コルモゴロフ方程式
Equations characterizing continuous-time Markov processes

確率論において、コルモゴロフ方程式は連続時間マルコフ過程を特徴づける。特に、連続時間マルコフ過程が特定の状態にある確率が時間とともにどのように変化するかを記述する。コルモゴロフ方程式には4つの異なる方程式がある。連続過程に対するコルモゴロフ順方向方程式（現在ではフォッカー・プランク方程式と同一であると理解されている） 、ジャンプ過程に対するコルモゴロフ順方向方程式、そして不連続ジャンプを伴う過程と伴わない過程に対する2つのコルモゴロフ逆方向方程式である。

拡散過程とジャンプ過程

1931年に執筆したアンドレイ・コルモゴロフは、チャップマン・コルモゴロフ方程式で記述される離散時間マルコフ過程の理論から出発し、この方程式を拡張することで連続時間マルコフ過程の理論を導出しようとした。彼は、微小時間間隔における想定される挙動に応じて、連続時間マルコフ過程には2種類あることを発見した。

「短い時間間隔では状態が変化しない可能性が非常に高いが、変化する場合はその変化は急激である可能性がある」[1]と仮定すると、ジャンププロセスと呼ばれるものに導かれます。

もう一つのケースは、「拡散やブラウン運動によって表されるようなプロセスにつながる。そこでは、どんなに小さな時間間隔でも何らかの変化が起こることは確実である。ただし、ここでは、小さな時間間隔における変化もまた小さいことが確実である」[1] 。

コルモゴロフは、これら 2 種類のプロセスのそれぞれについて、順方向と逆方向の方程式のシステム (合計 4 つ) を導き出しました。

歴史

これらの方程式は、1931年の基礎研究で強調されたため、アンドレイ・コルモゴロフにちなんで命名されました。 [2]

ウィリアム・フェラーは1949年、ジャンプ過程と拡散過程の両方におけるコルモゴロフ対のより一般的なバージョンを「順方向方程式」と「逆方向方程式」と名付けました。[1]ずっと後の1956年には、ジャンプ過程の方程式を「コルモゴロフ順方向方程式」と「コルモゴロフ逆方向方程式」と呼びました。[3]

木村資生[ 4]などの他の著者は、拡散（フォッカー・プランク）方程式をコルモゴロフ順方向方程式と呼び、この名前は現在も使われています。

現代の見方

連続時間マルコフ連鎖

コルモゴロフによる方程式の最初の導出は、有限離散状態空間上の時間連続かつ微分可能なマルコフ過程に対するチャップマン・コルモゴロフ方程式（コルモゴロフはこれを基本方程式と呼んだ）から始まる。 [2]この定式化では、確率がの連続かつ微分可能な関数である と仮定されている。ここで、（状態空間）およびは、それぞれ最終時刻と初期時刻である。また、導関数に対する適切な極限特性も仮定されている。フェラーは、純粋に不連続なマルコフ過程の概念から始めて、より一般的な状態空間に対して方程式を定式化するという、わずかに異なる条件下で方程式を導出している。[5]フェラーは、自然条件下でのコルモゴロフ前進方程式とコルモゴロフ後退方程式の確率的性質を持つ解の存在を証明している。[5] P ( x , s ; y , t ) {\displaystyle P(x,s;y,t)} t > s {\displaystyle t>s} x , y ∈ Ω {\displaystyle x,y\in \Omega } t > s , t , s ∈ R ≥ 0 {\displaystyle t>s,t,s\in \mathbb {R} _{\geq 0}}

可算状態空間の場合、の代わりにを置きます。コルモゴロフの順方向方程式は次のように表されます。 i , j {\displaystyle i,j} x , y {\displaystyle x,y}

∂ P i j ∂ t ( s ; t ) = ∑ k P i k ( s ; t ) A k j ( t ) {\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial t}}(s;t)=\sum _{k}P_{ik}(s;t)A_{kj}(t)} 、

ここで、遷移率行列（生成行列とも呼ばれる） である。 A ( t ) {\displaystyle A(t)}

一方、コルモゴロフの逆方程式は

∂ P i j ∂ s ( s ; t ) = − ∑ k P k j ( s ; t ) A i k ( s ) {\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial s}}(s;t)=-\sum _{k}P_{kj}(s;t)A_{ik}(s)}

関数は連続かつ微分可能であり、時刻引数の両方において連続である。これらは、時刻 の状態にあったシステムが、その後のある時刻 において状態 に遷移する確率を表す。連続量は、 P i j ( s ; t ) {\displaystyle P_{ij}(s;t)} i {\displaystyle i} s {\displaystyle s} j {\displaystyle j} t > s {\displaystyle t>s} A i j ( t ) {\displaystyle A_{ij}(t)}

A i j ( t ) = [ ∂ P i j ∂ u ( t ; u ) ] u = t , A j k ( t ) ≥ 0 ,   j ≠ k , ∑ k A j k ( t ) = 0. {\displaystyle A_{ij}(t)=\left[{\frac {\partial P_{ij}}{\partial u}}(t;u)\right]_{u=t},\quad A_{jk}(t)\geq 0,\ j\neq k,\quad \sum _{k}A_{jk}(t)=0.}

