福祉経済学の基本定理

厚生経済学には2つの基本定理がある。1つ目は、経済均衡において、完全情報と完全競争を伴う完全市場の集合はパレート最適となる（つまり、それ以上の交換によって一方の利益が増大し、もう一方の利益が悪化することはないという意味で）というものである。完全競争の要件は以下の通りである。^[1]

1. 外部性はなく、各アクターは完全な情報を持っています。
2. 企業と消費者は価格を既定値として受け入れます（市場力を持つ経済主体または経済主体グループはありません）。

この定理は、アダム・スミスの「見えざる手」の原理、すなわち競争市場が資源の効率的な配分を保証するという原理を分析的に裏付けるものと捉えられることがある。しかし、パレート最適市場の結果が公平であるという保証はない。なぜなら、資源の配分は、望ましさの度合いが異なる複数のパレート効率的な配分が考えられるからである（例えば、ある人がすべてを所有し、他の人は何も所有していないなど）。^[2]

第二定理は、任意のパレート最適解は、初期賦存量の組み合わせに対して競争均衡として支持され得ることを述べている。これは、任意の望ましいパレート最適解が支持され得ること、すなわち、初期富の再分配を任意に行うことでパレート効率性を達成可能であることを意味する。しかし、分配を修正しようとすると歪みが生じる可能性があり、再分配だけでは完全な最適性を達成できない可能性がある。^[3]

単純な純粋交換経済の場合、定理はエッジワース ボックスダイアグラムによってグラフィカルに視覚化できます。

基本定理の歴史

アダム・スミス（1776）

輸入関税についての議論の中で、アダム・スミスは次のように書いています。

すべての個人は、社会の年間収入をできる限り増やすために必然的に労働する。…他の多くの方法と同様に、彼はこの点でも、見えざる手に導かれ、彼の意図になかった目的を推進する。…彼は自身の利益を追求することによって、しばしば社会の利益を、実際に促進しようと意図したときよりも効果的に促進する。^[4]

スミスの思想は、当時まだこの経済学分野が確立されていなかったため、特に福祉経済学に向けられたものではないことに留意すべきである。しかしながら、彼の議論は、この分野の創設と福祉経済学の基礎理論の構築に貢献したとされている。^[5]

レオン・ワルラス（1870）

ワルラスは「自由競争下での交換とは、均一な価格での売買を条件として、すべての当事者が最大の満足を得る行為である」と書いた。^[6]

FYエッジワース（1881）

エッジワースは著書『数学的心理学』の中で、生産のない純粋な交換経済を考察することで、第一基本定理への一歩を踏み出した。彼は分析に不完全競争を含めた。 ^[7]彼の均衡の定義は、後にパレートが定義した最適性の定義とほぼ同じである。それは…

どちらの方向に無限小のステップを踏んでも、PとΠ[買い手と売り手の効用]は一緒には増加せず、一方が増加するともう一方は減少します。^[8]

エッジワースは、均衡がパレート最適であると結論付ける代わりに、均衡が当事者の効用の合計を最大化すると結論付けました。これはパレート効率の特殊なケースです。

この特殊なケースに適用される一般的な力学原理に従うと、契約者の全快楽エネルギーが条件に応じて最大になるときに均衡が達成されると思われる... ^[9]

ヴィルフレド・パレート（1906/9）

パレートは最初の基本定理を彼の著書『マニュアーレ』（1906年）で述べ、そのフランス語版（マヌエル、1909年）ではより厳密な表現を用いた。^[10]彼は独自の基準で最適性を主張し、その主張を説得力のある議論で裏付けた最初の人物であった。^[要出典]

彼はエッジワースよりも抽象的に均衡を、外部からの圧力がない場合に無期限に維持される状態と定義し^[11]、交換経済においては均衡は当事者の無差別曲線の共通接線が賦存量を通過する点であると示している^{[12] 。}

彼の最適性の定義は第6章に記載されています。

集団の構成員は、ある特定の位置において最大のオフェリミティ（すなわち効用）を享受するとする。それは、集団内の各個体が享受するオフェリミティが増大する、あるいは減少する方向に少しでも移動することが不可能な状態を指す。[彼は以前、個体のオフェリミティの増加を、より高い無差別曲線への移動と定義している。] つまり、どんな小さなステップでも、一部の個体のオフェリミティは増大する一方で、他の個体のオフェリミティは減少することになる。^[13]

