x\in \geq {u^{*}}}p\cdot x}$

どこ

${\displaystyle \geq {u^{*}}=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{L}:u(x)\geq u^{*}\}}$

は、 と同等以上のユーティリティを提供するすべてのパッケージの集合です。 ${\displaystyle u^{*}}$

ヒックスの要求対応

ヒックス需要は次のように定義される。

${\displaystyle h:\mathbb {R} _{+}^{L}\times \mathbb {R} _{+}\to P(\mathbb {R} _{+}^{L})}$

${\displaystyle h(p,u^{*})={\underset {x\in \geq u^{*}}{\operatorname {argmin} }}\ p\cdot x}$ . ^[1]

ヒックス需要関数は、望ましい効用をもたらす最も安価なパッケージを与える。これはマーシャル需要関数と次のように関連し、支出関数と次のように関連している。

${\displaystyle h(p,u^{*})=x(p,e(p,u^{*})).\,}$

効用最大化問題における効用関数とマーシャル需要の関係は、支出最小化問題における支出関数とヒックス需要の関係を反映している。ヒックス需要とマーシャル需要が一意ではない可能性もある（つまり、支出最小化問題を満たす財の束が複数存在する）。その場合、需要は関数ではなく対応関係となる。しかし、局所的非飽和状態を仮定すると、そのような状況は起こらず、需要は関数となる。

参照

• 効用最大化問題

参考文献

1. ジョナサン・レビン、ポール・ミルグロム「消費者理論」（PDF）。

• マス・コレル、アンドリュー、ウィンストン、マイケル、グリーン、ジェリー(1995).ミクロ経済理論. オックスフォード: オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-507340-1。

外部リンク

• 3Dにおけるコブ・ダグラス型効用関数の解剖