生成関数との関係

離散状態の場合、系の初期状態が であると仮定すると 、コルモゴロフ順方向方程式は、量が与えられた場合にプロセスの確率を求める初期値問題を記述します。 と書くと、 s = 0 {\displaystyle s=0} i {\displaystyle i} A j k ( t ) {\displaystyle A_{jk}(t)} p k ( t ) = P i k ( 0 ; t ) {\displaystyle p_{k}(t)=P_{ik}(0;t)} ∑ k p k ( t ) = 1 {\displaystyle \sum _{k}p_{k}(t)=1}

d p k d t ( t ) = ∑ j A j k ( t ) p j ( t ) ; p k ( 0 ) = δ i k , k = 0 , 1 , … . {\displaystyle {\frac {dp_{k}}{dt}}(t)=\sum _{j}A_{jk}(t)p_{j}(t);\quad p_{k}(0)=\delta _{ik},\qquad k=0,1,\dots .}

一定速度の純粋な死亡過程の場合、非ゼロの係数は のみである。 A j , j − 1 = μ j ,   j ≥ 1 {\displaystyle A_{j,j-1}=\mu _{j},\ j\geq 1}

Ψ ( x , t ) = ∑ k x k p k ( t ) , {\displaystyle \Psi (x,t)=\sum _{k}x^{k}p_{k}(t),\quad }

この場合、方程式系は初期条件 を持つ偏微分方程式として書き直すことができる。いくつかの操作を行った後、方程式系は次のように書ける。[6] Ψ ( x , t ) {\displaystyle {\Psi }(x,t)} Ψ ( x , 0 ) = x i {\displaystyle \Psi (x,0)=x^{i}}

∂ Ψ ∂ t ( x , t ) = μ ( 1 − x ) ∂ Ψ ∂ x ( x , t ) ; Ψ ( x , 0 ) = x i , Ψ ( 1 , t ) = 1. {\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}(x,t)=\mu (1-x){\frac {\partial {\Psi }}{\partial x}}(x,t);\qquad \Psi (x,0)=x^{i},\quad \Psi (1,t)=1.}

生物学からの例

生物学からの例を以下に挙げる: [7]

p n ′ ( t ) = ( n − 1 ) β p n − 1 ( t ) − n β p n ( t ) {\displaystyle p_{n}'(t)=(n-1)\beta p_{n-1}(t)-n\beta p_{n}(t)}

この式は、出生数による人口増加をモデル化するために適用されます。は初期人口を基準とした人口指数、は出生率、そして は、つまり特定の人口規模に達する確率です。 n {\displaystyle n} β {\displaystyle \beta } p n ( t ) = Pr ( N ( t ) = n ) {\displaystyle p_{n}(t)=\Pr(N(t)=n)}

解析解は次の通りである: [7]

p n ( t ) = ( n − 1 ) β e − n β t ∫ 0 t p n − 1 ( s ) e n β s d s {\displaystyle p_{n}(t)=(n-1)\beta e^{-n\beta t}\int _{0}^{t}\!p_{n-1}(s)\,e^{n\beta s}\mathrm {d} s}

これは、前述のものに関する確率の式です。 p n ( t ) {\displaystyle p_{n}(t)} p n − 1 ( t ) {\displaystyle p_{n-1}(t)}

参照

参考文献

  1. ^ abc Feller, W. (1949). 「確率過程の理論について、特にその応用について」.数理統計と確率に関する（第1回）バークレーシンポジウム議事録. 第1巻. カリフォルニア大学出版局. pp.  403– 432.
  2. ^ ab コルモゴロフ、アンドレイ (1931)。 「確率論における分析方法について」。Mathematische Annalen (ドイツ語)。104 : 415–458 .土井:10.1007/BF01457949。S2CID  119439925。
  3. ^ ウィリアム・フェラー (1957). 「コルモゴロフ微分方程式の境界条件と横方向条件について」Annals of Mathematics . 65 (3): 527– 570. doi :10.2307/1970064. JSTOR  1970064.
  4. ^ 木村資生 (1957). 「遺伝学における確率過程のいくつかの問題点」.数理統計年報. 28 (4): 882– 901. doi : 10.1214/aoms/1177706791 . JSTOR  2237051.
  5. ^ ab Feller, Willy (1940)「純粋に不連続なマルコフ過程の積分微分方程式について」アメリカ数学会誌、48(3)、488-515 JSTOR  1990095
  6. ^ ベイリー、ノーマン TJ (1990) 『確率過程の要素と自然科学への応用』 Wiley. ISBN 0-471-52368-2 （90ページ）
  7. ^ ab Logan, J. David; Wolesensky, William R. (2009).生物学における数学的手法. 純粋数学と応用数学. John Wiley& Sons. pp.  325– 327. ISBN 978-0-470-52587-6。
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