次の段落には定理が示されています。

タイプ I [つまり完全競争] の現象では、無差別曲線の接点で均衡が実現すると、集団のメンバーは最大のオフェリミティを享受します。

彼は「数学の助けなしに厳密な証明を与えることはできない」と付け加え、付録に言及している。^[14]

ヴィクセルは、最適性の定義について次のようにコメントした。

このような定義によれば、このいわゆる最大値が自由競争のもとで成立することはほぼ自明である。なぜなら、交換が行われた後、さらなる一連の直接的または間接的な交換によって、参加者のさらなるニーズの充足が可能であった場合、その程度までそのような継続的な交換が間違いなく行われ、当初の状態は最終的な均衡の1つではあり得なかったからである。^[15]

パレートはそれをそれほど単純だとは考えなかった。彼はテキストの中で、交換にのみ適用した図式的な議論^[16]と、付録^[17]における32ページにわたる数学的議論を提示したが、サミュエルソンはこれを「理解しにくい」と感じた^{[18] 。パレートは}生産可能性フロンティアの概念を持っていなかったことで足を引っ張られた。この概念の発展は、共同研究者のエンリコ・バローネの貢献も一部あった。^[19]彼自身の「障害物に対する無差別曲線」は誤った道だったようだ。

最初の基本定理を述べた直後、パレートは分布について次のような疑問を投げかけます。

構成員のオフェリミティ（利益）を最大化しようとする集産主義社会を考えてみましょう。問題は二つの部分に分かれます。第一に、分配の問題です。社会内の財は構成員間でどのように分配されるべきでしょうか？第二に、財が分配された際に、社会の構成員が最大のオフェリミティを得られるよう、生産はどのように組織されるべきでしょうか？

彼の答えは、2 番目の定理の非公式な前身です。

国家は、最初の問題に対する答えに従って財を分配した後、集団の構成員が第二の分配を行うことを認めるか、あるいは自ら分配を行うべきであり、いずれの場合も、それが自由競争の仕組みに従って行われるようにしなければならない。^[20]

エンリコ・バローネ（1908）

パレートの仲間であるバローネは、完全競争の最適性^[21]を証明した。それは、外生的価格を前提とすると、生産活動からの収益の金銭的価値、すなわち余暇、貯蓄、消費財の価値をすべて望ましい割合で合計したものが最大化されるというものである。^[22]彼は、市場によって選択される価格自体が最適であると主張していない。

^{彼の論文は1935年まで英語に翻訳されなかった。サミュエルソン[23]}から承認された要約を受けたが、現在の福祉定理の発展には影響を与えなかったようだ。

アバ・ラーナー（1934）

1934年、ラーナーは交換におけるエッジワースの条件、すなわち無差別曲線が接線として交わるという条件を再び述べ、それを最適性の性質として提示した。彼は生産についても同様の条件を述べ、生産可能性フロンティア（PPF、ラーナーはこれを「生産的無差別曲線」という別名も与えた）が共同体の無差別曲線と接線をなす必要があるとした。彼はPPFの考案者の一人であり、1932年に国際貿易に関する論文でそれを用いている。^[24]彼はPPFがエッジワースボックスにおける鏡像無差別曲線と同じ役割を果たすことから、2つの議論は同じ言葉で表現できることを示している。また彼は、曲線が尖った角で接していれば同じ結果が得られるため、微分可能である必要はないとも述べている。

彼の最適性の定義はパレートの定義と同等でした。

ある個人を好ましい位置に移動させても、別の個人をより悪い位置に移動させることができない場合には、相対的最適には到達していないと言えるでしょう。

生産の最適条件は、(i) 価格が限界費用に等しく、(ii) (i) を条件として産出量が最大化される、という2つの要件に等しい。ラーナーはこのように、生産と交換の両方において最適性を接線性にまで還元しているが、なぜ生産関数曲線上の点が自由市場の均衡条件となるのかについては言及していない。おそらく彼は、この条件が既に十分に確立されていると考えていたのだろう。^[25]

ラーナーは、無差別曲線の使用を示唆した功績をLSEの同僚であるビクター・エーデルバーグに帰している。サミュエルソンは、ラーナーがパレートの研究とは独立して結果を得たと推測した。^[26]

