局所体の有限拡大

代数的整数論では、完備化を通じて、素イデアルの分岐の研究は、分岐群などのツールの助けを借りてより詳細な分析を実行できる局所体の場合にまで縮小されることがよくあります。

この記事では、局所体は非アルキメデス体であり、有限の留数体を持ちます。

非分岐延長

を有限留数体とガロア群を持つ非アルキメデス局所体の有限ガロア拡大とする。このとき、以下は同値である。 ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \ell /k}$ ${\displaystyle G}$

• (i)は非分岐である。${\displaystyle L/K}$
• (ii)は体であり、 はの最大イデアルである。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$
• （iii）${\displaystyle [L:K]=[\ell :k]}$
• (iv)の慣性部分群は自明である。${\displaystyle G}$
• (v)が の均一化元である場合、も の均一化元である。${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle L}$

が非分岐のとき、(iv) (または (iii)) により、G は有限巡回であると同一視できます。 ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\ell /k)}$

上記は、局所体Kの有限不分岐拡大とKの剰余体の 有限可分拡大の間にカテゴリの同値性があることを意味します。

完全に分岐した拡張

再び、有限留数体とガロア群を持つ非アルキメデス局所体の有限ガロア拡大 とします。以下は同値です。 ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle l/k}$ ${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle L/K}$ 完全に分岐しています。
• ${\displaystyle G}$ その慣性サブグループと一致します。
• ${\displaystyle L=K[\pi ]}$ ここではアイゼンシュタイン多項式の根です。${\displaystyle \pi }$
• ノルムには の均一化子が含まれます。${\displaystyle N(L/K)}$ ${\displaystyle K}$

参照

• アビヤンカールの補題
• 非分岐射

参考文献

• Cassels, JWS (1986). 局所体. ロンドン数学会学生テキスト. 第3巻.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-31525-5. Zbl  0595.12006.
• ワイス、エドウィン (1976). 代数的数論（第2版、無修正）.チェルシー出版. ISBN 0-8284-0293-0. Zbl  0348.12101。