ゲーム理論において、有限ゲーム（ファウンデッドゲーム[1]またはウェルファウンデッドゲーム[2]と呼ばれることもある）とは、有限回数の着手で必ず終了する2人対戦ゲームである。有限ゲームは、有限回数のターンで必ず終了する限り、無限の可能性、あるいは無制限の着手数を持つこともある。[3]
完全に有限なゲーム
ウィリアム・ツヴィッカーは、ゲームGが以下の5つの条件を満たす場合、完全有限であると定義した。 [4]
- 2人のプレイヤー、IとIIが交互に手番を行い、Iが先攻となる。両者は相手の手番を完全に把握している。
- 偶然性はありません。
- 同点はありません（ Gのプレイが完了すると、勝者は 1 人になります）。
- すべてのプレイは有限回の移動後に終了します。
- Gのプレイのどの時点でも、次の動きの合法的な可能性は有限個しかありません。
例
- 三目並べ
- チェス[5]
- チェッカーズ
- ポーカー
- プレイヤー1が任意の数字を選択して即座に勝利するゲーム（これは無限の可能性を持つ有限ゲームの例です）[3]
- プレイヤー1が任意の数字Nを宣言し、その後N回の手番が何も起こらずにプレイヤー1が勝利するゲーム（これは手番数が無制限の有限ゲームの例である）[3]
スーパーゲーム
スーパーゲームは、ウィリアム・ツヴィッカーによって考案された有限ゲームの派生です。ツヴィッカーはスーパーゲームを以下のルールを持つものと定義しました。
「最初の動きとして、私は任意の完全に有限なゲーム（サブゲームと呼ぶ）をGと名付ける。プレイヤーはGをプレイし、Gがプレイされている間、 IIはIの役割を果たす。サブゲームのプレイの勝者は、スーパーゲームのプレイの勝者と宣言される。」[4]
ツヴィッカーは、スーパーゲームは完全有限ゲームの特性1～4を満たすが、特性5は満たさないと指摘している。彼はこのタイプのゲームをある程度有限であると定義している。[4]
ハイパーゲームのパラドックス
ハイパーゲームはスーパーゲームと同じルールを持ちますが、最初の動きである程度有限なゲームであればどんなゲームでも名前を挙げることができるという点が異なります。ハイパーゲームは「ハイパーゲームパラドックス」と密接に関連しています。これはラッセルのパラドックスやカントールのパラドックスと同様に、自己言及的な集合論的パラドックスです。[2]
ハイパーゲームのパラドックスは、 「ハイパーゲームはいくぶん有限か？」という問いに答えようとする試みから生じる。ツヴィッカーが指摘するように、このパラドックスは条件1～4を満たしており、スーパーゲームと同様にいくぶん有限である。[2] しかし、ハイパーゲームがいくぶん有限なゲームであるならば、両方のプレイヤーがハイパーゲームをサブゲームとして永遠に選択することで、プレイは無限に進行する可能性がある。この無限性は性質4に違反しているように思われ、ハイパーゲームはいくぶん有限ではない。これがパラドックスである。[1]
参考文献
- ^ ab ベルナルディ, クラウディオ; ダゴスティーノ, ジョヴァンナ (1996年10月). 「ハイパーゲーム・パラドックスの翻訳：関係の基礎要素集合に関する考察」. Journal of Philosophical Logic . 25 (5): 545– 557. doi :10.1007/BF00257385. hdl : 11573/34626 . S2CID 12745108.
- ^ abc 「自己言及」スタンフォード哲学百科事典. スタンフォード大学. 2017年8月31日. 2020年3月2日閲覧。
- ^ abc 「Hypergame」. コーネル大学. 2020年3月2日閲覧。
- ^ abc Zwicker, William (1987年7月). 「ゲームでゲームをする：ハイパーゲームのパラドックス」アメリカ数学月刊誌. 94 (6). アメリカ数学会誌: 507–514 . doi :10.2307/2322840. JSTOR 2322840.
- ^ 「ゲーム理論」。ブリタニカ百科事典。