ハロルド・ホテリング（1938）

ホテリングは、「限界費用での販売は、パレートの定義によれば、一般厚生の最大化の条件である」という新たな議論を提示した。彼は、この条件が完全競争によって満たされることを認めたが、結果として、一部の有益なプロジェクトは、この価格での販売では固定費を回収できないため（例えば自然独占の場合）、完全競争は最適ではないと主張した。^[27]

オスカー・ランゲ（1942）

ランゲの論文『福祉経済学の基礎』は、市場を規定する定理と分配を規定する定理という、現在では伝統的に用いられている二つの定理の組み合わせの源泉である。彼は、ライオネル・ロビンズが個人間の効用比較を否定したことを引用することで、第一の定理に対するパレート最適性の定義を正当化し^[28]、第二の定理に対して個人間の効用比較を再導入する様々な方法、例えば民主的に選出された議会による裁定などを提案した。ランゲは、そのような議会は資本家と同様に行動できると考えていた。つまり、価格ベクトルを設定することで、効率性と社会的平等性を達成するためのあらゆる最適生産計画を実現できると考えていた^[29]。

彼の推論は、ラーナーのグラフ的議論を数学的に（ラグランジュ乗数へと）翻訳したものである。第二定理は彼の手によって馴染みのある形にはならず、むしろ彼は真の社会的効用関数の最適化条件がパレート最適性の条件と類似していることを単に示している。

アブラム・ベルクソンとポール・サミュエルソン（1947）

サミュエルソンは（その思想の実質的根拠はアブラム・ベルクソンに帰し）ランゲの第二厚生定理をほぼ現代的な形にまで発展させた。 ^[30]彼はランゲに倣い、パレート最適性に必要な一連の方程式を導出し、次に経済が真の社会福祉関数を満たすことを要求された場合にどのような追加の制約が生じるかを検討し、そこから「与えられた倫理的要件を達成するために必要なすべての行動は、一括税または補助金の形をとることができる」という結論に至るさらなる方程式を見出した。^[31]

ケネス・アローとジェラール・ドブリュー（別々に、1951年）

アローとデブリューの二つの論文^[32]（それぞれ独立して執筆され、ほぼ同時に出版された）は、ランゲの第一定理の厳密性を向上させることを目指した。彼らの説明は、（短期）生産と交換の両方に言及し、両方の条件を線形関数で表現している。

生産の均衡は、製造業者の純産出額、すなわち生産ベクトルと価格ベクトルの内積が、製造業者の生産集合全体にわたって最大化されるという制約によって表現される。これは利潤最大化として解釈される。

交換の均衡は、個人の効用が、交換を通じて保有資産から得られる地位にわたって最大化されるべきであることを意味すると解釈されます。これらの地位の価値は保有資産の価値以下であり、割り当ての価値は価格ベクトルとの ドット積です。

アローは、空間の端にある均衡点をカバーするために証明を拡張する必要性に言及して論文を執筆した。一方、ドブリューは、無差別曲線が微分不可能である可能性に言及して論文を執筆した。現代の教科書は、彼らの証明スタイルを踏襲している。

グリーンワルド・スティグリッツ定理

ブルース・グリーンウォルドとジョセフ・スティグリッツは1986年の論文「不完全情報・不完全市場経済における外部性」において、不完全市場や不完全情報が存在する場合、基本的な厚生定理は成立しないことを示した。^[33]この論文は、非対称情報経済における競争均衡は、一般的に制約付きパレート効率的でさえないことを明らかにしている。政府は、経済における民間個人と同じ情報制約に直面しているにもかかわらず、パレート効率を改善する政策介入を見出すことができる。^[34]

グリーンウォルドとスティグリッツは、モラルハザードが状況を非効率にする可能性（例えば、アルコール税は自動車事故を減らすのでパレート改善になる可能性がある）など、いくつかの関連する状況を指摘した。^[35]

基本定理の仮定

原則として、基本定理には2つのバージョンが一般的に存在します。1つは賦存が外生的に与えられる交換経済に関するもので、もう1つは生産が行われる経済に関するものです。生産経済はより一般的なものであり、追加の仮定を必要とします。これらの仮定はすべて、標準的な大学院レベルのミクロ経済学の教科書に基づいています。^[36]

基本定理は一般に、平衡点の存在や一意性を保証するものではありません。

第一基本定理

• 各消費者 i について、選好関係は局所的に不飽和です。${\displaystyle \geq _{i}}$
• エージェント（消費者、および生産経済においては企業）は価格を既定値として受け入れます。
• 市場は完成しました。
• 完璧な情報です。
• エージェントは合理的に行動します。
• 外部性はありません。

第二基本定理

2 番目の基本定理には、より厳しい条件があります。

• 最初の定理のすべての仮定に加えて、
• 選好関係は各消費者iに対して局所的に非飽和かつ凸である。${\displaystyle \geq _{i}}$
• 生産集合は各企業 j に対して凸状です。${\displaystyle Y_{j}}$
• 価格準均衡から移転を伴う価格均衡へのステップの場合: 各エージェントの初期の保有量は厳密に正です。

よくある仮定の誤り

以下は、基本定理の基礎となる仮定の一般的な誤りの非網羅的なリストです。

• 価格受容行動：ゲーム理論的相互作用において、例えば企業が独占力を持っている場合、結果として得られる均衡はパレート効率的ではない。
• 外部性：多くの場合、特に汚染と気候変動対策においては、この仮定は破られています。場合によっては、ピグー税によってパレート効率的な配分を回復できることもあります。
• 非飽和：非飽和という仮定は非常に弱いものですが、それが成り立たない主なケースが2つあります。第一に、選好に飽和点がある場合（例えば、インフレ目標を掲げる中央銀行は、目標とするインフレ率に飽和点を定めています）。第二に、財がばらばらの塊でしか購入できない場合、この仮定は破られる可能性があります。
• 合理性:行動経済学の分野では、経済的合理性の違反が数多く記録されています。
• 凸性：規模の経済性に関して収穫逓増が存在する場合、凸性は成立しない。この仮定は第一基本定理には必要ではないことに注意されたい。

厚生定理が成り立たないもう一つの例は、標準的な重複世代モデル（OLG）である。この定理の記述に暗黙的に含まれるもう一つの仮定は、経済における総賦存量（その一部は生産によって他の財に変換される可能性がある）の価値が有限であるというものである。^{[37] OLGモデルでは賦存量の有限性が成り立たず、}ヒルベルトのグランドホテルのパラドックスで説明されるのと同様の問題が生じる。

基本定理の基礎となる仮定が市場の適切な説明であるかどうかは、少なくとも部分的には経験的な問題であり、ケースごとに異なる場合があります。

第一基本定理の証明

第一基本定理は一般的な条件下で成立する。^[38]正式な記述は以下の通りである。選好が局所的に不飽和であり、かつ移転を伴う価格均衡である場合、配分はパレート最適である。${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} ,\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )}$ この意味での均衡は、交換経済のみに関係するか、企業が配分的かつ生産的に効率的であることを前提としており、これは完全競争的な要素市場および生産市場から導かれることが示される。^[38]

財の種類集合が与えられたとき、 上の実ベクトル空間で作業し、ベクトル値変数は太字で表します。例えば、 の場合、は3次元ベクトル空間となり、ベクトルはバター1単位、クッキー2単位、牛乳3単位を含む財の束を表します。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$ ${\displaystyle G=\lbrace {\text{butter}},{\text{cookies}},{\text{milk}}\rbrace }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$ ${\displaystyle \langle 1,2,3\rangle }$

消費者i が次のような富を持っているとします。ここでは商品の総賦与（つまり、すべての消費者賦与と生産者賦与の合計）であり、は企業jの生産量です。 ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle \Sigma _{i}w_{i}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {e} +\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle \mathbf {y_{j}^{*}} }$

選好最大化（移転を伴う価格均衡の定義より）は次を意味します（消費者iの選好関係を示すために を使用）。 ${\displaystyle >_{i}}$

もしそうなら${\displaystyle \mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\mathbf {w_{i}} }$

言い換えれば、ある財の束が より強く好まれる場合、その財は の価格で購入不可能でなければならない。 局所的不飽和状態はさらに以下を意味する。 ${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

もしそうなら${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq \mathbf {w_{i}} }$

理由を理解するには、 がであると仮定してみましょう。すると、局所的不飽和により、に任意に近い（したがって依然として手頃な価格である） が よりも厳密に好まれる を見つけることができます。しかし、は選好最大化の結果であるため、これは矛盾です。 ${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} <w_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x'_{i}} }$ ${\displaystyle \mathbf {x_{i}} }$ ${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$

配分とは、 と のペアであり、すなわちは（潜在的に無限の行／列を許容する）行列であり、そのi列目は消費者iに割り当てられた財の束であり、はj列目は企業jの生産量である。ここでは、消費者が不足している財を販売したり生産者が消費したりしない配分、すなわち、あらゆる財とあらゆる消費者について、消費者の初期賦存量とその純需要の合計が正でなければならない。同様に、生産者についても、消費者の初期賦存量とその純需要の合計が正でなければならない。 ${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$ ${\displaystyle \mathbf {X} \in \Pi _{i\in I}\mathbb {R} ^{G}}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} \in \Pi _{j\in J}\mathbb {R} ^{G}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

ここで、パレート優位となる配分を考えてみましょう。これは、すべてのiに対して、またあるiに対して が成り立つことを意味します。以上のことから、すべてのiに対して、またあるiに対して が成り立つことがわかります。まとめると、次の式が得られます。 ${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$ ${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,Y^{*})}$ ${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq w_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >w_{i}}$

${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{i}w_{i}=\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$ 。

は利益最大化なので、 が成り立つことが分かっています。しかし、財は節約されなければならないので、 は実現不可能です。したがって、は実現不可能です。パレート優位な配分はすべて実現可能ではないので、はそれ自体がパレート最適でなければなりません。^[38]${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$ ${\displaystyle \Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot y_{j}^{*}\geq \Sigma _{j}p\cdot y_{j}}$ ${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}} }$ ${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {y_{j}} }$ ${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$ ${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )}$

定理の記述では、利潤最大化が仮定されているだけであるが、その結果が有用/興味深いのは、そのような利潤最大化生産配分が可能な範囲に限られる点に注意する必要がある。幸いなことに、生産配分と価格を、限界価格が0から離れた閉集合に制限する任意の制限、例えば、可能な生産量をパラメータ化する連続関数の任意の合理的な選択に対して、そのような最大値が存在する。これは、最小の限界価格と有限の富が最大可能生産量を制限し（0は最小値を制限する）、ティコノフの定理によって、これらのコンパクト空間の積がコンパクトであることが保証され、これにより、望む連続関数の最大値が存在することが保証される。 ${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$

第二基本定理の証明

第二定理は、すべての生産セットが凸であり、すべての選好関係が凸で局所的に不飽和であるという仮定の下で、任意の望ましいパレート効率的な配分が移転を伴う価格準均衡としてサポートできることを正式に述べています。^[38]移転を伴う価格均衡についてこの主張を証明するには、さらなる仮定が必要です。 ${\displaystyle Y_{j}}$ ${\displaystyle \geq _{i}}$

証明は 2 つのステップで進みます。まず、パレート効率的な配分はどれも移転を伴う価格準均衡としてサポートできることを証明します。次に、価格準均衡が価格均衡でもある条件を示します。

配分、価格ベクトルp、富のレベルのベクトルw（一括移転によって達成される）を移転を伴う価格準均衡と定義します。ここで、 は財の総賦存量、は企業jの生産量です。 ${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$ ${\displaystyle \Sigma _{i}w_{i}=p\cdot \omega +\Sigma _{j}p\cdot y_{j}^{*}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle y_{j}^{*}}$

i.すべて（企業は生産することで利益を最大化する）${\displaystyle p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}}$ ${\displaystyle y_{j}\in Y_{j}}$ ${\displaystyle y_{j}^{*}}$

ii. すべてのiについて、 ならば（がよりも厳密に優先される場合、 のコストは 未満にはならない）${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$

iii. （予算制約を満たす）${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}}$

この定義と移転を伴う価格均衡の標準的な定義との唯一の違いは、ステートメント ( ii ) にあります。ここでは不等式は弱く ( )、価格の準均衡になります。後でこれを強化して価格均衡にします。^{[38] を}消費者iが厳密に好むすべての消費バンドルの集合として 定義し、V をすべての の合計とします。 は、選好関係 の凸性により凸です。 Vが凸なのは、すべてが凸だからです。同様に、すべての生産セットと総賦存量の和は、すべてが凸なので凸です。また、 Vとの交点は空でなければならないこともわかっています。そうでない場合、すべての人が厳密に好むバンドルが存在し、かつ購入可能であることを意味するためです。 のパレート最適性により、これは排除されます。 ${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \geq _{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle Y+\{\omega \}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle Y+\{\omega \}}$ ${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$ ${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$

これら2つの交差しない凸集合は、分離超平面定理を適用することができます。この定理は、任意の に対して、かつ任意の に対して、価格ベクトルと数rが存在することを述べています。言い換えれば、2つの凸集合を完全に分離する超平面を定義する価格ベクトルが存在するということです。 ${\displaystyle p\neq 0}$ ${\displaystyle p\cdot z\geq r}$ ${\displaystyle z\in V}$ ${\displaystyle p\cdot z\leq r}$ ${\displaystyle z\in Y+\{\omega \}}$

次に、すべてのiに対してならばであることを論じます。これは局所的不飽和性によるものです。つまり、の任意の近傍に、 よりも厳密に優先され、したがって の一部となるバンドルが存在するはずなので、 となります。 を として極限をとっても弱不等式は変化しないため、も同様です。言い換えれば、はVの閉包内にあります。 ${\displaystyle x_{i}\geq _{i}x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r}$ ${\displaystyle x'_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x'_{i})\geq r}$ ${\displaystyle x'_{i}\rightarrow x_{i}}$ ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r}$ ${\displaystyle x_{i}}$

この関係式を用いると、それ自体がであることがわかります。また、 であることも分かっているので、 も同様です。これらを組み合わせると、 となります。この式を用いて、が移転価格準均衡の定義に適合する ことを示すことができます。${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\geq r}$ ${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}\in Y+\{\omega \}}$ ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\leq r}$ ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r}$ ${\displaystyle (x^{*},y^{*},p)}$

なぜなら、任意の企業 j について次のことが分かるからです。 ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r}$ ${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}}$

${\displaystyle p\cdot (\omega +y_{j}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})\leq r=p\cdot (\omega +y_{j}^{*}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})}$ のために${\displaystyle h\neq j}$

これは を意味します。同様に、次の式も成り立ちます。 ${\displaystyle p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}}$

${\displaystyle p\cdot (x_{i}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})\geq r=p\cdot (x_{i}^{*}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})}$ のために${\displaystyle k\neq i}$

これは、 を意味します。これら2つのステートメントは、パレート最適での配分の実現可能性とともに、すべてのiについて、富の水準によって支えられた移転を伴う価格準均衡の3つの条件を満たしています。 ${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq p\cdot x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle w_{i}=p\cdot x_{i}^{*}}$

ここで、価格準均衡が価格均衡でもある条件、つまり「もしならば」という命題が「もしならば」を具体化する条件について考えてみましょう。これが真であるためには、消費集合が凸であり、選好関係が連続であると仮定する必要があります。すると、かつ となる消費ベクトルが存在する場合、価格準均衡は価格均衡となります。 ${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle p\cdot x_{i}>w_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \geq _{i}}$ ${\displaystyle x'_{i}}$ ${\displaystyle x'_{i}\in X_{i}}$ ${\displaystyle p\cdot x'_{i}<w_{i}}$

理由を理解するには、逆に と を仮定し、が存在すると仮定しましょう。すると、 の凸性により、を持つバンドルが得られます。 が 1 に近い場合の の連続性により、が得られます。これは矛盾です。なぜなら、このバンドルは よりも優先され、 よりもコストが低いからです。 ${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle p\cdot x_{i}=w_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle x''_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}\in X_{i}}$ ${\displaystyle p\cdot x''_{i}<w_{i}}$ ${\displaystyle \geq _{i}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle w_{i}}$

したがって、価格準均衡が価格均衡であるためには、消費集合が凸であり、選好関係が連続であり、常に「より安価な」消費バンドルが存在することが必要である。そのようなバンドルの存在を保証する一つの方法は、すべての消費者iにとって富の水準が厳密に正であることを条件とすることである。^[38]${\displaystyle x'_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$

参照

• 凸面の好み
• バリアンの定理– 競争均衡はパレート効率的かつ嫉妬のない状態である。
• 一般均衡理論

参考文献

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2. スティグリッツ、ジョセフ・E.（1994）、社会主義はどこへ向かうのか？、MITプレス、ISBN 978-0-262-69182-6
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4. 『富国論』(1776年)、第4巻、第2章。
5. フェルドマン、アラン・M.（2017）、「福祉経済学」、新パルグレイブ経済学辞典、ロンドン：パルグレイブ・マクミランUK、pp.  1-14、doi：10.1057/978-1-349-95121-5_1417-2、ISBN 978-1-349-95121-5、 2021年11月12日取得
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7. ポール・サミュエルソンも彼の意見を支持し、パレート最適軌跡は多国間独占の下でも得られると述べている。『経済分析の基礎』（1947年）、214ページ。
8. 21ページ。
9. p. 25. また、John Creedy著『Francis Ysidro EdgeworthとPhilip Henry Wicksteed』（2010年）https://core.ac.uk/reader/6561724も参照。
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11. Manuale  / マヌエル第 3 章、§22。
12. §116.
13. §33.
14. §35.
15. K. Wicksell, 『政治経済学講義』 I (1906)、英訳 (1934)、82頁以降。
16. §35.
17. マヌエル、§109–終わり。
18. P. A. サミュエルソン、「経済分析の基礎」（1947年）、212ページ。
19. トーマス・M・ハンフリー、「貿易理論家の聖なる図：その起源と初期の発展」（1988年）。
20. この引用と前述の引用は、第6章の§53と§55から要約したものです。
21. E. バローネ、「Il Ministro della Produzione nello Stato Colletivistica」 (1908)。
22. 実際、彼はこの値を任意に選択した商品の価格で割っていますが、価格は固定されていると想定されているため、これは単に無関係な非対称性を導入するだけです。
23. P. A. サミュエルソン、「経済分析の基礎」（1947年）、214-217ページ。
24. A. ラーナー、「国際貿易における費用条件の図式的表現」（1932 年）、トーマス・M・ハンフリー、「貿易理論家の聖なる図：その起源と初期の発展」（1988 年）で引用。
25. 例えば、「短期的には、供給価格に必然的かつ直接的に影響を及ぼすのは、原価（すなわち限界費用）のみである」：アルフレッド・マーシャル『経済学原理』第6巻（第8版を参照）。また、クヌート・ヴィクセルの「自由競争は通常、生産の最大化を保証するための十分な条件であるという暫定的な結論」、『政治経済学講義』第1巻（1906年）、英訳（1934年）、141ページを参照。
26. P. A. サミュエルソン、「経済分析の基礎」（1947年）、217ページ。
27. H. Hotelling、「課税および鉄道・公共料金の問題に関する一般福祉問題」（1938年）、Econometrica、260、267頁。
28. 「公共財政理論における『社会的効用』を扱う部分はすべて無視される」：L・ロビンズ『経済科学の性質と意義に関する試論』（1932年）、125ページ。J・A・キングは「特権の擁護には、異なる個人の精神状態を比較するという問題に対して、説得力のない独我論的アプローチが必要だった…」とコメントしている（『ニコラス・カルドア』（2009年）、ハーヴェイ・グラムによる2011年のレビューで引用）。
29. フェルドマン、アラン・M.（2017）「福祉経済学」、新パルグレイブ経済学辞典、ロンドン：パルグレイブ・マクミランUK、pp. 1–14、doi：10.1057/978-1-349-95121-5_1417-2、ISBN 978-1-349-95121-5、2021年11月12日取得
30. P. A. サミュエルソン、「経済分析の基礎」（1947年）、219-249ページ。
31. 245ページ。
32. K. Arrow、「古典的福祉経済学の基本定理の拡張」（1951年）、G. Debreu、「資源利用係数」（1951年）。
33. グリーンウォルド, ブルース・C.; スティグリッツ, ジョセフ・E. (1986). 「不完全情報と不完全市場経済における外部性」.季刊経済学ジャーナル. 101 (2): 229– 264. doi : 10.2307/1891114 . ISSN  0033-5533. JSTOR  1891114.
34. アビナッシュ・ディキシット、「グリーンウォルド＝スティグリッツはどこへ向かうのか？」（2003年）。
35. グリーンウォルドとスティグリッツ（1986年）、238ページ。
36. マス・コレル、アンドリュー、ウィンストン、マイケル・D、グリーン、ジェリー・R (1995).ミクロ経済理論. ニューヨーク、NY: オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-507340-9。
37. アセモグル、ダロン（2009年）『現代経済成長入門』プリンストン、ニュージャージー州オックスフォード：プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-13292-1。
38. マス・コレル、アンドリュー、ウィンストン、マイケル・D、グリーン、ジェリー・R（1995年）「第16章 均衡とその基本的な福祉特性」ミクロ経済理論、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-510268-0